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Symbolic Regression for Interpretable Emulation of Proton Collective Flow in Intermediate-Energy Heavy-Ion Collisions

Este artículo demuestra que la regresión simbólica puede emular eficazmente el modelo de transporte de Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck dependiente del isospín para predecir observables de flujo colectivo de protones con una precisión comparable a la de las redes neuronales profundas, proporcionando al mismo tiempo expresiones analíticas interpretables y una evaluación más rápida, a pesar de requerir tiempos de entrenamiento más largos.

Autores originales: Nicholas Cox, Xavier Grundler, Bao-An Li

Publicado 2026-08-19

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CC0 1.0

Autores originales: Nicholas Cox, Xavier Grundler, Bao-An Li

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En el corazón de la materia, donde los protones y neutrones se unen para formar los núcleos de los átomos, yace un mundo gobernado por fuerzas que son difíciles de medir directamente. Cuando los científicos chocan núcleos atómicos pesados a altas velocidades, estas partículas crean un estado de materia fugaz y superdensa que imita las condiciones encontradas en los núcleos de las estrellas de neutrones o en el universo temprano. Para comprender qué sucede en estas colisiones, los investigadores dependen de complejas simulaciones por computadora que actúan como laboratorios virtuales. Estos modelos calculan cómo interactúan las partículas basándose en reglas específicas sobre las fuerzas nucleares y la rigidez de la materia. Sin embargo, ejecutar estas simulaciones es increíblemente lento y computacionalmente costoso, lo que dificulta probar cada posible variación de las reglas para ver cuál coincide con la realidad. Los científicos necesitan una forma de predecir rápidamente el resultado de estas colisiones sin esperar horas o días para un cálculo computacional completo, y también necesitan trabajar hacia atrás: observar los restos de una colisión y determinar cuáles debieron haber sido las reglas subyacentes.

Un equipo de investigadores de la Universidad East Texas A&M ha desarrollado un nuevo método para resolver este problema, ofreciendo una forma más rápida y transparente de navegar la física de las colisiones de iones pesados. Se centraron en dos mediciones clave de estos choques: la forma en que los protones fluyen lateralmente y la forma en que se estiran en una forma ovalada mientras salen disparados. Estos patrones de flujo actúan como huellas dactilares de la materia nuclear creada en la colisión. El equipo utilizó una técnica llamada regresión simbólica, que es una forma de aprendizaje automático diseñada no solo para encontrar patrones, sino para escribir las fórmulas matemáticas reales que los describen. A diferencia de los modelos estándar de inteligencia artificial que actúan como cajas negras —que reciben entradas y dan salidas sin revelar cómo llegaron allí—, este nuevo enfoque produce ecuaciones claras y escritas que cualquiera puede leer y entender. Los investigadores compararon este método con las redes neuronales profundas, el tipo de aprendizaje automático más común utilizado en física, para ver qué herramienta era mejor para emular las lentas y pesadas simulaciones.

El estudio encontró que el método de regresión simbólica era tan preciso como las redes neuronales profundas para predecir el flujo de protones a partir de las condiciones de la colisión. Más importante aún, proporcionó las fórmulas explícitas que vinculan la configuración de la colisión con los resultados. Una vez encontradas estas fórmulas, podían usarse para hacer predicciones millones de veces más rápido que las redes neuronales. Aunque las redes neuronales eran más rápidas de configurar inicialmente, las fórmulas simbólicas eran tan eficientes que podían realizar un millón de cálculos en solo unos pocos segundos, mientras que las redes neuronales tardaban varios minutos en hacer el mismo trabajo. Esta velocidad es crucial para los científicos que necesitan realizar pruebas estadísticas masivas para comprender la incertidumbre en sus mediciones. Los investigadores también invirtieron el proceso, utilizando las fórmulas para trabajar hacia atrás desde el flujo observado para predecir las propiedades de la materia nuclear, como qué tanto resisten las partículas ser comprimidas.

Sin embargo, los investigadores descubrieron que trabajar hacia atrás no siempre era sencillo. Si bien el método predijo con éxito una propiedad clave relacionada con cómo las partículas se dispersan entre sí, tuvo más dificultades para predecir la rigidez de la materia nuclear, especialmente a energías de colisión más bajas. Las fórmulas a veces producían resultados que variaban más de una ejecución a otra en comparación con las redes neuronales, lo que sugiere que la relación entre el flujo y la rigidez de la materia es compleja y quizás no sea capturada completamente por las fórmulas simples que permitieron que la computadora encontrara. El equipo señaló que los datos de flujo por sí solos podrían no contener suficiente información para determinar la rigidez perfectamente, o que las formas matemáticas que utilizaron eran demasiado simples para describir las sutiles ondulaciones y fluctuaciones en los datos. A pesar de estos desafíos, la capacidad de generar ecuaciones claras y legibles que se ejecutan a la velocidad del rayo ofrece una nueva herramienta poderosa. Permite a los físicos ver exactamente cómo diferentes factores influyen en el resultado de una colisión, en lugar de simplemente confiar en la suposición de una computadora.

