Bounding Classical and Quantum Correlations in Bayesian Networks with Quasiprobabilities

Resumen Técnico: Acotación de Correlaciones Clásicas y Cuánticas en Redes Bayesianas con Cuasiprobabilidades

Planteamiento del Problema
El estudio de las correlaciones en redes bayesianas (grafos acíclicos dirigidos o DAGs) con variables latentes (no observadas) es central para la inferencia causal y los fundamentos cuánticos. Un desafío primordial es caracterizar el "conjunto clásico" $\mathcal{C}(G)$, definido como el conjunto de distribuciones de probabilidad observadas consistentes con una estructura causal $G$ dada. Si bien el conjunto clásico es semialgebraico (definido por igualdades y desigualdades polinómicas), es notoriamente difícil de caracterizar debido a las complejas restricciones de desigualdad.

Paralelamente, el "conjunto cuántico" $\mathcal{Q}(G)$, que representa las correlaciones alcanzables mediante recursos cuánticos, es aún más complejo; no es un politopo finito, no es cerrado y es indecidible en general. Los investigadores suelen buscar "aproximaciones externas" para acotar estos conjuntos. Un resultado conocido en el Escenario de Bell Bipartito (un DAG específico) es que permitir que las variables latentes sigan distribuciones de cuasiprobabilidad (distribuciones que suman 1 pero pueden tomar valores negativos) recupera el conjunto de todas las correlaciones no señalizadoras. Este artículo investiga si este resultado se generaliza a redes bayesianas arbitrarias y explora la relación entre el "conjunto de cuasiprobabilidad" y el "modelo de Markov anidado" $\mathcal{N}(G)$, una aproximación algebraica tratable del conjunto clásico.

Metodología
Los autores emplean una combinación de modelado causal, análisis de cuasiprobabilidad y teoría de redes de tensores.

1. Modelos de Cuasiprobabilidad: El artículo define tres formulaciones equivalentes de un "conjunto de cuasimarginales" $\mathcal{W}(G)$, donde la distribución observada es la marginal de una distribución completa que se factoriza sobre el grafo, pero con restricciones de positividad relajadas:

   • Cuasilatentes ($\mathcal{W}_l$): Las variables latentes siguen cuasidistribuciones, mientras que las funciones de respuesta (probabilidades condicionales de los nodos observados) permanecen no negativas.
   • Cuasirespuestas ($\mathcal{W}_r$): Las funciones de respuesta siguen cuasidistribuciones, mientras que las latentes permanecen no negativas.
   • Cuasin ruido ($\mathcal{W}_n$): Los nodos observados se modelan con funciones de respuesta deterministas que dependen de latentes clásicos y variables de "ruido" independientes, donde las variables de ruido siguen cuasidistribuciones.

2. Reducción de Grafos: Los autores utilizan resultados de la causalidad clásica (por ejemplo, la exogenización de latentes, la eliminación de variables redundantes) para mostrar que estos pasos de reducción se mantienen para los modelos de cuasiprobabilidad, lo que permite asumir "grafos reducidos" sin pérdida de generalidad.

3. Descomposiciones de Redes de Tensores: Para probar la conjetura principal para estructuras de grafos específicas, los autores mapean el problema a redes de tensores. Tratan la distribución de probabilidad observada como un tensor de alto orden y utilizan la correspondencia entre la estructura causal y un grafo no dirigido subyacente (donde las aristas representan padres latentes compartidos). Aprovechan los teoremas relativos a la existencia de descomposiciones tensoriales mínimas para árboles.

Contribuciones Clave y Resultados

• Equivalencia de las Definiciones de Cuasiprobabilidad: El artículo demuestra el Teorema 4, estableciendo que los conjuntos $\mathcal{W}_l(G)$, $\mathcal{W}_r(G)$ y $\mathcal{W}_n(G)$ son idénticos. Esto demuestra una dualidad: permitir la negatividad en las variables latentes es matemáticamente equivalente a permitir la negatividad en las funciones de respuesta (o el ruido) respecto al conjunto de distribuciones observadas no negativas alcanzables.

