Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Cet article présente une nouvelle méthode pour implémenter des opérateurs Jastrow--Gutzwiller non unitaires sur des ordinateurs quantiques en utilisant l'algorithme variationnel d'énergie propre quantique en cascade, démontrée expérimentalement sur un dispositif IBM Q Lagos pour un modèle de Hubbard.

L'essentiel

Imaginez que vous cherchiez la recette parfaite pour un plat complexe, comme un soufflé. Vous connaissez les ingrédients de base (les atomes), mais le secret d'un excellent soufflé réside dans la façon dont ces ingrédients interagissent entre eux pendant la cuisson. Si vous ignorez ces interactions, votre plat sera plat et sans saveur.

Dans le monde de la physique quantique, les scientifiques tentent de trouver la « recette parfaite » pour l'état d'énergie le plus bas d'un système (comme les électrons dans un matériau). C'est ce qu'on appelle l'« état fondamental ».

Voici une explication simple de ce que fait cet article, en utilisant des analogies du quotidien :

1. Le Problème : Le Chef « Non-Unitaire »

Les ordinateurs quantiques sont comme des chefs incroyablement rapides, mais très fragiles. Ils peuvent explorer un nombre massif de possibilités (espaces de Hilbert) que les ordinateurs classiques ne peuvent pas gérer. Cependant, il y a un piège.

Pour obtenir la meilleure recette, les scientifiques veulent utiliser un outil spécial appelé l'opérateur Jastrow–Gutzwiller. Imaginez cet outil comme un « exhausteur de goût » qui ajoute des interactions complexes à plusieurs ingrédients au mélange.

• Le Problème : Cet exhausteur de goût est « non unitaire ». Dans le langage quantique, cela signifie qu'il ressemble à une étape de recette qui enfreint les règles de la cuisine. Vous ne pouvez pas simplement appuyer sur un bouton sur un ordinateur quantique standard pour le faire ; c'est comme essayer de cuire un gâteau en le « dé-cuisant » d'abord. Il est mathématiquement difficile à mettre en œuvre directement.

2. La Solution : La Chaîne de Montage « En Cascade »

Les auteurs proposent une nouvelle façon d'utiliser cet outil, appelée le Résolveur Variationnel Quantique d'Éigenvalues en Cascade (CVQE).

Au lieu d'essayer de forcer l'ordinateur quantique à effectuer l'étape « non unitaire » impossible d'un seul coup, ils décomposent le processus en deux parties, comme une chaîne de montage :

• Partie A (Le Chef Unitaire) : L'ordinateur quantique effectue la cuisson standard, respectant les règles. Il réarrange les ingrédients dans une bonne forme de départ (en utilisant ce qu'on appelle un « opérateur de Thouless »).
• Partie B (L'Exhausteur de Goût) : L'exhausteur de goût « non unitaire » (l'opérateur Jastrow–Gutzwiller) est traité différemment. Au lieu d'essayer de l'intégrer dans le circuit quantique, les auteurs transfèrent le gros œuvre de cette partie spécifique à un ordinateur classique (un ordinateur portable ordinaire).

L'Analogie : Imaginez que vous construisez une maison. L'ordinateur quantique est le bras robotique qui pose les briques parfaitement. L'« exhausteur de goût » est la peinture et le papier peint. Au lieu d'essayer de faire en sorte que le bras robotique peigne tout en posant les briques (ce qu'il ne peut pas bien faire), le robot pose les briques, puis un peintre humain (l'ordinateur classique) intervient pour appliquer la peinture en se basant sur les mesures prises par le robot. Ils travaillent ensemble en boucle pour obtenir la maison parfaite.

3. Le Test : Le « Modèle de Hubbard »

Pour prouver que cela fonctionne, l'équipe a testé leur méthode sur un célèbre casse-tête de physique appelé le modèle de Hubbard.

• Qu'est-ce que c'est ? Imaginez une grille de minuscules îles (sites) où les électrons (les invités) peuvent sauter d'un endroit à l'autre. Parfois, deux invités tentent de s'asseoir sur la même île, ce qui crée un problème de « surpopulation » (interaction).
• Le Dispositif : Ils ont testé cela sur deux formes : un carré et un triangle, chacun ayant quatre emplacements.
• L'Objectif : Ils voulaient trouver l'état d'énergie le plus bas pour ces électrons, spécifiquement lorsque la grille est « à moitié remplie » (deux invités sur quatre emplacements).

4. Les Résultats : Matériel Réel vs Simulation

Ils ont mené leur expérience sur un véritable ordinateur quantique appelé IBM Q Lagos (qui possède 7 qubits, ou « bits quantiques »).

