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Multiscale Calculation of Equivalent Elastic Modulus for Rock Mass Based on Perturbation Theory

Este artículo propone un enfoque de cálculo multiescala basado en la teoría de perturbaciones que incorpora el daño inicial y la mesoheterogeneidad para determinar con precisión el módulo elástico equivalente de macizos rocosos, demostrando una precisión superior en comparación con los métodos convencionales mediante la validación con resultados de pruebas de laboratorio y de campo.

Autores originales: Lei Wen, Wu Yang, Huayun Yang

Publicado 2026-07-24

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CC BY 4.0

Autores originales: Lei Wen, Wu Yang, Huayun Yang

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás tratando de predecir cómo resistirá la presión un gigante y desmoronado castillo de piedra. Pero aquí está el giro: el castillo no es un bloque sólido de mármol. Es una pila desordenada de rocas, algunas lisas, otras dentadas, mantenidas unidas por parches de cemento, con grietas ocultas que recorren su estructura como telarañas. Este es el mundo real de la ingeniería de "masa rocosa". Cuando los ingenieros construyen túneles, minas o presas, no pueden simplemente probar un cubo diminuto y perfecto de roca en un laboratorio y asumir que toda la montaña se comportará de la misma manera. Eso es como probar un solo ladrillo para ver si un rascacielos entero sobrevivirá a un terremoto. El problema es que las rocas son desordenadas, llenas de pequeñas fallas y grietas que cambian la forma en que se doblan y se rompen. Los científicos han intentado durante mucho tiempo cerrar la brecha entre el mundo microscópico de las diminutas grietas y el mundo enorme de las formaciones rocosas masivas, pero sus viejos mapas a menudo los llevaron por caminos equivocados. Necesitaban una nueva forma de mirar el problema que pudiera ver tanto el bosque como los árboles al mismo tiempo.

Este artículo, titulado "Cálculo multiescala del módulo elástico equivalente de la masa rocosa basado en la teoría de perturbación", es como un nuevo par de gafas superinteligentes que permite a los ingenieros ver exactamente cómo una roca irregular y agrietada se aplasta y se estira. Los autores, Lei Wen, Wu Yang y Huayun Yang, desarrollaron un ingenioso truco matemático llamado "cálculo multiescala" que trata el daño inicial de la roca (esas pequeñas grietas que ya están allí) como un punto de partida. En lugar de pretender que la roca es perfecta, utilizan un método llamado "teoría de perturbación" —que es básicamente una forma elegante de decir "vamos a dar un pequeño empujón a un sistema perfecto para ver cómo se tambalea"— para determinar cómo las diminutas grietas alteran la rigidez de la roca. Llaman a la deformación (el aplastamiento) causada por estas pequeñas grietas el "puente" que conecta el mundo microscópico con el mundo macroscópico.

El equipo no se limitó a sentarse frente a una computadora; fueron a una mina de metal profunda en el sur de China para recolectar rocas reales. Dañaron estas rocas deliberadamente exprimiéndolas con diferentes cantidades de fuerza (específicamente a 0.25, 0.4, 0.5, 0.65 y 0.75 veces la resistencia de una roca perfecta) para crear "daño inicial". Luego, sometieron estas rocas dañadas a dos pruebas: una "división brasileña" (donde se aprieta la roca desde los lados hasta que se parte como una naranja) y una "compresión uniaxial" estándar (aplastándola de arriba hacia abajo). También utilizaron ondas sonoras (velocidad de la onda P) y tomografías computarizadas (CT) para ver las grietas invisibles dentro de las rocas.

Lo que descubrieron es que su nuevo método matemático es mucho mejor para predecir la realidad que las simulaciones computacionales estándar de antes. Cuando compararon sus resultados con las pruebas de laboratorio reales, su enfoque "multiescala" trazó curvas que coincidían casi perfectamente con las rocas reales. Los métodos antiguos eran aceptables para adivinar la resistencia máxima (qué tan fuerte puedes presionar antes de que se rompa), pero erraban en la forma de la curva. El nuevo método mostró que las curvas de carga-desplazamiento de tracción (de la prueba de división) se curvan de una manera específica, "estrictamente cóncava hacia abajo", que coincide con la vida real, mientras que las simulaciones antiguas no captaron este matiz. Por el contrario, las curvas de esfuerzo-deformación de compresión (de la prueba de aplastamiento) siguen una forma "cóncava hacia arriba" diferente. Incluso llevaron su método a un sitio de construcción real donde un yacimiento de plomo y zinc se había derrumbado. Utilizaron su método para calcular la resistencia de "cuerpos de inyección solidificados"—básicamente, roca rota que ha sido pegada de nuevo con lechada de cemento. Las matemáticas predijeron con precisión el comportamiento de este desorden pegado antes de que alcanzara su punto de ruptura.

