Nonlinear Stability and Instability of Finite-Energy Solutions of the Compressible Euler-Riesz Equations with General Pressure Laws

Resumen Técnico: Estabilidad y de Inestabilidad No Lineal de Soluciones de Energía Finita de las Ecuaciones de Euler-Riesz Compresibles con Leyes de Presión Generales

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la estabilidad y la inestabilidad no lineal de los estados estacionarios para las ecuaciones de Euler-Riesz compresibles (CEREs) multidimensionales en $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$). El sistema modela fenómenos físicos tales como la dinámica estelar, la física de plasmas y el comportamiento de enjambres, regidos por la conservación de la masa y el momento acoplados con una interacción de potencial de Riesz no local. Las ecuaciones están dadas por:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + \text{div} M = 0, \\ \partial_t M + \text{div}\left(\frac{M \otimes M}{\rho}\right) + \nabla p + \kappa \rho \nabla W_\alpha = 0, \end{cases}$$
donde $\rho$ es la densidad, $M$ es el momento, $p=p(\rho)$ es una ley de presión general, y $W_\alpha$ es el potencial de Riesz (o el potencial logarítmico para $\alpha=0$). El parámetro $\kappa$ determina la naturaleza de la interacción (atractiva para $\kappa > 0$, repulsiva para $\kappa < 0$).

El estudio se centra en la existencia de soluciones débiles de energía finita global y en el comportamiento dinámico de las perturbaciones alrededor de los estados estacionarios. Un desafío central es la competencia entre la energía interna y la energía potencial, la cual depende críticamente del exponente de escala $\gamma$ en el caso politrópico $p(\rho) \sim \rho^\gamma$. Los autores distinguen entre el exponente crítico de masa $\gamma = \frac{n+\alpha}{n}$, el régimen supercrítico de masa $\gamma < \frac{n+\alpha}{n}$, y el régimen subcrítico de masa $\gamma > \frac{n+\alpha}{n}$.

Metodología
Los autores emplean una combinación de métodos variacionales, técnicas de entropía relativa y argumentos de compacidad compensada para abordar las dificultades planteadas por el potencial no local, los estados de vacío y la naturaleza hiperbólica del sistema.

1. Enfoque Variacional y Concentración-Compacidad:
   Para establecer la existencia de estados estacionarios (minimizadores del funcional de energía libre), los autores utilizan el principio de concentración-compacidad de Lions. Analizan el comportamiento de las sucesiones minimizantes para descartar la desaparición (vanishing) y la dicotomía, asegurando la existencia de minimizadores globales para leyes de presión generales bajo condiciones asintóticas específicas en $p(\rho)$ cerca de cero e infinito.

2. Entropía Relativa y Estimaciones de Estabilidad:
   Para la estabilidad de los estados estacionarios en el régimen subcrítico ($\gamma > \frac{n+\alpha}{n}$), los autores desarrollan una técnica de entropía relativa cuantitativa. Una innovación clave es la construcción de una energía interna relativa modificada que incorpora el multiplicador de Lagrange asociado a la ecuación de Euler-Lagrange del estado estacionario. Esta modificación permite el control de las perturbaciones de la densidad en regiones de vacío (donde el estado estacionario se anula) sin requerir cotas inferiores positivas uniformes sobre la densidad estacionaria, una restricción presente en trabajos previos.

3. Análisis de Inestabilidad mediante Escalamiento y Concavidad:
   En el régimen supercrítico de masa ($\frac{2n}{2n-\alpha} < \gamma < \frac{n+\alpha}{n}$), prueban la inestabilidad no lineal. Analizan la concavidad de la energía libre a lo largo de dilataciones que preservan la masa. Al explotar las propiedades de escalamiento del funcional de energía, demuestran que los estados estacionarios son inestables, lo que conduce al crecimiento del soporte de las soluciones.

