Extracting Barrier Distributions from Fusion Cross Sections

Resumen Técnico: Extracción de Distribuciones de Barrera a partir de Secciones Eficaces de Fusión

Planteamiento del Problema
La fusión de iones pesados es un proceso complejo donde la interacción entre núcleos no puede describirse adecuadamente mediante un modelo simple de tunelización unidimensional a través de una única barrera. En su lugar, los acoplamientos a estados colectivos y otros canales inducen una "distribución de barreras" continua, $D(E)$. La extracción de esta distribución a partir de datos experimentales de sección eficaz de fusión ($\sigma(E)$) es teóricamente posible mediante la segunda derivada de la sección eficaz ponderada por la energía, $D(E) \propto \frac{d^2(E\sigma)}{dE^2}$. Sin embargo, en la práctica, esta extracción es numéricamente inestable. Los esquemas estándar de diferencias de puntos son hipersensibles al ruido experimental, la resolución de los datos y la irregularidad, lo que suele arrojar resultados poco fiables, particularmente en energías por encima de la barrera primaria. Aunque trabajos recientes (Godbey 2024) utilizaron Procesos Gaussianos (GP) para suavizar los datos y proporcionar estimaciones de incertidumbre, persisten limitaciones respecto a la fidelidad de la distribución extraída a energías más altas y la fiabilidad de la cuantificación de la incertidumbre.

Metodología
Esta tesis emplea un enfoque de múltiples etapas para evaluar y mejorar la extracción de distribuciones de barrera:

1. Evaluación con Modelos de Juguete: El estudio utiliza la fórmula de Wong (Wong 1973), un modelo analítico para secciones eficaces de fusión, para generar datos de referencia (ground-truth). Estos datos son corrompidos con niveles de ruido realistas ($\eta = \delta\sigma/\sigma$), resoluciones variables ($\Delta E$) e irregularidad en el espaciado para simular condiciones experimentales.
2. Regresión de Procesos Gaussianos (GPR): El autor extiende el método de Godbey (2024) entrenando GPs con núcleos de Función de Base Radial (RBF). Un cambio metodológico crítico consiste en el entrenamiento en espacio logarítmico (modelando errores multiplicativos) en lugar de espacio lineal, para estabilizar la matriz de covarianza y reflejar mejor la naturaleza estadística de los datos de fusión. El estudio también introduce una técnica para inferir incertidumbres relativas desconocidas mediante la optimización de un parámetro de varianza global vía maximización de la verosimilitud marginal cuando no se citan errores experimentales.
3. Redes Neuronales Bayesianas (BNN): Para superar las limitaciones de los GPs, la tesis implementa AutoBNN (Carroll et al. 2024), una herramienta para entrenar Redes Neuronales Bayesianas interpretables. Estas redes se entrenan utilizando Monte Carlo por Cadenas de Markov (MCMC) mediante el algoritmo No-U-Turn Sampler (NUTS). El estudio explora arquitecturas específicas, incluyendo "Suma de Puntos de Cambio" (Sum of Changepoints) y "Punto de Cambio de Productos" (Changepoint of Products), que permiten al modelo adaptar su comportamiento estadístico a través de diferentes regiones de energía.
4. Regularización: Para abordar las inestabilidades numéricas en la segunda derivada (específicamente en las ubicaciones de los puntos de cambio), se implementa un prior que penaliza la magnitud de la tercera derivada durante el entrenamiento de la BNN.

Resultados Clave

• Limitaciones de los Procesos Gaussianos:

  • Aliasing: Los GPs exhiben "aliasing" (picos oscilatorios falsos) en energías superiores a la barrera primaria. Esto se atribuye al mal condicionamiento de la matriz de covarianza causado por grandes cancelaciones en la combinación lineal de las funciones núcleo.
  • Sensibilidad al Ruido: Aunque los GPs son robustos ante la irregularidad y la escasez de datos si el nivel de ruido es bajo ($\eta \leq 10^{-2}$), fallan al capturar la ubicación y estructura de la barrera cuando los niveles de ruido son altos ($\eta \approx 10^{-1}$).
  • Subestimación de la Incertidumbre: Las incertididades citadas por los GPs suelen estar subestimadas, lo que puede conducir a conclusiones excesivamente confiadas sobre la estructura nuclear.
  • Entrenamiento en Espacio Logarítmico: El entrenamiento en espacio logarítmico mejora la estabilidad y la recuperación del pico primario, pero no elimina el aliasing de alta energía.