• Le Défi : Les vrais ordinateurs quantiques sont bruyants. C'est comme essayer d'entendre un chuchotement dans une pièce venteuse. Les données qu'ils ont obtenues étaient « bruyantes », ce qui signifie que les résultats n'étaient pas parfaitement nets.
• L'Astuce : Pour rendre les résultats plus clairs, ils ont utilisé un raccourci ingénieux. Puisque les électrons ont un « spin » (haut ou bas), ils ont fait fonctionner l'ordinateur quantique uniquement pour les électrons « spin-up » et ont simulé les électrons « spin-down » sur un ordinateur classique. Cela a réduit de moitié le nombre de qubits requis, diminuant considérablement le bruit.
• Le Résultat :
  • Leur méthode (les lignes vertes et orange dans leurs graphiques) s'est rapprochée très près de la réponse « exacte » (la ligne pointillée rouge), ce que vous obtiendriez si vous pouviez résoudre les mathématiques parfaitement sur un supercalculateur.
  • Même avec le bruit de la machine réelle, leur approche a mieux fonctionné que de simples suppositions.
  • Ils ont montré qu'en déplaçant la partie complexe de l'« exhausteur de goût » vers l'ordinateur classique, ils pouvaient obtenir des résultats précis sans avoir besoin de matériel quantique supplémentaire et compliqué.

Résumé

L'article démontre une nouvelle façon d'apprendre à un ordinateur quantique à gérer des interactions complexes entre particules. Au lieu de forcer l'ordinateur quantique à effectuer un mouvement mathématiquement interdit, ils divisent le travail : l'ordinateur quantique effectue le réarrangement physique, et un ordinateur ordinaire gère les mathématiques complexes de corrélation. Ils ont prouvé que cela fonctionne sur une machine réelle et bruyante en résolvant un casse-tête sur des électrons dans une petite grille, obtenant des résultats étonnamment proches de la réponse théorique parfaite.

Résumé technique

Résumé technique : Mise en œuvre d'opérateurs Jastrow–Gutzwiller sur un ordinateur quantique à l'aide de l'algorithme CVQE

Énoncé du problème
Les ordinateurs quantiques offrent la possibilité d'accéder à des espaces de Hilbert exponentiellement vastes pour déterminer les états fondamentaux de systèmes quantiques, une tâche souvent intraitable pour les ordinateurs classiques. Bien que les algorithmes variationnels comme l'algorithme d'estimation variationnelle de l'énergie quantique (VQE) soient prometteurs pour les dispositifs à court terme en raison de leur faible profondeur de circuit, ils reposent fortement sur le choix d'un ansatz. Une approche puissante pour améliorer les états variationnels consiste à utiliser des opérateurs Jastrow–Gutzwiller, qui ajoutent des corrélations à plusieurs corps (spécifiquement des corrélations densité-densité et des restrictions sur les orbitales doublement occupées) à un état d'essai. Cependant, l'opérateur Jastrow–Gutzwiller n'est pas unitaire. Cette non-unitarité présente un défi majeur pour une mise en œuvre directe sur les ordinateurs quantiques, qui fonctionnent intrinsèquement par évolution unitaire. Les méthodes existantes nécessitent souvent des qubits auxiliaires ou des approximations pour gérer cette non-unitarité, ce qui peut augmenter la profondeur et la complexité du circuit au-delà des capacités du matériel actuel.

Méthodologie
Les auteurs proposent une mise en œuvre novatrice de l'opérateur Jastrow–Gutzwiller utilisant l'algorithme CVQE (Cascaded Variational Quantum Eigensolver). Le cœur de leur méthode est un ansatz de la forme $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, où :

• $\hat{U}$ est un opérateur unitaire de Thouless qui effectue un changement de base dans l'espace de Hilbert à un corps (par exemple, transformer un état de Fock en une mer de Fermi).
• $\hat{G}(\theta)$ est l'opérateur non unitaire Jastrow–Gutzwiller, défini comme $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, où $\hat{n}_q$ sont des opérateurs nombre et $\theta_{qq'}$ sont des paramètres variationnels.

L'innovation clé réside dans la manière dont la valeur moyenne de l'énergie, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$, est calculée. Comme $\hat{G}(\theta)$ est diagonal dans la base des nombres d'occupation, les auteurs démontrent que les termes exponentiels dans le produit d'opérateurs peuvent être évalués classiquement à partir des résultats de mesure, plutôt que de nécessiter le développement de l'exponentielle en une somme de chaînes de Pauli sur l'ordinateur quantique.