4. Compacidad Compensada para la Existencia Global:
   Para probar la existencia global de soluciones débiles de energía finita con simetría esférica, los autores utilizan un enfoque de viscosidad física evanescente (aproximando las CEREs con ecuaciones de Navier-Stokes-Riesz compresibles). Derivan estimaciones de energía uniformes, estimaciones de entropía de Bresch-Desjardins (BD) y estimaciones de integrabilidad superior para la densidad y la velocidad. La convergencia de las soluciones aproximadas se establece utilizando el marco de la compacidad compensada, analizando específicamente los núcleos de flujo-entropía y sus singularidades para manejar el término del potencial de Riesz no local.

Contribuciones Clave y Resultados

• Inestabilidad No Lineal en el Régimen Supercrítico de Masa:
  El artículo establece la inestabilidad no lineal de los estados estacionarios para las CEREs atractivas cuando $\frac{2n}{2n-\alpha} < \gamma < \frac{n+\alpha}{n}$. Esto se logra mostrando que la energía libre es cóncava a lo largo de las dilataciones que preservan la masa. Los autores demuestran que las soluciones que parten arbitrariamente cerca de un estado estacionario pueden desarrollar un soporte creciente, siendo que el radio del soporte crece linealmente en el tiempo para soluciones con energía positiva. Este resultado extiende los hallazgos previos de inestabilidad para las ecuaciones de Euler-Poisson al ámbito más amplio de Riesz y para leyes de presión generales.

• Estabilidad No Lineal en el Régimen Subcrítico de Masa:
  Para leyes de presión generales que satisfacen comportamientos asintóticos específicos (análogos a $\gamma > \frac{n+\alpha}{n}$), los autores prueban la existencia de minimizadores de energía y su estabilidad orbital no lineal. Establecen que las soluciones que parten suficientemente cerca de un estado estacionario permanecen cerca de este durante todo el tiempo, salvo por traslaciones.

• Estabilidad Cuantitativa mediante Entropía Relativa Modificada:
  Una contribución técnica significativa es la derivación de una cota de entropía relativa para soluciones de energía finita sin asumir cotas superiores e inferiores puntuales uniformes sobre la densidad. Los autores introducen un funcional de entropía relativa modificado que da cuenta de la degeneración del vacío. Esto permite cuantificar la estabilidad de estados estacionarios de soporte compacto con fronteras libres de vacío, superando las limitaciones de métodos anteriores que dependían de cotas $L^\infty$ o densidades estrictamente positivas.

• Existencia Global de Soluciones Débiles de Energía Finita:
  El artículo prueba la existencia global de soluciones débiles de energía finita con simetría esférica para las CEREs con leyes de presión generales y $\alpha \in (-1, n-1)$. Esto se logra a través del método de compacidad compensada, manejando el término de interacción no local mediante el establecimiento de la convergencia fuerte de la densidad y el potencial. Este resultado proporciona estabilidad incondicional alrededor de los estados estacionarios dentro de la clase de soluciones débiles para el caso subcrítico.

• Crecimiento del Soporte para Soluciones de Energía Positiva:
  Los autores derivan cotas inferiores en la tasa de crecimiento asintótico del radio del soporte para soluciones clásicas globales con energía positiva. Abordan el caso $\alpha > 2$, donde los argumentos de virial estándar fallan debido a cambios de signo en el término de energía potencial, demostrando que para masas suficientemente pequeñas, la energía interna domina, restaurando una cota inferior positiva en la segunda derivada del segundo momento.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que su enfoque proporciona un marco unificado para analizar la estabilidad y la inestabilidad de las CEREs con leyes de presión generales, extendiéndose más allá de los casos clásicos politrópicos y newtonianos. Se destaca que el desarrollo del método de entropía relativa modificada es una herramienta novedosa para manejar estados de vacío en modelos de interacción no local, eliminando las restricciones sobre la densidad del estado estacionario encontradas en la literatura previa. Además, el resultado de existencia global para leyes de presión generales en presencia de interacciones de Riesz representa un avance significativo en la teoría de sistemas hiperbólicos con términos no locales. El artículo sugiere que las técnicas desarrolladas, particularmente el manejo de términos no locales mediante concentración-compacidad y compacidad compensada, son aplicables a otras ecuaciones diferenciales parciales no lineales con dificultades estructurales similares.