• Inclusión en el Modelo de Markov Anidado: Los autores demuestran la Proposición 6, mostrando que $\mathcal{W}(G) \subseteq \mathcal{N}(G)$. Dado que el modelo de Markov anidado se define puramente por restricciones de factorización (igualdades polinómicas) sin requerimientos de positividad, cualquier distribución que se factorice con cuasiprobabilidades (que satisfacen la normalización pero no la positividad) debe satisfacer las restricciones de Markov anidadas.

• Conjetura de Igualdad: El artículo propone la Conjetura 1: Para cualquier DAG $G$, $\mathcal{W}(G) = \mathcal{N}(G)$. Esto implicaría que el conjunto de cuasiprobabilidad es exactamente el conjunto de distribuciones que satisfacen todas las restricciones de igualdad polinómica (el modelo de Markov anidado), y que las restricciones de desigualdad en los conjuntos clásico y cuántico surgen únicamente del requerimiento de no negatividad de las probabilidades.

• Prueba para Escenarios de Correlación de Estructura de Árbol (TCS): Los autores proporcionan una prueba rigurosa de la Conjetura 1 para la subclase de escenarios de correlación donde el grafo no dirigido subyacente (formado por nodos observados conectados si comparten un padre latente) es un árbol.

  • Demuestran que cualquier distribución en el modelo de Markov ordinario (que es igual al modelo de Markov anidado para los TCS) puede descomponerse en una red de tensores.
  • Al analizar las dimensiones de enlace mínimas de esta descomposición, construyen un modelo de variable latente de cuasiprobabilidad que reproduce la distribución, probando así que $\mathcal{M}(G) \subseteq \mathcal{W}(G)$ para los TCS. Combinado con la inclusión general $\mathcal{W}(G) \subseteq \mathcal{N}(G)$, esto establece que $\mathcal{W}(G) = \mathcal{N}(G)$ para los TCS.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que su trabajo generaliza el resultado conocido de que las cuasiprobabilidades recuperan las correlaciones no señalizadoras en el Escenario de Bell a una clase más amplia de redes.

• Caracterización de las Restricciones de Desigualdad: Si la Conjetura 1 se cumple, proporciona una interpretación estructural de las restricciones de desigualdad en los modelos causales clásicos y cuánticos. Los autores argumentan que estas desigualdades no son inherentes a la estructura causal o al criterio de factorización en sí, sino que son artefactos del requerimiento de no negatividad de las probabilidades. En el conjunto de cuasiprobabilidad, que relaja la positividad, estas desigualdades desaparecen, dejando solo las restricciones algebraicas (de igualdad) del modelo de Markov anidado.
• Expresividad de las Teorías Probabilísticas Generalizadas (GPTs): Los resultados sugieren que una teoría que permite que las variables latentes (o las funciones de respuesta) tomen valores reales arbitrarios (una GPT no libre) es lo suficientemente expresiva como para generar todas las distribuciones del modelo de Markov anidado. Esto contrasta con las GPT estándar (como la teoría cuántica), que son conocidas por ser insuficientes para generar todas las correlaciones de Markov anidadas (por ejemplo, en el Escenario del Triángulo).
• Conexión con las Redes de Tensores: El trabajo destaca un nuevo vínculo entre la inferencia causal y las descomposiciones de redes de tensores, sugiriendo que el rango de un tensor (en el contexto del grafo no dirigido subyacente) corresponde al tamaño mínimo de las variables latentes requeridas en un modelo de cuasiprobabilidad.

Los autores se mantienen modestos respecto al caso general, señalando que, si bien han probado la conjetura para escenarios de estructura de árbol y han proporcionado una prueba para el Escenario del Triángulo (en el Apéndice), una prueba completa para DAGs arbitrarios sigue siendo una dirección abierta para trabajos futuros. Sugieren que la "Técnica de Inflación" podría ser una vía viable para una prueba general, aunque la completitud de la inflación para las cuasiprobabilidades carece actualmente de un teorema de de Finetti que la respalde.