Stochastic compressible Navier-Stokes equations under location uncertainty and their approximations for ocean modelling

Cet article présente une étude théorique et numérique conjointe des équations de Navier-Stokes compressibles stochastiques sous incertitude de position, démontrant leur application à la modélisation océanique via des approximations de Boussinesq qui révèlent des effets de compression significatifs dans l'énergie potentielle et offrent une cohérence énergétique améliorée pour les modèles de mélange vertical à échelles sous-maille.

L'essentiel

Imaginez l'océan comme une gigantesque marmite de soupe en ébullition. Depuis longtemps, les scientifiques tentent d'écrire la « recette » du mouvement de cette soupe en utilisant des règles parfaites et déterministes. Ils ont supposé que si l'on connaissait la position exacte et la vitesse de chaque molécule d'eau, on pourrait prédire exactement où la soupe irait ensuite.

Cependant, l'océan est trop complexe pour cela. Il est rempli de minuscules tourbillons chaotiques (turbulence) trop petits pour être vus ou mesurés directement. Tenter de simuler chaque tourbillon individuel revient à essayer de compter chaque grain de sable sur une plage pour prédire la marée : c'est impossible et trop coûteux en termes de calcul.

Cet article propose une nouvelle façon d'écrire la recette. Au lieu d'essayer de suivre chaque grain de sable, les auteurs suggèrent d'ajouter un « facteur d'ajustement » basé sur l'incertitude. Ils appellent cela le cadre de l'Incertitude de Position (IP).

Voici l'idée centrale décomposée en concepts simples :

1. L'analogie de la « Marche de l'ivrogne »

Imaginez que vous marchez dans un marché bondé. Vous avez une destination claire (le flux « à grande échelle »), mais les gens qui vous bousculent vous poussent légèrement hors de votre trajectoire dans des directions aléatoires.

• L'ancienne méthode : Vous essayez de calculer la trajectoire exacte de chaque personne qui vous bouscule.
• La nouvelle méthode (IP) : Vous acceptez que vous serez bousculé. Vous modélisez votre mouvement comme une marche lisse plus un mouvement aléatoire et saccadé de type « mouvement brownien » (comme la marche d'un ivrogne). Vous ne savez pas exactement où les bousculades vous pousseront, mais vous connaissez les statistiques des bousculades (leur force et leur corrélation).

2. La soupe « compressible »

La plupart des modèles océaniques supposent que l'eau est « incompressible » – c'est-à-dire qu'elle est comme un bloc de gelée solide qui ne peut pas être écrasé. Mais en réalité, l'eau peut être légèrement écrasée, surtout lorsque la pression change ou que la température varie.

• Les auteurs partent de la physique complète et complexe de l'eau compressible (l'eau qui peut être écrasée).
• Ils appliquent ensuite leurs mathématiques de « bousculade aléatoire » à ce système complexe.
• Le résultat : Ils dérivent un nouvel ensemble d'équations qui ressemblent aux anciennes mais incluent des termes supplémentaires. Ces termes supplémentaires représentent le « travail » effectué par les bousculades aléatoires. Pensez-y comme à l'énergie transférée lorsque la foule vous pousse ; ce n'est pas juste une petite poussée aléatoire, cela modifie réellement votre vitesse et la chaleur de votre corps.

3. La « chaleur cachée » dans le mélange

L'article se concentre fortement sur la température et la convection (l'eau chaude qui monte, l'eau froide qui descend).

• Le problème : Dans les modèles standards, lorsque l'eau froide descend, elle s'arrête souvent brusquement au fond de la couche mixte (la partie supérieure de l'océan). En réalité, ces « panaches » d'eau froide percent souvent, comme une lance, dans l'eau plus profonde et plus chaude. Cela s'appelle la convection pénétrante.
• La découverte : Lorsque les auteurs ont fait tourner leur nouveau modèle stochastique, ils ont constaté que les termes de « bousculade aléatoire » recréaient naturellement cet effet de percée.
• La métaphore : Imaginez une foule de personnes (l'océan) essayant de déplacer une lourde boîte (un panache d'eau froide). Les modèles standards agissent comme un mur rigide qui arrête la boîte. Le nouveau modèle agit comme une foule chaotique ; les bousculades aléatoires donnent à la boîte assez d'impulsion supplémentaire pour glisser à travers le mur et aller plus profondément que prévu.

4. Deux façons de mesurer l'énergie

Les auteurs ont trouvé quelque chose d'intéressant concernant la façon dont ils mesuraient l'énergie du système :

• Énergie interne (la « chaleur ») : Lorsqu'ils ont examiné uniquement la chaleur, les effets de « compression » (écrasement) étaient minuscules et n'avaient pas grande importance. Cela correspondait aux anciens modèles plus simples.
• Énergie potentielle (la « hauteur ») : Mais lorsqu'ils ont examiné l'énergie liée à la hauteur (la position de l'eau dans le champ de gravité), les effets de « compression » sont devenus très importants.
• L'essentiel : C'est comme mesurer une balle qui rebondit. Si vous mesurez uniquement la chaleur que la balle acquiert en frappant le sol, le rebond ne semble pas avoir d'importance. Mais si vous mesurez la hauteur du rebond, l'impact est énorme. Les auteurs ont constaté que les termes de pression aléatoire dans leur modèle agissent comme un ressort caché, affectant la hauteur à laquelle l'eau « rebondit » dans le bilan énergétique.

