Can present be the average of the future?

1. El Problema

La mecánica cuántica se distingue fundamentalmente de la mecánica clásica por su naturaleza probabilística. Mientras que en la física clásica el comportamiento estocástico surge de la ignorancia sobre parámetros de escala fina (variables ocultas), en la teoría cuántica la probabilidad (regla de Born) es intrínseca al formalismo.
El problema central abordado en este trabajo es si es posible derivar la regla de Born y las probabilidades cuánticas a partir de una formulación determinista y simétrica en el tiempo. El autor busca reformular el modelo de variables ocultas de Bell (originalmente para sistemas de dos niveles) para dimensiones superiores, atribuyendo significado físico a la variable oculta como un estado que evoluciona hacia atrás en el tiempo, y demostrar que las probabilidades cuánticas emergen de un promedio sobre futuros posibles.

2. Metodología

El autor emplea una generalización del modelo de variables ocultas de Bell, integrando conceptos de formalismo de dos vectores de estado y simetría temporal:

• Generalización del Modelo de Bell: Se parte de la idea de que un sistema de dos niveles se describe mediante dos vectores de estado ($|m\rangle$ y $|n\rangle$) en lugar de uno. La condición para que una medición arroje un resultado positivo es $|⟨m|a⟩|^2 + |⟨n|a⟩|^2 > 1$.
• Introducción de la Simetría Temporal: Se reemplazan los vectores estáticos por estados que propagan en direcciones temporales opuestas: $|\Psi_\uparrow\rangle$ (evolución hacia el futuro) y $|\Psi_\downarrow\rangle$ (evolución hacia el pasado). La regla de medición se generaliza a dimensiones arbitrarias como:
  $$|\langle\Psi_\uparrow|a\rangle|^2 + |\langle\Psi_\downarrow|a\rangle|^2 > 1$$
• Derivación Estadística: Se asume una distribución uniforme sobre los estados que evolucionan hacia atrás en tiempo (sobre la esfera de Bloch generalizada). Al promediar sobre todos los posibles estados futuros ($|\Psi_\downarrow\rangle$) que satisfacen la condición determinista, se recupera la probabilidad cuántica.
• Análisis de Realidad Física (Teorema PBR): Se utiliza el formalismo de mediciones cuánticas simétricas e informacionalmente completas (SIC-POVMs) para analizar la distincibilidad de estados y demostrar el teorema de Pusey-Barrett-Rudolph (PBR) dentro de este marco.
• Curvas Temporales Cerradas (CTC): Se explora la aplicación de este formalismo a sistemas que interactúan con curvas temporales cerradas, proponiendo un mecanismo donde los estados hacia adelante y hacia atrás se intercambian al pasar por una puerta unitaria, evitando paradojas de consistencia.

3. Contribuciones Clave

• Formalismo de Dos Vectores de Estado Generalizado: Se extiende el modelo de Bell más allá de los sistemas de dos niveles a dimensiones arbitrarias, atribuyendo realidad física al estado que viaja hacia atrás en el tiempo.
• Derivación Determinista de la Regla de Born: Se demuestra que la regla de Born ($P = |\langle \psi | \phi \rangle|^2$) no es un postulado fundamental, sino el resultado de un promedio estadístico sobre estados futuros deterministas que evolucionan hacia atrás en el tiempo.
• Nueva Demostración del Teorema PBR: Se ofrece una demostración alternativa del teorema de Pusey-Barrett-Rudolph, mostrando que en este formalismo, dos estados cuánticos distintos (definidos por pares de vectores hacia adelante y atrás) pueden distinguirse mediante una única medición, confirmando que los estados no ortogonales tienen realidades físicas subyacentes distintas.
• Ontología Simétrica en el Tiempo: Se propone una ontología donde la direccionalidad entrópica del tiempo (impuesta por sistemas de medición macroscópicos) requiere un promedio sobre estados pasados y futuros, haciendo que la probabilidad sea una consecuencia de la ignorancia sobre el estado "hacia atrás".

4. Resultados Principales

• Recuperación de la Probabilidad Cuántica: Para un sistema dado con estado inicial $|\Psi_\uparrow\rangle$, al asumir una distribución uniforme de estados finales $|\Psi_\downarrow\rangle$, la fracción de pares $(|\Psi_\uparrow\rangle, |\Psi_\downarrow\rangle)$ que satisfacen la condición de medición $|\langle\Psi_\uparrow|a\rangle|^2 + |\langle\Psi_\downarrow|a\rangle|^2 > 1$ es exactamente igual a $|\langle\Psi_\uparrow|a\rangle|^2$. Esto reproduce la regla de Born sin postulados probabilísticos iniciales.
• Consistencia con Estados Ortogonales: Se demuestra que la regla propuesta no puede satisfacerse simultáneamente para dos estados ortogonales $|a\rangle$ y $|b\rangle$, preservando la consistencia lógica de la mecánica cuántica (no se pueden obtener resultados positivos para estados mutuamente excluyentes al mismo tiempo).
• Distinción de Estados (PBR): Se muestra que, dado un par de estados cuánticos diferentes definidos por sus vectores temporales, existe siempre una medición (un vector $|a\rangle$ o un operador SIC-POVM) que satisface la condición para uno de los pares pero no para el otro, permitiendo distinguirlos con certeza.
• Resolución de Paradojas en CTC: El formalismo sugiere que en presencia de curvas temporales cerradas, el intercambio de los estados $|\Psi_\uparrow\rangle$ y $|\Psi_\downarrow\rangle$ permite que la matriz de densidad del sistema CTC cambie dinámicamente, ofreciendo una alternativa a las condiciones de punto fijo de Deutsch que evitan la no-linealidad.

5. Significado e Implicaciones

Este trabajo tiene un significado profundo para los fundamentos de la mecánica cuántica:

1. Reducción del Azar: Sugiere que la aleatoriedad cuántica es epistémica (debida a la falta de información sobre el estado futuro) y no ontológica, alineando la teoría cuántica con una visión determinista subyacente.
2. Simetría Temporal: Proporciona un marco coherente donde el pasado y el futuro tienen un estatus ontológico simétrico, desafiando la asimetría temporal tradicional en la interpretación de la medición cuántica.
3. Validación de Variables Ocultas: Revitaliza el debate sobre las variables ocultas al mostrar que, bajo ciertas condiciones de simetría temporal y promediado sobre futuros, es posible reproducir todas las predicciones cuánticas sin violar el teorema de Bell (ya que el modelo es no-local o depende de condiciones de contorno temporales).
4. Aplicaciones en Gravedad Cuántica: La conexión con las curvas temporales cerradas y la consistencia de la información en regímenes donde el tiempo no es lineal ofrece nuevas perspectivas teóricas para la intersección entre la mecánica cuántica y la relatividad general.

En resumen, el autor propone que el "presente" (el resultado de una medición) puede entenderse como el promedio de todos los "futuros" posibles que evolucionan hacia atrás en el tiempo, ofreciendo una nueva perspectiva determinista y simétrica sobre la naturaleza probabilística del universo cuántico.