Impedance MPC for Physical Human-Robot Interaction: Predictive Disturbance Rejection with Joint-Limit Safety

Resumen Técnico: MPC de Impedancia para la Interacción Física Humano-Robot

Planteamiento del Problema
La interacción física humano-robot (pHRI) requiere que los robots mantengan simultáneamente una alta precisión de trayectoria y garanticen una seguridad complaciente durante contactos imprevistos. El control de impedancia clásico, aunque efectivo para la seguridad, sufre una limitación estructural fundamental: bajo una fuerza humana sostenida ($F_h$), exhibe un error de posición en estado estacionario no nulo definido por $e_\infty = K_d^{-1}F_h$. Por ejemplo, un empuje de 15 N contra una rigidez de 300 N/m resulta en una deflexión de 50 mm. Si bien aumentar la rigidez ($K_d$) reduce este error, viola las restricciones de seguridad al aumentar las fuerzas de contacto. Por el contrario, añadir una acción integral para eliminar el error en estado estacionario está severamente limitado por los requisitos de estabilidad, lo que restringe la velocidad de convergencia. Los enfoques de Control Predictivo Basado en Modelo (MPC) existentes para pHRI a menudo conservan la dinámica completa no lineal de la planta, lo que limita las tasas de control, o no proporcionan garantías formales de error cero en estado estacionario ante perturbaciones persistentes.

Metodología
Los autores proponen una arquitectura de MPC de Impedancia de dos capas diseñada para resolver la tensión entre la precisión de la trayectoria y la seguridad complaciente.

• Capa 1: Inversión No Lineal Analítica
  La primera capa emplea una estrategia de control de prealimentación (feedforward) basada en la descomposición del espacio operacional. Cancela analíticamente la gravedad, el efecto Coriolis y los términos de inercia del espacio de la tarea. Esto transforma la dinámica residual de la planta en un doble integrador lineal independiente de la configuración.

  • La dinámica del error se reduce a $\ddot{e} = -\Lambda^{-1}(q) F_{mpc} + d(t)$, donde $d(t)$ representa las perturbaciones agregadas (fuerza humana, fricción, errores de modelo).
  • Crucialmente, esta linealización resulta en una matriz de transición de estado constante ($A_d$) para el sistema en tiempo discreto, independientemente de la configuración del robot. Esto permite que la matriz de "respuesta libre" se precompute una sola vez, reduciendo significativamente la carga computacional en línea.

• Capa 2: QP Convexo con Aumento de Perturbación
  La segunda capa resuelve un problema de optimización de horizonte de deslizamiento a 100 Hz (con un bucle interno de 1 kHz para actualizaciones de prealimentación).

  • Estimación de Perturbaciones: Un filtro de Kalman aumentado estima un estado de perturbación persistente ($\hat{d}$) modelado como un paseo aleatorio (random walk). Este estado se integra en el modelo de predicción del MPC, permitiendo un seguimiento sin desfase (offset-free tracking) (error cero en estado estacionario) para perturbaciones constantes o asintóticamente constantes.
  • Optimización: El controlador resuelve un Programa Cuadrático (QP) convexo de 30 variables sujeto a restricciones de caja sobre la fuerza de control ($F_{mpc}$). La función de costo minimiza el error de seguimiento sobre un horizonte mientras respeta los límites articulares.
  • Mecanismos de Seguridad: La seguridad de los límites articulares se impone mediante un enfoque de doble barrera: un potencial de barrera inversa en el espacio nulo y una proyección del espacio de trabajo de la tarea. Estos mecanismos evitan violaciones de los límites articulares sin degradar el seguimiento de la tarea en regiones seguras.

Contribuciones Clave

1. Arquitectura de Dos Capas con $A_d$ Constante: Al cancelar analíticamente las no linealidades, los autores reducen la planta a un sistema lineal variante en el tiempo con una matriz de estado constante. Esto permite que un QP de 30 variables se resuelva en menos de 1 ms, haciendo que la implementación en tiempo real sea factible.
2. Conexión Analítica con la Impedancia Clásica: El artículo demuestra (Teorema 1) que, en el límite no restringido y sin perturbaciones, el MPC propuesto es matemáticamente equivalente a un controlador de impedancia clásico en el espacio de la tarea. La rigidez y el amortiguamiento realizados están determinados por las ganancias LQR derivadas de los pesos de costo. Esto posiciona al método como una extensión del control de impedancia clásico que añade manejo de restricciones y rechazo sin desfase, en lugar de un reemplazo.
3. Garantía Formal de Error Cero en Estado Estacionario: A través del aumento de la perturbación por Kalman, el sistema logra una garantía de error cero en estado estacionario basada en el Principio del Modelo Interno para perturbaciones persistentes, extendiendo la teoría previa de MPC sin desfase a manipuladores controlados por par.
4. Seguridad de Límites Articulares de Doble Barrera: La integración de potenciales de espacio nulo y proyecciones del espacio de trabajo previene empíricamente las violaciones de límites articulares en los espacios de trabajo probados, incluyendo pruebas de estrés de frontera.

Resultados Experimentales
Los experimentos se realizaron en un robot Franka FR3 de 7 DOF utilizando la simulación MuJoCo. El método propuesto (MPC de Impedancia con aumento de Kalman) se comparó contra la impedancia clásica, el control de admitancia y la impedancia PI.

• Error en Estado Estacionario: Bajo una fuerza sostenida de 15 N, el método propuesto logró un error en estado estacionario de <0.05 mm, comparado con 44.8 mm para la impedancia clásica (una reducción de más de 800 veces).
• Desempeño Transitorio: En el seguimiento de trayectorias circulares, el MPC por sí solo (sin Kalman) redujo el error RMS de la ventana de contacto en 19 veces en comparación con la impedancia clásica. La adición del filtro de Kalman eliminó por completo el error en estado estacionario.
• Robustez: El sistema demostró una robustez gradual al ruido de medición (el error en estado estacionario se mantuvo <1 mm incluso con un ruido de 5 mm) y al desajuste del modelo de inercia (el RMSE de seguimiento se mantuvo invariante hasta un 30% de error de inercia cuando el filtro de Kalman estaba activo).
• Seguridad: En las pruebas de frontera donde la impedancia clásica violó los límites articulares, el MPC mantuvo un margen seguro (margen articular mínimo de 0.084 frente a 0.048 para la impedancia).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que la arquitectura propuesta unifica con éxito las demandas competitivas de la pHRI: seguimiento de trayectoria de alta precisión y seguridad complaciente. La principal significancia reside en la visión estructural de que la cancelación de prealimentación analítica permite una estructura lineal constante, lo que a su vez permite:

1. Precomputación: La matriz de respuesta libre se computa una sola vez, desacoplando la complejidad del QP de la configuración del robot.
2. Garantías Formales: La estructura lineal permite demostraciones rigurosas de equivalencia de impedancia y seguimiento sin desfase.
3. Factibilidad en Tiempo Real: El enfoque logra altas tasas de control (QP de 100 Hz, prealimentación de 1 kHz) en hardware estándar, superando los cuellos de botella computacionales de los enfoques previos de MPC no lineal.

Los autores concluyen que este método proporciona una solución robusta y teóricamente fundamentada para la pHRI que elimina el error en estado estacionario inherente al control de impedancia clásico, manteniendo al mismo tiempo las restricciones de seguridad; se planea trabajo futuro para la validación en hardware físico y la aumentación de pasividad mediante tanques de energía.