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A novel mixed-variable beam element and its application on the free vibration of Timoshenko beam

Este artículo propone un novedoso elemento de elementos finitos de variable mixta de 2 nodos y 8 grados de libertad para vigas de Timoshenko que incorpora las fuerzas internas como grados de libertad nodales, demostrando una precisión computacional superior y una precisión directa en el cálculo de las fuerzas internas en comparación con los elementos convencionales en el análisis de vibración libre.

Autores originales: Lv Ding, Xue Xia, Siyuan Bao, S D Wang

Publicado 2026-11-05

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CC BY 4.0

Autores originales: Lv Ding, Xue Xia, Siyuan Bao, S D Wang

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En el mundo de la ingeniería, las vigas son los caballos de batalla silenciosos que sostienen puentes, rascacielos y alas de aviones. Para asegurar que estas estructuras no fallen, los ingenieros deben predecir cómo vibrarán cuando se vean sometidas al viento, el tráfico o los terremotos. Durante más de un siglo, dos teorías principales han guiado estas predicciones. La teoría más antigua y simple supone que la sección transversal de una viga permanece perfectamente plana y perpendicular a su longitud mientras se dobla, ignorando el hecho de que el propio material puede sufrir cizallamiento o deslizarse internamente. Esto funciona bien para vigas muy largas y delgadas, pero resulta inexacto para las más cortas y gruesas, donde el deslizamiento interno es importante. La teoría más avanzada, conocida como la teoría de vigas de Timoshenko, corrige esto al reconocer que la sección transversal de la viga puede rotar independientemente de su flexión, teniendo en cuenta tanto el deslizamiento de las capas como el peso del propio material. Si bien esta teoría es más precisa, convertirla en un modelo informático para estructuras del mundo real ha sido históricamente una dificultad. Los métodos informáticos estándar suelen requerir un número excesivo de segmentos diminutos para obtener una respuesta precisa, o producen resultados que se alejan de la realidad a medida que la vibración se vuelve más rápida y compleja.

Un equipo de investigadores de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Suzhou y la Universidad Estatal de Oklahoma ha desarrollado una nueva forma de modelar estas vigas que evita estas limitaciones tradicionales. Crearon un bloque de construcción especializado para simulaciones por computadora, un elemento digital que captura la física de la viga de manera más completa que las versiones anteriores. En los modelos informáticos estándar, un segmento de viga se define usualmente solo por cuánto se mueve hacia arriba y hacia abajo y cuánto gira. El nuevo elemento, sin embargo, añade dos piezas de información cruciales a cada punto de conexión: las fuerzas internas que empujan y tiran de la viga, específicamente la fuerza cortante y el momento flector. Al incluir estas fuerzas directamente en la definición del modelo, los investigadores descubrieron que podían describir el comportamiento de la viga con una precisión mucho mayor sin necesidad de trocear la estructura en miles de piezas diminutas.

Los investigadores probaron este nuevo elemento simulando la vibración libre de vigas bajo tres condiciones comunes: una viga apoyada en ambos extremos, una viga fijada rígidamente en ambos extremos y una viga fijada en un extremo mientras el otro queda libre. Compararon sus resultados con soluciones matemáticas conocidas y simulaciones de software comercial de alto nivel. Los hallazgos fueron sorprendentes. Al calcular las frecuencias naturales —las tasas específicas a las que una viga vibra naturalmente— el nuevo elemento produjo errores que eran típicamente la mitad o menos de los errores encontrados en los modelos convencionales. Por ejemplo, en una viga simplemente apoyada, el método tradicional mostró errores superiores al tres por ciento para los modos de vibración superiores, mientras que el nuevo método mantuvo los errores muy por debajo del uno por ciento, incluso utilizando una malla relativamente gruesa de solo dieciséis segmentos. Este nivel de precisión se mantuvo constante, ya fuera que la viga tuviera un espesor uniforme o fuera cónica, cambiando su forma de un extremo al otro.

Más allá de simplemente calcular qué tan rápido vibra una viga, el nuevo método también destaca en la predicción de las fuerzas internas dentro de la estructura. En muchos enfoques tradicionales, los ingenieros deben realizar cálculos adicionales, a menudo inexactos, para determinar las fuerzas cortantes y de flexión después de haber resuelto la vibración principal. Debido a que el nuevo elemento trata estas fuerzas como partes fundamentales del modelo desde el principio, la computadora las resuelve directamente junto con el movimiento. El estudio demostró que la distribución de estas fuerzas internas coincidía casi perfectamente con las soluciones analíticas exactas, incluso para vibraciones complejas de alta frecuencia. Esto significa que los ingenieros ahora pueden ver exactamente dónde es mayor el estrés dentro de una viga con un nivel de detalle que antes era difícil de lograr sin un esfuerzo computacional masivo.

