Monolithic kinetic algorithm for heterogeneous porous media systems using a continuous one-domain approach

Resumen Técnico: Algoritmo Cinético Monolítico para Sistemas de Medios Porosos Heterogéneos

Planteamiento del Problema
La simulación del flujo de fluidos en medios porosos heterogéneos, particularmente en sistemas que acoplan regiones de fluido libre con estructuras porosas, presenta desafíos significativos. Los enfoques tradicionales suelen depender de formulaciones de "dos dominios", que resuelven ecuaciones gobernantes distintas para las regiones de fluido libre y porosas, y requieren condiciones de contorno de interfaz explícitas (por ejemplo, condiciones de Beavers-Joseph) para acoplarlas. Alternativamente, los enfoques de "un solo dominio" utilizan un conjunto único de ecuaciones, pero históricamente han tenido dificultades con la consistencia en medios heterogéneos.

Las formulaciones existentes del Método de Lattice Boltzmann (LBM) para medios porosos suelen sufrir de un escalado inconsistente de la porosidad en las ecuaciones macroscópicas recuperadas. Específicamente, muchos modelos anteriores fallan al escalar correctamente los términos de gradiente de presión y de esfuerzo viscoso con la porosidad cuando esta varía espacialmente. Además, muchas formulaciones expresan el esfuerzo viscoso de Brinkman en términos de gradientes de la velocidad intrínseca en lugar de la velocidad superficial (Darcy), lo que conduce a imprecisiones en dominios heterogéneos. Asimismo, los modelos LBM estándar a menudo carecen de la flexibilidad para ajustar independientemente la viscosidad volumétrica efectiva o la velocidad del sonido, lo que limita la eficiencia computacional y la estabilidad.

Metodología
Los autores proponen un modelo de Lattice Boltzmann monolítico de un solo dominio basado en un enfoque continuo de un solo dominio. La metodología se construye sobre los siguientes pilares:

1. Modelo Macroscópico: La hidrodinámica objetivo se deriva mediante el método de promediado de volumen, resultando en un modelo de Darcy-Forchheimer-Brinkman generalizado. Este modelo es válido en todo el dominio computacional, tratando la transición entre regiones de fluido libre y porosas como una variación continua de las propiedades físicas (porosidad $\epsilon$). Las ecuaciones gobernantes incluyen:

   • Una ecuación de continuidad para la densidad promediada por volumen ($\epsilon\rho$).
   • Una ecuación de momento que incorpora el arrastre de Darcy, el arrastre inercial de Forchheimer y un tensor de esfuerzo viscoso efectivo ($\sigma_{eff}$).
   • Crucialmente, el esfuerzo viscoso efectivo se expresa en términos de los gradientes de la velocidad superficial ($v$), no de la velocidad intrínseca ($u = v/\epsilon$), asegurando la consistencia con la formulación de Brinkman para porosidad variable.

2. Solucionador Cinético: El modelo utiliza una única ecuación cinética generalizada en redes estándar (por ejemplo, D2Q9, D3Q19).

   • Distribución de Equilibrio: Se emplea una distribución de equilibrio discreta en forma de producto para asegurar los momentos correctos e invariancia galileana. Esto incluye términos de corrección específicos ($\Phi_{ext}$ y $\Phi_{\eta}$) para restaurar la isotropía en el tensor de esfuerzo viscoso y permitir el ajuste independiente de la viscosidad volumétrica.
   • Esquema de Fuerza: Se utiliza un esquema de fuerza generalizado consistente (método de Relajación-a-la-Fuerza) para incorporar el arrastre de Darcy-Forchheimer, fuerzas de cuerpo y las correcciones necesarias para los gradientes de porosidad.
   • Escalado de Porosidad: Los campos conservados locales se definen como densidad y momento promediados por volumen, incorporando naturalmente el escalado de porosidad en los momentos cinéticos.
   • Evaluación de Velocidad: Se propone un algoritmo iterativo para resolver la relación implícita entre la velocidad macroscópica y los términos de fuerza, gestionando el arrastre no lineal de Darcy-Forchheimer y las correcciones viscosas.

3. Condiciones de Contorno: Los autores adaptan las condiciones de contorno estándar de nodos húmedos (esquema de equilibrio, extrapolación de no equilibrio y esquema de Tamm-Mott-Smith) a la formulación de medios porosos. Se deriva un procedimiento específico para calcular la densidad del fluido intrínseco en los contornos utilizando la continuidad de masa, teniendo en cuenta la presencia del término de fuerza y las variaciones de porosidad.