Sin embargo, los autores tienen cuidado en señalar que su método no es magia. Aunque fue muy preciso al predecir el comportamiento antes de que la roca se rompiera, tuvo dificultades para predecir exactamente qué sucedía después del esfuerzo máximo, cuando la roca comienza a desmoronarse y ablandarse. Esto se debe a que su modelo aún no tiene en cuenta el desordenoso "ablandamiento por deformación" que ocurre cuando la roca falla por completo. Pero para la parte más importante —determinar qué tan rígida y fuerte es una masa rocosa dañada antes de ceder— su nuevo "puente" entre los mundos micro y macro funciona mejor que las herramientas convencionales. Esto sugiere que, al reconocer las cicatrices iniciales de la roca y utilizar esta matemática de perturbación, los ingenieros pueden obtener una imagen mucho más clara de si una masa rocosa resistirá o colapsará, haciendo que nuestros túneles y minas sean más seguros.

Resumen Técnico: Cálculo Multiescala del Módulo Elástico Equivalente para Macizos Rocosos Basado en la Teoría de la Perturbación

Planteamiento del Problema
La determinación precisa del módulo elástico equivalente es crítica para la evaluación de la seguridad y estabilidad en la ingeniería de macizos rocosos. Las metodologías actuales enfrentan limitaciones significativas: las pruebas de laboratorio en especímenes de roca intacta no logran considerar las macro y microfisuras inherentes a los macizos rocosos de ingeniería, mientras que las pruebas de campo suelen ser poco representativas debido a su alcance espacial limitado. Además, los métodos de reducción tradicionales utilizados para escalar los resultados de laboratorio a las condiciones de campo dependen de factores de reducción poco fiables y no pueden capturar el proceso de respuesta mecánica durante la falla del macizo rocoso. Existe una necesidad reconocida de un enfoque de acoplamiento multiescala sistemático que cierre la brecha entre la mecánica de la roca intacta y el comportamiento heterogéneo de los macizos rocosos dañados.

Metodología
Los autores proponen un enfoque de cálculo multiescala basado en la teoría de la perturbación, diseñado específicamente para considerar el daño inicial en los macizos rocosos. La metodología trata al macizo rocoso con daño inicial como un sistema de perturbación donde un parámetro pequeño ( $\delta$ ) refleja el proceso de expansión multiescala de las grietas internas.

Las etapas metodológicas clave incluyen:

Marco Teórico: El tensor de deformación causado por la meso-heterogeneidad se utiliza como un "puente" que conecta las escalas macro y micro. El campo de desplazamiento se somete a una expansión asintótica, separando las variables en coordenadas macroscópicas ( $x$ ) y vecindarios microscópicos ( $y$ ).
Ecuaciones de Gobierno: El estudio deriva las ecuaciones de gobierno acoplando la ecuación diferencial de equilibrio con una ecuación constitutiva que incorpora un factor de daño elástico microestructural ( $D^\delta$ ). El daño inicial se representa mediante un tensor de daño elástico inicial.
Homogeneización: Al resolver las ecuaciones de movimiento bajo diferentes escalas de dimensiones físicas, los autores derivan un módulo de elasticidad macro equivalente homogeneizado ( $E_{mnkl}^\delta$ ). Esto implica resolver para los autofunciones tensoriales ( $\chi$ ) utilizando el método de elementos finitos basado en principios variacionales.
Implementación Numérica: El enfoque se implementó utilizando MATLAB para los cálculos iterativos del coeficiente de daño y COMSOL para el modelado de elementos finitos. El modelo actualiza la carga ( $Q$ ) y el desplazamiento ( $u$ ) en cada paso para reflejar el estado de daño evolutivo.
Validación: El enfoque fue validado a través de dos casos principales:
1. Validación de Laboratorio: Se realizaron pruebas de compresión uniaxial y de tracción indirecta (ensayo Brasil) en especímenes de caliza recolectados en una mina de metal profunda en el sur de China. Los especímenes fueron pre-dañados en grados variables (0.25 $\sigma_{cs}$ a 0.75 $\sigma_{cs}$ ) y caracterizados mediante velocidad de onda P y tomografía computarizada (CT).
2. Validación de Campo: El método se aplicó a cuerpos solidificados por inyección en un tajo de una mina de plomo y zinc, donde el material inyectado fue tratado como un macizo rocoso con fisuras irregulares.

