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A clarification of Fermi's formula for the maximum of partial sums

Este artículo corrige un error de cálculo en la nota de 1926 de Fermi relativa a la probabilidad de que las sumas parciales permanezcan por debajo de un umbral, aclara la inconsistencia en su integración final y establece que las pequeñas varianzas individuales por sí solas son insuficientes para garantizar el límite discreto sin satisfacer la condición de Lindeberg.

Autores originales: Alessandro Lodi

Publicado 2026-10-14

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Autores originales: Alessandro Lodi

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En el estudio de los procesos aleatorios, los científicos a menudo buscan secuencias de pequeños pasos impredecibles para comprender cómo evoluciona un sistema a lo largo del tiempo. Imagine a un viajero dando una serie de pasos donde cada paso es independiente del anterior, a veces moviéndose hacia adelante, otras veces hacia atrás, pero sin una tendencia general a derivar en una dirección. Una cuestión central en este campo es determinar la probabilidad de que este viajero permanezca dentro de un determinado límite, sin cruzar nunca una línea específica sin importar cuántos pasos dé. Este concepto, conocido como la probabilidad de un máximo, es crucial para comprender desde la propagación del calor hasta las fluctuaciones de los mercados financieros. Durante casi un siglo, un famoso cálculo del físico Enrico Fermi ha sido la referencia estándar para este problema, ofreciendo una fórmula para predecir qué tan seguido un caminante aleatorio se mantiene por debajo de un umbral. Sin embargo, un examen más detenido de las matemáticas revela un error sutil pero significativo en la forma en que se interpretó esa fórmula, uno que invierte la respuesta de la probabilidad de permanecer a salvo a la probabilidad de fallar.

Un análisis reciente del investigador independiente Alessandro Lodi revisita la nota de 1926 de Fermi para aclarar exactamente qué se calculó y dónde se extravió la lógica. El núcleo del problema reside en la diferencia entre dos eventos relacionados pero opuestos: la posibilidad de que una trayectoria aleatoria permanezca enteramente por debajo de un límite, y la posibilidad de que cruce ese límite al menos una vez. El texto original de Fermi proporcionaba una expresión matemática que, tras inspeccionarla, en realidad describe la probabilidad de cruzar la línea, no la de permanecer por debajo de ella. La fórmula impresa en la nota original disminuye a medida que el límite se aleja, lo cual no tiene sentido para una probabilidad de permanecer dentro de los límites; si la pared se desplaza más lejos, la probabilidad de permanecer dentro debería aumentar, no disminuir. Lodi demuestra que la probabilidad correcta es simplemente el complemento de lo que fue impreso. Al rastrear cuidadosamente los pasos de la derivación original, específicamente cómo se realizó la integración final, el autor muestra que el signo del resultado fue efectivamente invertido, convirtiendo la probabilidad de supervivencia en la probabilidad de fracaso.

El artículo hace más que solo corregir un error histórico; establece rigurosamente las condiciones bajo las cuales el modelo matemático continuo que utilizó Fermi se aplica realmente a los pasos discretos reales. Fermi asumió que si los pasos individuales son lo suficientemente pequeños en comparación con la distancia total recorrida, el sistema se comporta como un flujo continuo y suave. Lodi confirma que esto es cierto, pero solo si se cumple una condición específica respecto al tamaño de los pasos. Esta condición asegura que ningún paso individual, por raro que sea, sea lo suficientemente grande como para romper el patrón suave. Para probar que esta condición es necesaria, el autor construye un contraejemplo específico que involucra una mezcla de movimientos aleatorios diminutos y saltos ocasionales y raros de un tamaño fijo. En este escenario, incluso aunque los pasos individuales son pequeños en promedio, los saltos raros impiden que el sistema se comporte como un flujo suave. El resultado es una probabilidad que no coincide con la fórmula estándar, demostando que el simple hecho de que las varianzas sean pequeñas no es suficiente para garantizar que el límite se cumpla.

La resolución ofrecida en este trabajo reconcilia la intuición física con la realidad matemática. Confirma que para una amplia clase de procesos aleatorios donde los pasos están bien comportados, la probabilidad de permanecer por debajo de un umbral está dada, de hecho, por una curva específica y suave que se aproxima a la certeza a medida que el umbral se aleja. Sin embargo, también sirve como una advertencia de que este elegante resultado depende de reglas estrictas sobre la naturaleza de la aleatoriedad. El artículo concluye mostrando cómo los pasos discretos, cuando siguen las reglas adecuadas, convergen perfectamente al modelo continuo, pero cuando esas reglas se rompen por fluctuaciones raras y grandes, la aproximación estándar falla. Esta aclaración asegura que las aplicaciones futuras del trabajo de Fermi, desde la física hasta las finanzas, utilicen la probabilidad correcta para el evento en cuestión, distinguiendo claramente entre la posibilidad de permanecer dentro de los límites y la posibilidad de romperlos.

Resumen Técnico: Una Clarificación de la Fórmula de Fermi para el Máximo de Sumas Parciales

Planteamiento del Problema
Esta nota aborda una discrepancia en una publicación de Enrico Fermi de 1926 relativa a la probabilidad de que todas las sumas parciales de variables aleatorias independientes permanezcan por debajo de un umbral específico $a$ . Fermi definió el evento $Q_n(a) = P(S_1 \le a, \dots, S_n \le a)$ , donde $S_k$ son sumas parciales de variables con media cero e independientes con varianzas finitas. La fórmula impresa de Fermi (Fórmula 9 en su nota) asignaba la expresión $\text{erfc}(a/\sqrt{2V_n})$ a esta probabilidad, donde $V_n$ es la varianza total.