• Desempeño de las Redes Neuronales Bayesianas:

  • Recuperación Superior en Alta Energía: Arquitecturas específicas de AutoBNN, particularmente aquellas con capacidades de "Punto de Cambio", recuperan con éxito la distribución de la barrera tanto en las regiones sub-barrera como por encima de la barrera, sin el aliasing espurio observado en los GPs.
  • Cuantificación de la Incertidumbre: Las BNNs proporcionan bandas de incertidumbre más fiables y amplias, identificando correctamente las regiones donde los datos son insuficientes para restringir el modelo (por ejemplo, distinguiendo entre una meseta y un segundo pico).
  • Necesidad del Espacio Logarítmico: Al igual que los GPs, el entrenamiento de las BNNs en espacio logarítmico es esencial para una regularización efectiva y el rendimiento en datos de sección eficaz.

• Aplicación a Datos Experimentales:

  • Los métodos se aplicaron a conjuntos de datos reales (ej. $^{16}\text{O} + ^{208}\text{Pb}$, $^{40}\text{Ca} + ^{40}\text{Ca}$).
  • En casos con incertidumbres citadas, las BNNs identificaron ascensos terciarios y estructuras secundarias que las fórmulas discretas de 3 puntos pasaron por alto.
  • En casos sin incertidumbres citadas, el método de incertidumbre relativa inferida permitió la extracción de distribuciones de barrera, aunque las BNNs señalaron correctamente la alta incertidumbre en regiones donde los modelos discrepaban (ej. alrededor de 55 MeV en $^{48}\text{Ca} + ^{48}\text{Ca}$), sugiriendo la necesidad de mediciones experimentales adicionales.

Significancia y Contribuciones
La tesis contribuye al "ciclo teoría-experimento" en la física nuclear al proporcionar herramientas robustas y estadísticamente sólidas para la extracción de distribuciones de barrera.

1. Avance Metodológico: Demuestra que, si bien los GPs son útiles, sufren de artefactos numéricos específicos (aliasing) a energías más altas. La introducción de arquitecturas AutoBNN ofrece una recuperación más fiel de la distribución de la barrera con incertidumbres bien cuantificadas.
2. Guía Experimental: Al aprovechar el posterior continuo y el desacuerdo del ensamble de modelos, este trabajo identifica rangos de energía específicos donde los datos experimentales adicionales tendrían el máximo impacto, yendo más allá del simple ajuste de datos hacia el diseño experimental activo.
3. Implementación de Código Abierto: El autor publica una implementación de código abierto y fácil de usar del flujo de trabajo de análisis, incluyendo el código AutoBNN modificado y scripts para manejar datos experimentales irregulares, para fomentar su adopción por la comunidad experimental.
4. Manejo de Datos Faltantes: La tesis proporciona una estrategia validada para analizar conjuntos de datos experimentales donde las incertididades de medición no se citan explícitamente, un escenario común en la literatura de física nuclear.

Limitaciones y Trabajo Futuro
El autor señala que la elección de la fuerza de la penalización de la tercera derivada ($\lambda$) requiere un ajuste experto y que los modelos de "Suma de Puntos de Cambio" y "Punto de Cambio de Productos" pueden generar predicciones conflictivas sin una métrica clara de fiabilidad. Además, aunque el entrenamiento por MCMC ofrece resultados superiores, es computacionalmente costoso. La tesis propone como trabajo futuro traducir los modelos AutoBNN de ancho finito de vuelta a núcleos de Procesos Gaussianos de ancho infinito para acelerar el entrenamiento, manteniendo los conocimientos estructurales aprendidos, aunque esta traducción enfrenta desafíos respecto a la preservación de la multimodalidad en la distribución de la función.