5. La « Dérive » et la « Diffusion »

Les mathématiques produisent deux nouveaux termes spécifiques qui agissent comme des « facteurs d'ajustement » :

• La Dérive (Dérive Itô-Stokes) : Il s'agit d'une poussée systématique causée par le fait que les bousculades aléatoires ne sont pas parfaitement uniformes. C'est comme un courant de rivière qui coule légèrement différemment parce que les rochers (turbulence) sont disposés selon un motif spécifique.
• La Diffusion : Il s'agit de l'effet d'étalement causé par les bousculades aléatoires.

Résumé de la réalisation

Les auteurs ont réussi à construire un pont entre la réalité désordonnée et chaotique de l'océan et les modèles mathématiques propres que nous utilisons pour la prédire.

• Ils ont commencé par la physique la plus complexe possible (compressible, aléatoire, thermodynamique).
• Ils ont montré que lorsque vous la simplifiez jusqu'à la vision « standard » de l'océan (approximation de Boussinesq), vos nouvelles équations fonctionnent toujours et améliorent en réalité la prédiction de la profondeur à laquelle l'eau froide descend.
• Ils ont prouvé que vous n'avez pas besoin de simuler chaque minuscule tourbillon pour obtenir la bonne réponse ; vous devez simplement tenir compte mathématiquement de l'incertitude de la direction de l'eau.

En bref, ils ont remplacé la tâche impossible de « compter chaque grain de sable » par une stratégie plus intelligente : « tenir compte de la tendance du sable à se disperser », et ont constaté que cette approche capture les courants profonds et pénétrants de l'océan bien mieux que les méthodes précédentes.

Résumé technique

Résumé technique : Équations de Navier–Stokes stochastiques compressibles et leurs approximations pour la modélisation océanique

Énoncé du problème
La modélisation océanique fait face à des défis majeurs pour représenter les processus à l'échelle sous-maille, en particulier le mélange vertical et la convection pénétrante, qui sont critiques pour les simulations climatiques (par exemple, la circulation méridienne de retournement de l'Atlantique). Les approches traditionnelles reposent souvent sur l'approximation de Boussinesq, qui suppose l'incompressibilité et néglige les effets de compressibilité. Bien que raisonnable dans de nombreux contextes, cette approximation peut obscurcir la cohérence énergétique entre les flux de température et de quantité de mouvement, et échoue à capturer la propagation des ondes acoustiques ou les termes de travail thermodynamique spécifiques associés à la compression et à la dilatation. De plus, les modèles stochastiques existants pour la dynamique océanique ont été largement dérivés pour des écoulements incompressibles, laissant un vide dans le cadre théorique pour les fluides compressibles et thermodynamiquement actifs. Les auteurs visent à développer une formulation stochastique rigoureuse qui prend en compte l'incertitude de position (LU) dans les écoulements compressibles, en dérivant explicitement les termes thermodynamiques nécessaires pour améliorer la cohérence énergétique des modèles verticaux à l'échelle sous-maille.

Méthodologie
L'article utilise le cadre de l'incertitude de position (LU), qui décompose le déplacement des particules fluides en une vitesse résolue différentiable dans le temps et une composante fortement fluctuante, décorrélée dans le temps, modélisée comme un mouvement brownien.

1. Déduction théorique :

   • Les auteurs partent des lois fondamentales de conservation de la masse, de la masse des espèces, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale.
   • Ils appliquent le théorème de transport de Reynolds stochastique (SRTT) étendu pour inclure des termes sources stochastiques. Cela conduit à un système général d'équations de Navier–Stokes stochastiques compressibles, sous des formes à la fois conservatives et non conservatives (variables primitives).
   • Crucialement, la dérivation prend explicitement en compte le travail des forces (pression et contraintes visqueuses) et des flux de chaleur agissant sur le déplacement stochastique. Cela se traduit par l'émergence de termes stochastiques spécifiques, notamment la diffusion induite par le bruit, la dérive d'Itô-Stokes et les termes de covariation quadratique (résultant du produit de différentielles stochastiques).
   • Le système est ensuite soumis aux approximations de Boussinesq et hydrostatique. Les auteurs suivent attentivement l'ordre de grandeur des termes pour dériver un système stochastique de Boussinesq qui conserve les effets thermodynamiques, spécifiquement le travail de compression exprimé à travers l'énergie potentielle.