Los investigadores probaron su enfoque utilizando datos de experimentos reales realizados por las colaboraciones FOPI y HADES, que han estado estudiando estas colisiones durante años. Encontraron que, en su mayor parte, sus nuevas fórmulas podían reproducir los resultados de las pesadas simulaciones por computadora con alta precisión. El método funcionó bien en un amplio rango de velocidades de colisión, desde 150 hasta 800 millones de electronvoltios por nucleón. El equipo también comprobó qué tan sensibles eran sus resultados a la cantidad de datos utilizados para el entrenamiento y las pruebas, encontrando que la precisión se mantenía estable incluso cuando cambiaban el tamaño de los conjuntos de datos. También confirmaron que el método funcionaba igualmente bien ya fuera que utilizaran los números brutos de las simulaciones o números que habían sido escalados para facilitar su manejo, aunque optaron por mantener los números originales para asegurar que las fórmulas finales tuvieran sentido físico.

En última instancia, este trabajo demuestra que el aprendizaje automático puede hacer más que solo hacer predicciones; puede ayudar a los científicos a descubrir el lenguaje subyacente de la naturaleza. Al proporcionar ecuaciones explícitas, la regresión simbólica cierra la brecha entre los complejos modelos computacionales y la comprensión humana. Mientras que las redes neuronales siguen siendo una herramienta sólida para la consistencia, el nuevo método ofrece una ventaja única: proporciona un mapa rápido y transparente de la física en juego. Esto es particularmente valioso para estudios futuros donde los científicos necesitan explorar vastas posibilidades para comprender las propiedades fundamentales de la materia. El estudio sugiere que, si bien algunas relaciones en la física nuclear son demasiado complejas para fórmulas simples, muchas otras pueden capturarse de manera clara y rápida, abriendo la puerta a conocimientos más profundos sobre los componentes fundamentales del universo sin la necesidad de interminables y lentos procesos computacionales.

Resumen Técnico: Regresión Simbólica para la Emulación Interpretable del Flujo Colectivo de Protones en Colisiones de Iones Pesados de Energía Intermedia

Planteamiento del Problema
En las colisiones de iones pesados de energía intermedia, la extracción de propiedades de la materia nuclear (como la incompresibilidad de la materia nuclear simétrica, $K$ , y el factor de modificación de la sección eficaz de nucleón-nucleón en el medio, $X$ ) a partir de observables experimentales (específicamente la pendiente del flujo dirigido de protones $F_1$ y el flujo elíptico $v_2$ ) requiere típicamente simulaciones de modelos de transporte computacionalmente costosas. Aunque las redes neuronales profundas (DNN) se han empleado con éxito como "emuladores" para acelerar estos análisis, funcionan como "cajas negras", careciendo de formas analíticas explícitas. Esto limita su utilidad en estudios de sensibilidad, manipulación analítica y en la exploración de mapeos inversos donde los observables predicen los parámetros subyacentes. Los autores investigan si la regresión simbólica puede servir como una alternativa interpretable que ofrezca una precisión predictiva competitiva al mismo tiempo que proporciona relaciones analíticas explícitas entre las entradas y salidas del modelo.

Metodología
El estudio utiliza conjuntos de datos generados por el modelo de transporte isospín-dependiente Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck (IBUU), utilizado previamente para la inferencia bayesiana de propiedades de transporte basada en datos de las colaboraciones FOPI y HADES. La investigación compara dos tipos de modelos sustitutos:

Emuladores/Inversores DNN: Modificados de trabajos previos, utilizando dos redes neuronales separadas (una para cada salida) con optimización L-BFGS y pérdida de error cuadrático medio (MSE).
Modelos de Regresión Simbólica: Implementados utilizando el paquete PySR (una interfaz de Python para SymbolicRegression.jl). El espacio de búsqueda se restringió a funciones racionales mediante operadores binarios específicos (+, -, *, /) y operadores unarios (potencias de 2ª, 3ª y 4ª) con límites estrictos de anidamiento (límite máximo de potencia anidada de 8) para asegurar la interpretabilidad y evitar singularidades.

El estudio aborda dos direcciones:

Problema Directo (Emulador): Predicción de observables ( $F_1, v_2$ ) a partir de parámetros físicos ( $X, K$ ).
Problema Inverso (Inversor): Predicción de parámetros físicos ( $X, K$ ) a partir de observables ( $F_1, v_2$ ).

