Spectral Koopman Approach for Reconstructing State-space Geometry of Cislunar Restricted 3-Body Problem

Resumen Técnico: Enfoque Espectral de Koopman para la Reconstrucción de la Geometría del Espacio de Estados del Problema de los Tres Cuerpos Restringido Cislunar

Planteamiento del Problema
El entorno cislunar, gobernado por la interacción gravitatoria de la Tierra, la Luna y el Sol, presenta un sistema dinámico altamente no lineal caracterizado por puntos de libración, variedades invariantes y transporte caótico. El diseño de misiones tradicional y el análisis de trayectorias en esta región dependen del Problema de los Tres Cuerpos Restringido Circular (CR3BP) y de técnicas de optimización numérica (p. ej., corrección diferencial, tiro múltiple). Sin embargo, estos métodos existentes enfrentan tres limitaciones persistentes:

1. Desajustes de Fidelidad: Discrepancias entre los modelos simplificados y la realidad de alta fidelidad.
2. Costo Computacional: La necesidad de recomputación costosa cuando ocurren actualizaciones de navegación.
3. Problemas de Escalabilidad: Baja escalabilidad de los métodos de Monte Carlo para la propagación de la incertidumbre en horizontes largos.

Además, las técnicas de linealización local estándar fallan al capturar la geometría global del espacio de fase organizada por estructuras no lineales fuertes como las resonancias y los canales de transporte. Sin embargo, los enfoques basados en la teoría de operadores (específicamente, el operador de Koopman) ofrecen una representación lineal global de sistemas no lineales, aunque las aproximaciones actuales basadas en datos (como la Extensión de la Descomposición de Modos Dinámicos, EDMD) suelen requerir una selección cuidadosa de diccionarios y tienen dificultades para recuperar con precisión el espectro global intrínseco.

Metodología
Los autores proponen un nuevo enfoque basado en la formulación de la integral de camino del espectro de Koopman para reconstruir la geometría global del espacio de fase del CR3BP planar sin depender de una selección de diccionario ad hoc.

1. Marco del Operador de Koopman: El análisis de la dinámica del sistema $\dot{x} = f(x)$ se realiza a través de la evolución de las observables. El operador de Koopman $U_t$ proporciona una descripción lineal del flujo no lineal. Las autofunciones principales $\phi_\lambda$ de este operador satisfacen la ecuación $\frac{\partial \phi_\lambda}{\partial x}f = \lambda \phi_\lambda$.
2. Formulación de la Integral de Camino: En lugar de aproximar el operador en un subespacio de dimensión finita, los autores computan las autofunciones principales directamente. Al descomponer el campo vectorial en componentes lineales ($Ax$) y no lineales ($F_n(x)$), la parte no lineal de la autofunción $h_\lambda(x)$ se expresa como una integral de camino:
   $$h_\lambda(x) = \int_0^\infty e^{-\lambda \tau} w_\lambda^\top F_n(s_\tau(x)) d\tau$$
   donde $s_\tau(x)$ representa la trayectoria del sistema.
3. Implementación Numérica: Las autofunciones se aproximan mediante la evaluación de la integral sobre un horizonte de tiempo finito $T$. Las autofunciones inestables (asociadas con $\lambda_u > 0$) se computan utilizando trayectorias hacia adelante, mientras que las autofunciones estables (asociadas con $\lambda_s < 0$) se computan utilizando trayectorias hacia atrás.
4. Reconstrucción de la Geometría: Los autores utilizan la propiedad de que las curvas de nivel cero conjuntas de estas autofunciones principales corresponden a las variedades invariantes (estables, inestables y centrales) de los puntos de equilibrio (puntos de Lagrange) del sistema.

Contribuciones Clave

• Representación Lineal Global: El artículo demuestra que el marco de Koopman puede generar una representación lineal global del CR3BP, superando las limitaciones de la linealización local.
• Computación Directa de Autofunciones: Al aprovechar el enfoque de la integral de camino, el método computa las autofunciones principales directamente a partir de datos de series temporales, evitando la necesidad de un diseño de diccionario manual requerido por métodos como EDMD.
• Identificación de Variedades Invariantes: El trabajo establece que los conjuntos de nivel cero de las autofunciones computadas codifican las características del espacio de fase, identificando específicamente las variedades estables, inestables y centrales asociadas con los cinco puntos de Lagrange ($L_1$ a $L_5$).
• Visualización de Canales de Transporte: El enfoque visualiza con éxito las "autopistas invisibles" del entorno cislunar, mostrando cómo las variedades inestables de un equilibrio pueden alinearse con las variedades estables de otro para formar canales de transporte.

Resultados
El método propuesto se aplicó al modelo CR3BP planar de 4D (sistema Tierra-Luna). Los resultados de la simulación incluyen:

• Reconstrucción de Curvas de Velocidad Cero (ZVCs): El método recupera las regiones permitidas energéticamente y las zonas prohibidas definidas por la constante de Jacobi.
• Geometría Local en los Equilibrios:
  • $L_1$ y $L_2$: Las autofunciones delinean claramente las puertas de transporte. Las variedades inestables se extienden hacia afuera a través de los "cuellos" (permitiendo la salida de la Tierra o la entrada al exterior), mientras que las variedades estables se curvan hacia adentro (capturando trayectorias).
  • $L_3$: Exhibe variedades frágiles que se filtran hacia las regiones externas en lugar de formar corredores de transporte fuertes.
  • $L_4$ y $L_5$: Las autofunciones centrales dominan, produciendo bucles cerrados que corresponden a órbitas de tipo tadpole y Trojan estables, consistentes con la estabilidad lineal de estos puntos triangulares.
• Partición Global del Espacio de Fase: Las curvas de nivel cero de las autofunciones particionan el espacio de fase espectralmente. A diferencia de las superficies de Jacobi basadas en la energía, que definen dónde es posible el movimiento, las curvas de Koopman revelan cómo las trayectorias se organizan asintóticamente dentro de esas regiones, identificando separatrices y fronteras invariantes.
• Mecanismo de Transporte: Los resultados ilustran un canal de transporte entre $L_1$ y $L_2$, donde la variedad inestable de $L_1$ y la variedad estable de $L_2$ delimitan un tubo invariante, facilitando la transferencia entre las regiones de la Tierra y la Luna.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el enfoque espectral de Koopman ofrece una herramienta poderosa para la dinámica cislunar al desplazar el enfoque de las trayectorias individuales hacia la evolución de las observables. La principal significancia radica en la capacidad de:

1. Recuperar la Geometría Global: Reconstruir la geometría global del espacio de fase del CR3BP a partir de datos de series temporales, capturando estructuras no lineales que los métodos locales omiten.
2. Habilitar Tareas Aguas Abajo: Proporcionar una base para la propagación de la incertidumbre, el análisis de alcanzabilidad y el diseño de control. Debido a que el operador de Koopman es lineal, los autores postulan que el análisis de la incertidumbre y el diseño de estrategias de control para el CR3BP no lineal pueden simplificarse y hacerse más escalables en comparación con los métodos no lineales tradicionales.
3. Descubrimiento Basado en Datos: Abrir una nueva dirección para el descubrimiento basado en datos en la dinámica espacial, donde la linealidad del operador permite el análisis y el diseño de estrategias de control para sistemas inherentemente no lineales.

Los autores concluyen que, si bien el presente trabajo se centra en la recuperación de la geometría del CR3BP, el marco posee potencial para futuras aplicaciones en la optimización de trayectorias en tiempo real y el control robusto en entornos complejos de múltiples cuerpos.