Contribuciones Clave

• Formulación Consistente de un Solo Dominio: El artículo presenta la primera formulación LBM que recupera un tensor de esfuerzo viscoso de Brinkman con un escalado de porosidad totalmente consistente, expresado en términos de la velocidad superficial. Esto permite al modelo manejar la porosidad espacialmente variable sin condiciones de contorno de interfaz artificiales.
• Corrección de Términos de Presión y Viscosos: Los autores derivan e implementan correcciones de fuerza específicas para rectificar las inconsistencias en el gradiente de presión y el esfuerzo viscoso que surgen en medios heterogéneos, asegurando que el modelo recupere el límite macroscópico correcto.
• Ajuste Independiente de Parámetros: El modelo permite especificar la velocidad del sonido y la viscosidad volumétrica efectiva de forma independiente de la viscosidad de corte. Esto mejora la eficiencia computacional (al permitir velocidades de sonido más altas) y la estabilidad numérica (al ajustar la viscosidad volumétrica).
• Algoritmo Monolítico: El enfoque utiliza una única ecuación y solucionador cinético para todo el dominio, simplificando la implementación de geometrías complejas que involucran tanto fluido libre como regiones porosas.

Resultados y Validación
El modelo fue validado mediante una serie de pruebas de referencia y estudios numéricos:

• Análisis de Consistencia: Un análisis espectral temporal lineal confirmó que el modelo recupera la velocidad del sonido efectiva correcta y las tasas de disipación para los modos de corte y acústicos. El análisis demostró que el equilibrio en forma de producto con las correcciones propuestas preserva la invariancia galileana y la isotropía, a diferencia de las formulaciones de equilibrio de segundo orden anteriores.
• Flujos de Referencia:
  • Flujo de Couette: Las simulaciones en un canal poroso homogéneo bajo la acción de la gravedad mostraron una excelente concordancia con las soluciones numéricas de referencia tanto para los perfiles de velocidad como de densidad a través de varios números de Reynolds y de Darcy.
  • Flujo de Poiseuille: El modelo capturó con precisión el flujo en canales homogéneos y, crucialmente, en canales con perfiles de porosidad heterogéneos. Predijo correctamente los efectos de canalización de flujo donde el fluido fluye preferencialmente a través de regiones de alta porosidad.
• Demostraciones Numéricas:
  • Flujo alrededor de un Cilindro Permeable: El modelo simuló con éxito el flujo confinado alrededor de un cilindro poroso, identificando cinco regímenes de flujo distintos basados en el número de Reynolds y la porosidad del núcleo. Capturó fenómenos tales como la estabilización de la estela, la recirculación desprendida e inestabilidades de la estela lejana, mostrando una buena concordancia cualitativa con la literatura.
  • Cavidad Impulsada por Tapa con Obstáculo Poroso: El modelo simuló una cavidad con un obstáculo poroso interno, demostrando cómo la permeabilidad afecta la formación de vórtices, la penetración del flujo y los patrones de recirculación. Los resultados resaltaron la transición de un comportamiento sólido a uno permeable a medida que la porosidad aumentaba.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona un marco robusto y unificado para simular el transporte en medios porosos heterogéneos. Al eliminar la necesidad de condiciones de contorno de interfaz explícitas y asegurar el escalado consistente de todos los términos hidrodinámicos, el modelo es particularmente adecuado para:

• Estudios de diseño en etapas tempranas a escala de dispositivos de estructuras porosas diseñadas con porosidad espacialmente variable.
• Simular interacciones complejas entre fluidos libres y cuerpos permeables (por ejemplo, celdas de combustible, sistemas de filtración, combustión porosa).
• Capturar fenómenos de transporte en sistemas donde la transición entre el flujo libre y el medio poroso es continua o donde las interfaces nítidas son difíciles de resolver.

El artículo concluye que, si bien el presente estudio se centra en la validación en 2D, la formulación es inherentemente multidimensional y está lista para su extensión a geometrías 3D. Se identifica como trabajo futuro la necesidad de incluir el balance de energía (transferencia de calor), mezclas multicomponente y flujos multifásicos para abordar plenamente el transporte acoplado en sistemas de ingeniería realistas.