Las implicaciones de este trabajo son significativas para el diseño de estructuras modernas y ligeras. A medida que la ingeniería avanza hacia materiales más ligeros y complejos, el margen de error se reduce y la necesidad de herramientas de simulación altamente precisas y eficientes crece. Este nuevo elemento ofrece una forma de lograr esa precisión sin el pesado costo computacional de refinar un modelo en miles de partes diminutas. Proporciona un punto de referencia confiable para evaluar otros métodos numéricos y sugiere un camino a seguir donde los gemelos digitales de nuestros puentes y aviones puedan ser analizados con una fidelidad que refleje estrechamente la realidad física que representan. Los investigadores han demostrado que, al repensar las variables fundamentales utilizadas para describir una viga, es posible resolver problemas de larga data en la dinámica estructural con un enfoque más simple y robusto.

Resumen Técnico: Un Nuevo Elemento de Viga de Variables Mixtas para la Vibración Libre de Vigas de Timoshenko

Planteamiento del Problema
Los elementos de viga de Timoshenko convencionales, ampliamente utilizados para el análisis de estructuras donde la deformación por cortante y la inercia rotatoria son significativas, a menudo sufren limitaciones en cuanto a precisión y eficiencia computacional. Las formulaciones tradicionales suelen basarse en dos grados de libertad (DOF) por nodo: desplazamiento transversal y rotación de la sección transversal. El artículo identifica que estos elementos estándar frecuentemente fallan al intentar contabilizar adecuadamente las influencias de las condiciones de contorno del esfuerzo cortante y el momento flector dentro de la construcción del campo variable. En consecuencia, a menudo requieren mallas altamente refinadas para lograr una precisión aceptable, particularmente para los modos de vibración de orden superior, y pueden exhibir un bloqueo por cortante (shear locking) o una precisión subóptima en la distribución de fuerzas internas. Si bien se han explorado diversas estrategias de interpolación (lineal, cuadrática, cúbica) y principios variacionales mixtos, persiste la necesidad de un elemento que ofrezca simultáneamente alta precisión, eficiencia y acceso directo a las fuerzas internas sin la complejidad de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas o utilizar expresiones de campo de desplazamiento excesivamente complicadas.

Metodología
Los autores proponen un nuevo elemento de viga de Timoshenko de 2 nodos y 8 grados de libertad (DOF), denominado "elemento de viga de Timoshenko de fusión". La innovación central reside en la construcción de los grados de libertad nodales y los campos de desplazamiento:

Grados de Libertad Nodales: A diferencia de los elementos convencionales, los DOF nodales para este nuevo elemento incluyen no solo el desplazamiento transversal ( $w$ ) y la rotación de la sección transversal ( $\phi$ ), sino también sus primeras derivadas, que corresponden físicamente al esfuerzo cortante ( $Q$ ) y al momento flector ( $M$ ). Así, cada nodo posee cuatro DOF generalizados: $w_i, \phi_i, Q_i, M_i$ .
Construcción del Campo de Desplazamiento: Basándose en la teoría de vigas de Timoshenko, donde el desplazamiento transversal y la rotación de la sección transversal son mutuamente independientes pero están acoplados mediante la deformación por cortante, los autores derivan dos expresiones de campo de desplazamiento novedosas y consistentes. Estas se construyen utilizando funciones de interpolación de Hermite cúbico.
- El campo de desplazamiento transversal se expresa como una función de los desplazamientos, rotaciones y fuerzas internas nodales.
- El campo de rotación de la sección transversal se formula de manera similar para asegurar la consistencia con las fuerzas internas.
Enfoque de Derivación: La formulación del elemento se deriva utilizando un principio variacional de tipo desplazamiento (principio de Hamilton), en lugar de un principio variacional mixto. Las fuerzas internas no se interpolan de forma independiente; en su lugar, se derivan y transforman a partir de las relaciones constitutivas exactas entre las fuerzas internas y las derivadas del desplazamiento. Esto distingue al elemento propuesto de los elementos clásicos mixtos o híbridos (por ejemplo, elementos de Taylor-Filippou o Pian).
Formulación: Las densidades de energía de deformación y de cinética se formulan considerando tanto las deformaciones por flexión como por cortante. La matriz de rigidez del elemento ( $K_e$ ) y la matriz de masa ( $M_e$ ) se derivan integrando estas expresiones de energía sobre el dominio del elemento, acomodando tanto vigas de sección transversal uniforme como de sección variable lineal. El sistema global se resuelve como un problema de autovalores estándar para determinar las frecuencias naturales y las formas modales.