La selección de ecuaciones involucró 25 ejecuciones independientes por conjunto de datos. Los candidatos fueron evaluados basándose en MSE, el coeficiente de determinación ( $R^2$ ), complejidad (conteo de nodos), ausencia de singularidades dentro del dominio de los datos y reproducibilidad entre ejecuciones. Se utilizó un enfoque de frontera de Pareto para equilibrar la precisión frente a la complejidad.

Resultos Clave

Emulación Directa: La regresión simbólica logró una precisión comparable a las DNN para predecir $F_1$ y $v_2$ a partir de $X$ y $K$ . Para los conjuntos de datos de FOPI, ambos métodos alcanzaron un $R^2$ promedio $> 0.98$ . Para los conjuntos de datos de HADES, las DNN mostraron un $R^2 \approx 0.97$ constante, mientras que la regresión simbólica varió entre 0.80 y 0.99 entre las ejecuciones. Las expresiones simbólicas proporcionaron formas analíticas explícitas que describían los datos mejor que las regresiones lineales utilizadas en estudios previos.
Inversión Inversa:
- Predicción de $X$ : Ambos métodos funcionaron bien ( $R^2 > 0.9$ ) para los conjuntos de datos de FOPI. La regresión simbólica proporcionó relaciones analíticas útiles entre $X$ , $F_1$ y $v_2$ , aunque exhibió una mayor variación entre ejecuciones ( $>0.05$ ) en comparación con las DNN ( $<0.02$ ).
- Predicción de $K$ : Esto resultó ser significativamente más desafiante. Las DNN superaron consistentemente a la regresión simbólica, particularmente a energías de haz más bajas (por ejemplo, $R^2 \approx 0.35$ a 150 MeV/nucleón). La regresión simbólica tuvo dificultades para capturar la compleja dependencia de $K$ respecto a los observables de flujo, fallando a menudo en mejorar la regresión lineal. El análisis de residuos indicó una tendencia sistemática donde los modelos sobrepredicen $K$ en valores bajos y lo subpredicen en valores altos, lo que sugiere que la base restringida de funciones racionales o los observables limitados ( $F_1, v_2$ ) fueron insuficientes para constreñir plenamente $K$ .
Velocidad Computacional:
- Entrenamiento: La regresión simbólica fue sustancialmente más lenta de entrenar (minutos) en comparación con las DNN (~0.1 s) debido a la búsqueda estocástica sobre expresiones candidatas.
- Evaluación: Una vez entrenados, los modelos de regresión simbólica fueron significativamente más rápidos para evaluaciones repetidas. Para $10^6$ llamadas, el modelo simbólico requirió solo unos pocos segundos, mientras que la DNN requirió varios minutos. La evaluación directa de las expresiones analíticas almacenadas (evitando la infraestructura de PySR) redujo aún más el tiempo de predicción a decenas de segundos para $10^6$ evaluaciones.
Robustez: El rendimiento del emulador fue relativamente insensible al tamaño de la división de entrenamiento/prueba (5% a 50%). La normalización de los datos no mejoró significativamente el $R^2$ , pero introdujo riesgos de singularidades al transformar de vuelta a unidades físicas; por lo tanto, se utilizaron datos no normalizados.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la regresión simbólica ofrece un complemento interpretable prometedor para los emuladores DNN de modelos de transporte de física nuclear. Su valor principal reside en proporcionar expresiones analíticas explícitas que pueden ser inspeccionadas, diferenciadas e incorporadas directamente en estudios de sensibilidad y análisis bayesianos. Aunque el costo de entrenamiento es mayor y la consistencia entre ejecuciones es menor que la de las DNN, la velocidad de evaluación rápida y la transparencia analítica hacen que la regresión simbólica sea particularmente ventajosa para aplicaciones que requieren millones de evaluaciones de modelos, como la propagación de la incertidumbre y la inferencia bayesiana a gran escala.

Los autores señalan modestamente que, aunque el presente estudio utiliza un marco simplificado de dos observables y dos parámetros, el enfoque demuestra la viabilidad de obtener mapeos inversos analíticos. Sugieren que futuras extensiones a problemas de múltiples observables podrían favorecer los emuladores directos rápidos sobre los mapeos inversos analíticos explícitos debido al aumento de la dimensionalidad y al potencial de la inexistencia de soluciones analíticas únicas. El estudio no pretende resolver el problema inverso para la incompresibilidad $K$ perfectamente, sino que destaca las limitaciones de los observables y las formas funcionales actuales para constreñir este parámetro.

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