Resumen Técnico: Aprendizaje de los Costos de Acceso Urbano a partir de Flujos de Origen-Destino mediante Transporte Óptimo Inverso

Planteamiento del Probleque

Los planificadores urbanos gestionan frecuentemente redes de servicios mixtos público-privados (por ejemplo, educación, salud, transporte) donde los hogares toman decisiones basadas en una función de costo latente que equilibra la distancia, el precio y la calidad institucional. Si bien los planificadores pueden observar los flujos de origen-destino (OD) resultantes, carecen de visibilidad directa sobre la superficie de costo conductual que impulsa estas decisiones.

Este documento aborda esta brecha utilizando el contexto de la elección escolar en Filipinas. Específicamente, examina el mayor subsidio educativo nacional del país, el cual financia la matriculación en escuelas secundarias privadas para aliviar la congestión en las escuelas públicas. El desafío central de planificación es determinar el "alcance espacial" de dicho subsidio: ¿Cuántos kilómetros de costo de viaje percibido compensa un subsidio y varía este valor en diferentes regímenes espaciales? Los modelos directos tradicionales (por ejemplo, modelos de gravedad o de elección discreta) son efectivos para la predicción, pero no logran recuperar directamente la función de costo subyacente necesaria para responder a estas preguntas de planificación.

Metodología

Los autores enmarcan el problema como Transporte Óptimo Inverso (OT, por sus siglas en inglés). Dada una matriz de flujo observada $T_{obs}$ (normalizada como un plan de transporte con márgenes $p$ y $q$), el objetivo es recuperar la matriz de costos $C$ que haga que los flujos observados sean más plausibles bajo un modelo de OT entrópico.

El Modelo Directo

El proceso directo modela el flujo $\hat{T}$ como la solución a un problema de transporte óptimo entrópico:
$$\hat{T} = \text{Sinkhorn}(p, q, C, \varepsilon)$$
donde $\varepsilon = 0.1$ es el parámetro de regularización.

El Problema Inverso

El objetivo es estimar los parámetros de la función de costo que minimicen la discrepancia entre los flujos observados y los predichos:
$$\Phi = \frac{\|T_{obs} - \hat{T}\|_F^2}{2\sigma^2}$$

Para resolver esto, el documento propone dos modelos de costo complementarios:

1. Modelo Interpretativo por Bandas de Distancia:
   Este modelo paramétrico define el costo $c_{ij}$ entre el origen $i$ y el destino $j$ como:
   $$c_{ij} = \theta(k(d_{ij})) \cdot d_{ij} + \theta_e e_j$$

   • $d_{ij}$: Distancia de la red vial.
   • $e_j$: Monto del subsidio al destino (en miles de pesos).
   • $k(d_{ij})$: Un índice para bandas de distancia (0–5 km, 5–15 km, 15–50 km).
   • Métrica Clave: El modelo deriva la distancia equivalente al subsidio $\lambda(k) = -\frac{\theta_e}{\theta_d(k)}$, que representa los kilómetros de costo de viaje percibido compensados por un aumento de 1,000 pesos en el subsidio en una banda específica.

2. Modelo de Costo Neuronal:
   Un enfoque no paramétrico donde el costo es una función de red neuronal $c_{ij} = f_w(d_{ij}, e_j)$. Este modelo se entrena mediante la retropropagación a través de un operador Sinkhorn diferenciable, lo que permite a la red aprender interacciones complejas y no lineales entre la distancia y los subsidios sin bandas predefinidas.

Datos

El estudio utiliza datos administrativos del Departamento de Educación de Filipinas para los años escolares 2022–2024 en la región más poblada.

• Escala: 4,200 escuelas de origen, 1,861 escuelas de destino.
• Flujos: 23,820 pares OD positivos observados que representan 283,016 viajes de estudiantes.
• Restricciones: Solo se consideraron pares factibles dentro de 50 km (1,852,177 pares). Todos los datos están agregados; ningún estudiante es identificable individualmente.

Resultados Clave

1. Comparación de Desempeño

• Modelo por Partes (Piecewise): Utilizando optimización de Máxima Verosimilitud a Posteriori (MAP) acelerada por GPU, el modelo por partes redujo la pérdida $\Phi$ de un valor inicial de 5.00 a 3.29.
• Modelo Neuronal: El modelo de OT inverso neuronal logró una pérdida menor de 2.84, lo que representa una mejora del 13.7% en el ajuste respecto al modelo por partes.

2. Distancia Equivalente al Subsidio ($\lambda$)

El modelo por partes arrojó las siguientes estimaciones para los kilómetros de costo percibido compensados por cada 1,000 pesos:

• Banda 0–5 km: $\lambda(1) = 5.35$ km
• Banda 5–15 km: $\lambda(2) = 6.07$ km
• Banda 15–50 km: $\lambda(3) = 1.00$ km

Interpretación: En la banda de 5–15 km, un aumento de 1,000 pesos en el subsidio hace que una escuela parezca aproximadamente 6.07 km más cercana en términos de costo de viaje percibido. Esto es un cambio en la función de costo de elección, no una reducción en la distancia física de viaje.

3. Interacciones Distancia-Subsidio

El análisis de la derivada de distancia del modelo neuronal ($dc/dd$) reveló matices omitidos por el enfoque por partes:

• Con subsidio cero, la sensibilidad es suave y baja (0.083–0.196).
• Con subsidios medianos (9,000 pesos) y máximos (13,000 pesos), la sensibilidad aumenta significamente en distancias cortas, pero se aplana en rangos medios y largos.
• El modelo neuronal sugiere que el fuerte aumento de la fricción implicado por la banda de 15–50 km en el modelo por partes puede ser un artefacto de la agregación de bandas más que un verdadero umbral conductual.

Significancia y Reivindicaciones

El documento reclama tres contribuciones principales a la planificación urbana y a las ciencias sociales computacionales:

1. Innovación Metodológica: Introduce un marco de doble modelo para el OT inverso, combinando un estimador por partes interpretable con un estimador neuronal flexible entrenado mediante Sinkhorn diferenciable.
2. Métricas Relevantes para Políticas: Deriva la distancia equivalente al subsidio $\lambda(k)$, una métrica que traduce montos de subsidio abstractos en ganancias tangibles de accesibilidad espacial. Esto permite a los planificadores calibrar subsidios y ubicar instalaciones basándose en cuánta "distancia percibida" compra efectivamente un subsidio.
3. Generalizabilidad: Aunque se demuestra en la elección escolar de Filipinas, los autores afirman que el marco es aplicable a cualquier sistema urbano que involucre redes mixtas y flujos OD, incluyendo la elección de centros de salud, la demanda de transporte, la vivienda subsidiada y el comportamiento de evacuación.

La implicación central de planificación es que los subsidios poseen una huella espacial. Su efectividad no es uniforme; depende de la alineación entre la ubicación de las instalaciones subsidiadas y la demanda, así como de la sensibilidad a la distancia de los hogares en regiones específicas de la red. El marco proporciona una herramienta para transformar los datos de flujos administrativos en métricas accionables para la asignación de servicios con conciencia de la accesibilidad.