2. Application numérique :

   • Pour valider le cadre théorique, les auteurs réalisent une simulation des grandes échelles (LES) d'un événement de convection libre pilotée par la température dans un océan stratifié en utilisant le modèle CROCO (capacités non hydrostatiques et non Boussinesq).
   • Ils appliquent une technique de filtrage temporel aux données LES (en utilisant une échelle de temps de décorrélations de 3 heures) pour séparer les échelles résolues des fluctuations à l'échelle sous-maille.
   • Les résidus à l'échelle sous-maille sont utilisés pour construire le bruit stochastique (mouvement brownien) et son tenseur de variance.
   • Un modèle stochastique 1D hors ligne est ensuite forcé par ces statistiques diagnostiquées pour simuler l'évolution du profil de température moyenné horizontalement. Cela permet une comparaison directe entre la sortie du modèle stochastique et les résultats de référence de la LES.

Contributions clés

• Formulation stochastique compressible générale : L'article fournit une dérivation complète des équations de Navier–Stokes stochastiques compressibles, incluant le transport des espèces et le bilan énergétique complet. Cela étend les travaux LU précédents qui étaient principalement limités aux écoulements incompressibles.
• Cohérence thermodynamique : La dérivation inclut explicitement le travail de compression et de dilatation. Les auteurs démontrent que, bien que ces termes soient négligeables lorsqu'ils sont exprimés en termes d'énergie interne (cohérent avec l'approximation de Boussinesq), ils deviennent significatifs lorsqu'ils sont exprimés en termes d'énergie potentielle. Cela révèle de nouveaux termes de pression stochastiques au sein de la couche mixte qui couplent l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
• Modèle stochastique de Boussinesq avec thermodynamique : Les auteurs dérivent un modèle stochastique de Boussinesq qui intègre ces effets thermodynamiques, offrant un cadre plus physiquement cohérent que les modèles stochastiques isochores précédents.
• Diagnostic de la convection pénétrante : L'étude identifie que les termes stochastiques, en particulier la dérive d'Itô-Stokes et la diffusion stochastique, sont capables de reproduire les flux verticaux de température à la base de la couche mixte. C'est une région où les paramétrisations standard échouent souvent à capturer les effets de la convection pénétrante (réchauffement à la base de la couche mixte).

Résultats

• Bilan énergétique : Dans l'expérience numérique, l'équilibre dominant pour les changements de température est régi par le transport d'énergie interne, cohérent avec l'approximation de Boussinesq. Cependant, lors de l'analyse de l'énergie potentielle, les termes stochastiques (spécifiquement la covariation quadratique $A_u$ et le travail de dérive $D_\sigma$ associés à la pression stochastique) montrent des contributions significatives.
• Dynamique de la couche mixte : Le modèle stochastique reproduit avec succès le réchauffement à la base de la couche mixte associé à la convection pénétrante. Cela est attribué à la capacité du modèle à capturer la dynamique verticale non locale pilotée par la variabilité horizontale et les processus inertiels, sans dépendre d'hypothèses explicites de fermeture diffusive.
• Limites : Au sein de la couche mixte elle-même, le modèle stochastique montre une compétence limitée par rapport à la LES de référence. Les auteurs notent que la variabilité relativement faible du champ turbulent dans cette région conduit à des contributions négligeables des termes stochastiques dans leur configuration diagnostique actuelle. Le modèle éprouve également des difficultés près de la surface, probablement en raison de l'incapacité de la représentation stochastique à capturer les fluctuations spécifiques à petite échelle résolues par la LES.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que ce travail fournit un cadre de modélisation structuré qui ouvre de nouvelles perspectives pour la dynamique océanique dans un contexte stochastique.

• Justification physique : Contrairement aux approches phénoménologiques, les termes supplémentaires dans les équations stochastiques sont dérivés rigoureusement des lois de conservation et du calcul stochastique, fournissant une justification physique claire de leur forme et de leur rôle (par exemple, analogue au travail baropycnal dans les LES compressibles).
• Cohérence énergétique : Le cadre offre une voie pour améliorer la cohérence énergétique des modèles verticaux à l'échelle sous-maille utilisés dans les modèles de circulation générale océanique (OGCM) en tenant explicitement compte des incertitudes physiques et des approximations, en particulier concernant le couplage entre la dynamique et la thermodynamique.
• Convection pénétrante : La capacité des termes stochastiques à reproduire qualitativement les contraintes de Reynolds manquantes à la base de la couche mixte suggère un potentiel pour représenter les effets de la convection pénétrante sans le coût computationnel des solveurs non hydrostatiques complets.
• Perspectives futures : L'article suggère modestement que, bien que l'approche diagnostique actuelle soit prometteuse, les travaux futurs devraient se concentrer sur la modélisation pronostique des caractéristiques du bruit (par exemple, via des modèles basés sur l'énergie cinétique turbulente) et l'inclusion d'un forçage aléatoire de pression de surface pour mieux capturer la dynamique au sein de la couche mixte et près de la surface.