2.5-D Electrical Resistivity Forward Modelling with Undulating Topography using a Modified Half-Space Analytical Solution

Resumen Técnico: Modelado Directo 2.5-D de Resistividad Eléctrica con Topografía Ondulada Utilizando una Solución Analítica de Semiespacio Modificada

1. Planteamiento del Problema
La tomografía de resistividad eléctrica de corriente continua (DC) es fundamental para la exploración geofísica en terrenos complejos. Sin embargo, la modelación numérica directa en terrenos con topografía ondulada presenta desafíos significativos. Los métodos existentes de eliminación de singularidades (técnicas de potencial primario-secundario) suelen basarse en la solución analítica de un semiespacio homogéneo plano. Esta suposición es válida solo cuando el electrodo fuente se encuentra sobre una superficie plana o suavemente curvada.

El problema central identificado en el artículo es que, en la práctica, la topografía natural a menudo presenta esquinas agudas, cambios bruscos de pendiente o alta curvatura. Además, la discretización mediante elementos finitos lineales (comúnmente utilizados por su eficiencia computacional) introduce discontinuidades de pendiente artificiales (geometrías en forma de "V") en la ubicación del electrodo fuente. La aplicación de la solución analítica plana en estas condiciones genera una discrepancia geométrica fundamental entre el ángulo sólido real subtendido por la topografía y el ángulo sólido de $2\pi$ asumido por el modelo plano. Esto resulta en errores de modelado sustanciales que no se corrigen simplemente refinando la malla, degradando la precisión de las inversiones posteriores.

2. Metodología Propuesta
Los autores proponen una estrategia mejorada de eliminación de singularidades para el modelado 2.5-D que aborda la geometría local del electrodo fuente:

• Nueva Formulación Analítica: Se deriva una nueva expresión analítica para el potencial primario ($u_p$) que considera un electrodo situado en la cúspide de una cuña en forma de "V" (un wedge). A diferencia de la solución clásica que asume un semiespacio plano, esta nueva solución incorpora el ángulo sólido ($S$) real subtendido por la superficie topográfica local en el punto fuente.
• Fundamento Matemático: Se demuestra que para una cuña infinita en la dirección $y$, el potencial primario en coordenadas 2.5-D se modifica reemplazando el factor $2\pi$ (ángulo sólido plano) por el ángulo sólido real $S$ de la región exterior. La ecuación resultante para el potencial primario transformado de Fourier es:
  $$\tilde{u}_p(x, k_y, z) = \frac{I}{\sigma_0 S} K_0(k_y r_{xz})$$
  donde $K_0$ es la función de Bessel modificada de segunda especie de orden cero, $I$ es la corriente, $\sigma_0$ la conductividad local y $r_{xz}$ la distancia en el plano $x-z$.
• Integración en el Método de Elementos Finitos (FEM):
  • El potencial total se divide en primario (analítico, basado en la cuña) y secundario (numérico).
  • Se utiliza un enfoque de elementos finitos no estructurados con elementos lineales (Q4) y de orden superior.
  • El ángulo sólido $S$ se calcula explícitamente para cada malla en la ubicación del electrodo, permitiendo que la condición de frontera de Neumann (flujo cero) se cumpla naturalmente en la geometría discretizada (incluso si es en forma de V) sin necesidad de suavizar artificialmente la topografía.

3. Contribuciones Clave

• Derivación Analítica de la Cuña: La principal contribución teórica es la formulación analítica del potencial primario para una fuente en la cúspide de una cuña, resolviendo la incompatibilidad geométrica inherente a los métodos anteriores.
• Independencia del Suavizado de Topografía: El método elimina la necesidad de modificar manualmente la geometría del terreno cerca del electrodo (suavizado) para que coincida con una superficie plana, preservando la topografía real.
• Eficiencia con Elementos Lineales: Demuestra que es posible lograr alta precisión utilizando mallas de elementos finitos lineales (coarsas) en la zona cercana a la fuente, evitando el costo computacional excesivo de mallas extremadamente finas o elementos de orden superior curvos para capturar la singularidad.
• Generalidad: El enfoque es aplicable tanto a discontinuidades geométricas reales (como zanjas en V) como a las discontinuidades introducidas por la discretización numérica de superficies curvas.

4. Resultados y Validación
Los autores validaron el método mediante una serie de pruebas numéricas comparando los resultados con soluciones analíticas (para casos planos) y soluciones de referencia de alta precisión (para casos complejos):

• Casos de Verificación (Semiespacio Plano y Capas): El método recupera soluciones con errores inferiores al 0.1% en modelos homogéneos y de dos capas, validando la implementación básica.
• Modelo de Zanja en V: En un modelo con una zanja de 4 m de profundidad y pendientes de 15°, el método tradicional (potencial plano) mostró errores constantes de aproximadamente 16.5%, independientemente del refinamiento de la malla. En contraste, el método propuesto redujo el error a menos del 0.1%, incluso con elementos lineales y mallas gruesas.
• Modelo de Colina-Valle Sinusoidal:
  • En un valle con alta curvatura, el método tradicional generó errores de ~2% con elementos lineales. El método propuesto mantuvo errores por debajo del 0.1%.
  • Se demostró que incluso con elementos de orden superior curvos, si la topografía tiene una discontinuidad de pendiente (ej. unión valle-plano), el método tradicional falla (errores ~10%), mientras que el método basado en el ángulo sólido corrige el error inmediatamente.
• Robustez: El error del método propuesto se mantiene bajo (<0.1%) independientemente de la distancia entre la fuente y los electrodos de medición, a diferencia del método tradicional donde el error es constante y significativo debido a la mala definición del campo primario.

5. Significado e Impacto
Este trabajo ofrece una alternativa robusta y computacionalmente eficiente para el modelado directo de resistividad eléctrica en terrenos complejos. Al corregir la singularidad geométrica en su origen (el campo primario), el método:

1. Mejora drásticamente la precisión de las inversiones geofísicas en áreas con topografía irregular, reduciendo artefactos en los modelos de conductividad recuperados.
2. Reduce los costos computacionales al permitir el uso de mallas más gruesas y elementos lineales, lo cual es crucial para la inversión iterativa de grandes conjuntos de datos.
3. Proporciona una base teórica sólida para extender estas técnicas a modelado 3-D completo, donde la gestión de la topografía es aún más crítica.

En resumen, la propuesta transforma el tratamiento de la singularidad en la modelación de resistividad, pasando de una aproximación geométrica simplificada a una que respeta la topografía local real, garantizando fiabilidad en entornos geológicos complejos.