Contribuciones Clave

Modelo de Perturbación Multiescala: El artículo establece un marco teórico donde el tensor de deformación derivado de la meso-heterogeneidad sirve como el mecanismo de conexión entre las escalas micro y macro, permitiendo el cálculo del módulo elástico equivalente considerando el daño inicial.
Evolución Dinámica del Daño: A diferencia de los modelos convencionales que a menudo tratan el módulo elástico como una constante, este enfoque refleja el desarrollo dinámico del módulo elástico equivalente y la evolución tanto del daño macro como del micro durante el proceso de carga.
Mejora de la Precisión: El estudio demuestra que el cálculo multiescala propuesto arroja resultados más cercanos a los datos reales de las pruebas de laboratorio y de campo en comparación con los métodos convencionales de simulación de elementos finitos.

Resultados

Hallazgos de Laboratorio:
- Se encontró que la velocidad de onda P ( $V_p$ ) disminuye a medida que aumenta el daño inicial, confirmando su utilidad como indicador de daño.
- Los escaneos de CT revelaron que un mayor daño inicial se correlacionaba con un aumento en la porosidad y la densidad de grietas.
- Ensayo de Tracción Indirecta (Brasil): Las curvas de carga-desplazamiento exhibieron una función convexa estrictamente inferior. Los resultados del cálculo multiescala se alinearon más estrechamente con las curvas experimentales que las simulaciones convencionales, particularmente en la región de pre-pico.
- Ensayo de Compresión Uniaxial: Las curvas de esfuerzo-deformación son funciones cóncavas monótonamente crecientes. El enfoque multiescala predijo con precisión el módulo elástico equivalente, con valores más cercanos a los resultados de las pruebas que las simulaciones convencionales. La evolución del daño mostró un aumento gradual inicialmente, seguido de un desarrollo rápido y estabilización.
Hallazgos de Campo:
- En la prueba de compresión de campo de los cuerpos solidificados por inyección, el enfoque multiescala predijo con precisión la curva de esfuerzo-deformación hasta el pico de esfuerzo de compresión uniaxial.
- El módulo elástico equivalente calculado para los cuerpos solidificados por inyección coincidió con los datos de las pruebas de campo, validando la aplicabilidad del método a escenarios de ingeniería complejos que involucran mineral fragmentado y agregados de lechada de cemento.
Limitaciones Observadas: El estudio señaló que, si bien los resultados de pre-pico fueron precisos, las curvas de esfuerzo-deformación post-pico para los cuerpos solidificados por inyección divergieron de los resultados de campo. Esta discrepancia se atribuye a la falta de un parámetro de ablandamiento por deformación (strain-softening) en el modelo, el cual es necesario para capturar el comportamiento post-falla de materiales que difieren de la roca frágil profunda.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que el enfoque de cálculo multiescala propuesto proporciona un método teórico robusto para resolver problemas complejos en la ingeniería de rocas. Al considerar el daño inicial y utilizar la teoría de la perturbación, el método logra cerrar la brecha entre la heterogeneidad microestructural y el comportamiento mecánico macroscópico. Los autores sostienen que este enfoque ofrece una alternativa más precisa a los métodos de simulación convencionales para determinar el módulo elástico equivalente de los macizos rocosos. Sugieren que, si se puede identificar un puente adecuado entre las escalas macro y micro, esta metodología podría extenderse para determinar parámetros mecánicos de otros materiales heterogéneos. El trabajo se presenta como una referencia para mejorar la evaluación de la estabilidad de los macizos rocosos en proyectos de ingeniería, particularmente donde el daño inicial y los efectos de escala son factores críticos.

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