La procédure implique :

1. Préparation de l'état : Préparation d'un état initial $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ à l'aide d'un circuit quantique composé de portes élémentaires à un et deux qubits dérivées de la décomposition de l'opérateur unitaire $\hat{f}$.
2. Mesure : Mesure du système dans la base de calcul (ou une base tournée pour les termes cinétiques) pour obtenir les nombres d'occupation.
3. Post-traitement classique : Utilisation des nombres d'occupation mesurés pour évaluer classiquement les facteurs exponentiels diagonaux de $\hat{G}(\theta)$ et $\hat{G}^2(\theta)$. Cela évite la nécessité de qubits supplémentaires ou de circuits profonds pour simuler l'opérateur non unitaire.
4. Optimisation : Variation des paramètres $\theta$ classiquement pour minimiser la valeur moyenne de l'énergie.

Contributions clés

• Mise en œuvre d'opérateurs non unitaires : L'article présente une méthode pour implémenter des opérateurs Jastrow–Gutzwiller non unitaires sur du matériel quantique sans ajouter de qubits auxiliaires ni approximer l'opérateur, en tirant parti du cadre CVQE.
• Schéma de mesure efficace : En mappant le problème de manière à ce que les opérateurs nombre restent diagonaux, les auteurs montrent que les termes exponentiels peuvent être insérés directement dans le calcul de l'énergie sur la base des résultats de mesure, réduisant considérablement la surcharge de mesure par rapport au développement de l'opérateur en chaînes de Pauli.
• Découplage des espèces de spin : La méthode permet d'évaluer le circuit pour une seule espèce de spin sur l'ordinateur quantique, l'autre espèce étant gérée classiquement. Cela réduit efficacement de moitié le nombre de qubits requis pour la démonstration.
• Démonstration expérimentale : La méthode est démontrée sur le processeur quantique IBM Q Lagos (un dispositif à 7 qubits) pour un modèle de Hubbard à quatre sites sur des réseaux carrés et triangulaires avec des conditions aux limites périodiques à demi-remplissage.

Résultats
Les auteurs ont appliqué leur méthode au modèle de Hubbard avec un paramètre d'énergie cinétique $k$ et une force d'interaction $d$.

• Minimisation de l'énergie : Ils ont réussi à minimiser la valeur moyenne de l'énergie $E(\theta)$ par rapport au paramètre de Gutzwiller $\theta$.
• Comparaison : Les résultats ont été comparés à la diagonalisation exacte (l'énergie exacte de l'état fondamental) et à des simulations classiques sans bruit de leur méthode.
• Analyse du bruit :
  • Lors de l'exécution du calcul complet (électrons spin-up et spin-down) sur le dispositif quantique, le bruit a introduit des erreurs dans les valeurs moyennes de l'énergie.
  • Lors de l'exécution d'une seule espèce de spin sur le dispositif quantique (l'autre étant simulée classiquement), l'erreur a été considérablement réduite.
  • L'erreur dans la valeur moyenne de l'énergie est restée relativement constante en fonction de la force d'interaction $d$, et dans certains cas a légèrement diminué lorsque $d$ s'approchait de $k$.
• Optimisation : Le paramètre optimal $\theta^*$ a été trouvé en localisant le minimum de la courbe d'énergie, et les énergies optimisées résultantes ont suivi de près l'énergie exacte de l'état fondamental, en particulier dans la configuration à une seule espèce de spin.

Signification et revendications
L'article affirme que cette approche permet la mise en œuvre de l'ansatz Jastrow–Gutzwiller sur du matériel quantique à court terme sans la surcharge de ressources des qubits auxiliaires ni les erreurs d'approximation associées à d'autres implémentations non unitaires. En déplaçant l'évaluation des facteurs exponentiels non unitaires vers l'ordinateur classique, la méthode découple l'optimisation des paramètres variationnels de la nécessité de réexécuter des circuits quantiques pour chaque mise à jour de paramètre. De plus, la capacité de simuler une seule espèce de spin sur le dispositif quantique tout en gérant l'autre classiquement réduit de moitié l'exigence en nombre de qubits, rendant l'approche plus réalisable pour les dispositifs actuels ayant une connectivité et des temps de cohérence limités. La démonstration sur le dispositif IBM Q Lagos valide la faisabilité de cette approche « en cascade » pour les systèmes fermioniques, spécifiquement le modèle de Hubbard, offrant une voie pour intégrer des effets de forte corrélation dans les algorithmes variationnels quantiques.