El autor identifica una inconsistencia fundamental: la fórmula impresa describe una función decreciente de $a$ que tiende a cero cuando $a \to \infty$ . Sin embargo, el evento $Q_n(a)$ es no decreciente en $a$ y debe tender a 1 cuando $a \to \infty$ . La expresión impresa corresponde en realidad a la probabilidad del evento complementario (la probabilidad de cruce), no a la probabilidad de supervivencia.

Metodología
El artículo emplea una combinación de análisis probabilístico, aproximación de difusión y teoremas de límite para resolver la inconsistencia y clarificar las condiciones para el límite discreto.

Ecuación de Difusión y Principio de Reflexión: El autor reconstruye la derivación de Fermi utilizando el movimiento browniano estándar ( $B_t$ ) y el principio de reflexión. Al definir la densidad de trayectorias que aún no han alcanzado el umbral $a$ como $q_a(t, x) = g_t(x) - g_t(2a-x)$ , donde $g_t$ es la densidad gaussiana libre, el artículo deriva la probabilidad de supervivencia correcta $Q(a, t) = 2\Phi(a/\sqrt{t}) - 1$ .
Análisis de Integración: El artículo rastrea el error en el cálculo original de Fermi. Si bien la fórmula (19) de Fermi establece correctamente la densidad de las trayectorias supervivientes mediante la resta de la densidad de primer paso, la integración subsiguiente en la página 318 identifica erróneamente la integral de la densidad superviviente con la integral de la masa absorbida (la probabilidad de primer paso). El autor demuestra que integrar la densidad correcta recupera la probabilidad de supervivencia, mientras que el cálculo impreso produce la probabilidad de cruce.
Análisis del Límite Discreto: El artículo investiga la convergencia de las sumas parciales discretas al límite browniano. Utiliza el teorema funcional de Lindeberg, parametrizando las sumas por la varianza acumulada para establecer la convergencia al movimiento browniano.
Construcción de Contraejemplo: Para probar la suficiencia de la condición de "varianzas individuales pequeñas" como condición para el límite, el autor construye un contraejemplo que involucra incrementos independientes con densidades suaves. Estos incrementos consisten en una mezcla de saltos unitarios poco frecuentes y ruido gaussiano.

Contribuciones Clave y Resultados

Corrección de la Fórmula de Fermi: El artículo corrige explícitamente las fórmulas (9) y (19) de Fermi. Establece que la probabilidad correcta de que el máximo de las sumas parciales permanezca por debajo de $a$ es $2\Phi(a/\sqrt{V_n}) - 1$ (o $\text{erf}(a/\sqrt{2V_n})$ ), mientras que la fórmula impresa $\text{erfc}(a/\sqrt{2V_n})$ corresponde a la probabilidad de que el máximo exceda $a$ .
Teorema de Límite Explícito (Proposición 1): El artículo establece un límite preciso para los incrementos independientes bajo la condición de Lindeberg. Demuestra que si se cumple la condición de Lindeberg y el umbral normalizado $a_n/\sqrt{V_n}$ converge a $b$ , entonces:
$\lim_{n \to \infty} P(M_n \le a_n) = 2\Phi(b) - 1$
Este resultado controla el error absoluto de la aproximación.
Necesidad de la Condición de Lindeberg: El artículo demuestra que la condición de "varianzas individuales pequeñas" en relación con la suma es insuficiente para justificar el límite de difusión. El contraejemplo construido muestra que, incluso con densidades suaves y varianzas individuales que tienden a cero respecto al total, la presencia de saltos raros y grandes (de tamaño unitario) que sobreviven a la normalización puede causar que la probabilidad discreta se desvíe significativamente de la predicción browniana. En el ejemplo, la probabilidad discreta permanece alejada de la predicción gaussiana porque los saltos raros impiden que se satisfaga la condición de Lindeberg.
Absorción Discreta vs. Continua: El autor aclara que, si bien el modelo continuo impone una condición de contorno cero ( $q_a(t, a) = 0$ ), la recursión discreta para las densidades de trayectoria no impone estrictamente un valor cero en el umbral de la misma manera, aunque las probabilidades convergen bajo la condición de Lindeberg.

Significación y Alcance
El artículo reclama una significación modesta, centrándose en reconciliar el evento enunciado en la nota de Fermi con el cálculo impreso y haciendo explícitas las hipótesis suficientes para el límite discreto. Los resultados probabilísticos en sí mismos (como el principio de reflexión y el teorema de Lindeberg) se describen como clásicos. La contribución principal es la corrección de un error de cálculo histórico y la delimitación rigurosa de las condiciones (específicamente la condición de Lindeberg) requeridas para que la aproximación de difusión sea válida para el máximo de las sumas parciales. El autor señala que el límite de 1 mencionado al final de la nota de Fermi pertenece correctamente a la probabilidad de cruce, no a la de supervivencia.

El artículo no propone nuevas aplicaciones ni direcciones experimentales futuras, sino que sirve como una aclaración técnica de una derivación histórica específica en la física matemática.

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