Contribuciones Clave

Formulación de Elemento Novedosa: El desarrollo de un elemento de viga de Timoshenko de 8 DOF que integra las fuerzas internas (cortante y momento) directamente en los grados de libertad nodales.
Interpolación Consistente: La propuesta de dos expresiones de campo de desplazamiento sinérgicas basadas en la interpolación de Hermite cúbico que coordinan el desplazamiento transversal y la rotación mientras satisfacen las leyes constitutivas.
Cálculo Directo de Fuerzas Internas: Una ventaja significativa es que los esfuerzos cortantes y los momentos flectores se obtienen directamente en los nodos durante el proceso de solución, eliminando la necesidad de la diferenciación de post-procesamiento que introduce errores en los elementos convencionales.
Eficiencia y Precisión: El método tiene como objetivo resolver la ineficiencia computacional de los elementos convencionales en modos superiores, manteniendo una alta precisión.

Resultos Numéricos
El artículo valida el elemento propuesto mediante análisis de vibración libre de vigas de Timoshenko bajo tres condiciones de contorno: Simplemente Apoyada (S-S), Empotrada-Empotrada (C-C) y Empotrada-Libre (C-F). Se realizaron comparaciones contra soluciones analíticas, elementos de Timoshenko convencionales y software de FEM comercial (ABAQUS).

Frecuencias Naturales:
- Para vigas uniformes, el elemento propuesto demostró errores relativos significativamente menores en comparación con los elementos convencionales. Para los modos de orden superior, se encontró que el error del elemento propuesto era la mitad o menos que el del elemento convencional con el mismo orden de interpolación.
- En los casos S-S, C-C y C-F, el elemento propuesto mantuvo errores relativos por debajo del 1% incluso con mallas gruesas (por ejemplo, 16 elementos), mientras que los elementos convencionales a menudo excedieron entre un 2% y un 4% de error para los modos superiores.
- Para vigas de sección transversal variable lineal (vigas con conicidad), el elemento mostró una excelente concordancia con los resultados de ABAQUS, con errores relativos que generalmente permanecieron por debajo del 0.2% para los primeros cinco modos, incluso con relaciones de conicidad pronunciadas.
Formas Modales y Fuerzas Internas:
- Las formas modales de desplazamiento y rotación obtenidas con el elemento propuesto coincidieron estrechamente con las soluciones analíticas, incluso con recuentos bajos de elementos.
- Crucialmente, las distribuciones de esfuerzo cortante y momento flector derivadas del elemento propuesto fueron altamente consistentes con los perfiles analíticos. Los valores nodales se situaron con precisión sobre las envolventes analíticas, validando la capacidad del elemento para capturar los extremos de fuerza interna y la precisión de fase sin necesidad de un refinamiento excesivo de la malla.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el elemento de viga de Timoshenko de fusión propuesto ofrece una metodología numérica altamente eficiente y precisa para el análisis de vibración de estructuras de Timoshenko. Su principal significancia radica en su capacidad para:

Reducir la Dependencia de la Malla: Lograr una precisión superior con menos elementos en comparación con las formulaciones convencionales, reduciendo así el costo computacional.
Mejorar la Precisión: Proporcionar errores significativamente menores para las frecuencias naturales de orden superior y las distribuciones de fuerzas internas.
Salida Directa: Proporcionar los esfuerzos internos nodales (cortante y momento) directamente como parte de la solución, asegurando una alta precisión en el análisis de esfuerzos sin post-procesamiento adicional.
Referencia (Benchmarking): Los autores sugieren que los resultados predichos por este elemento pueden servir como referencias para evaluar el desempeño de otros métodos numéricos.

El estudio concluye que este enfoque aborda las limitaciones de los elementos existentes al incorporar las condiciones de fuerza en el campo variable, ofreciendo una herramienta robusta para aplicaciones de ingeniería moderna que requieren tanto alta precisión como eficiencia.

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