Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

Résumé Technique : Magnétohydrodynamique Relativiste dans l'Univers Primitif

Énoncé du Problème
L'étude des champs magnétiques primordiaux, des perturbations de fluides et de la production d'ondes gravitationnelles dans l'Univers primitif repose souvent sur des simulations de magnétohydrodynamique (MHD). Historiquement, ces simulations opèrent sous l'hypothèse de mouvements de fluides subrelativistes ($u^2 \ll 1$) et supposent fréquemment la limite où le facteur de Lorentz $\gamma^2 \approx 1$. Bien que cette approximation soit valable pour les fluides dominés par la matière, elle introduit des erreurs non examinées dans les époques dominées par le rayonnement ou lorsque le paramètre de l'équation d'état $c_s^2$ est de l'ordre de l'unité (par exemple, $c_s^2 = 1/3$). Les formulations précédentes ont souvent négligé les dérivées temporelles du facteur de Lorentz ($\partial_\tau \gamma^2$), omettant ainsi des termes non linéaires de l'ordre de $U^2/\ell$ (où $U$ et $\ell$ sont les échelles caractéristiques de vitesse et de longueur). Ces omissions affectent la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, la génération de la vorticité et la vitesse de propagation des ondes MHD, pouvant potentiellement conduire à des vitesses d'Alfvén superluminales si elles ne sont pas corrigées.

Méthodologie
Les auteurs dérivent les lois de conservation de la MHD dans un fond homogène, isotrope et en expansion de type Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW). Le travail procède par plusieurs étapes théoriques :

1. Cadre Géométrique : La métrique FLRW est établie en utilisant le temps conforme $\tau$ et des coordonnées comobiles, permettant une définition générique de l'échelle de temps $\alpha$ pour explorer différentes propriétés d'échelle des variables de fluide.
2. Dynamique des Fluides Parfaits : Les auteurs dérivent les équations du mouvement pour un fluide parfait avec une équation d'état constante $p = c_s^2 \rho$. Ils présentent ces équations sous deux formes :
   • Forme de Conservation : Évolution des composantes du tenseur énergie-impulsion $\tilde{T}^{0\mu}$.
   • Forme de Non-Conservation : Évolution des variables primitives (densité d'énergie comobile $\tilde{\rho}$ et vitesse particulière $u$).
     Crucialement, la dérivation conserve les termes impliquant $\partial_\tau \gamma^2$ et $\partial_\tau u^2$, qui sont souvent écartés dans la limite subrelativiste.
3. Fluides Imperfaits : Le cadre est étendu pour inclure les effets de premier ordre des fluides imparfaits (viscosité et conduction thermique) en utilisant l'approche de la Thermodynamique Classique Irréversible (TCI), fournissant des expressions covariantes pour la viscosité de Navier-Stokes et la conductivité thermique de Fourier.
4. Électromagnétisme : Les équations de Maxwell sont passées en revue dans le fond en expansion, introduisant des champs électromagnétiques comobiles ($\tilde{E}, \tilde{B}$) et une loi d'Ohm généralisée covariante. Le courant de déplacement est analysé pour justifier la limite MHD idéale dans le régime de haute conductivité de l'Univers primitif.
5. Couplage MHD : Les équations de fluide sont couplées aux équations de Maxwell via la force de Lorentz. Les auteurs analysent les perturbations linéaires pour étudier les ondes sonores, d'Alfvén et magnétosoniques.
6. Corrections : Une « correction de Boris » est adaptée au contexte de la MHD relativiste pour garantir que les vitesses d'Alfvén restent subluminales, même en négligeant le courant de déplacement.

Contributions Clés et Résultats

• Équations Subrelativistes Corrigées : L'article démontre que les précédentes équations de MHD subrelativistes (par exemple, celles utilisées dans le Pencil Code) contiennent des erreurs dans les coefficients des termes de convection $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ et des termes de vitesse. Plus précisément, la dérivée temporelle de $\gamma^2$ introduit un facteur de correction de $1/2$ dans certains termes pour les fluides dominés par le rayonnement ($c_s^2 = 1/3$) et modifie les coefficients pour un $c_s^2$ générique. Les équations de la forme de non-conservation corrigées sont présentées dans les équations (1.2) et (6.31).
• Production de Vorticité : Les auteurs montrent que la vorticité ($\omega = \nabla \times u$) n'est plus un invariant topologique dans l'Univers primitif. Même en l'absence de forçage externe et de termes barocliniques, la vorticité peut être générée à partir d'un champ de vitesse initialement sans rotation (curl-free) en raison des corrections relativistes impliquant $c_s^2 \neq 0$ et l'expansion de l'Univers.
• Mise à l'Échelle et Invariance Conforme : L'article passe en revue diverses mises à l'échelle des variables de fluide (comobiles, super-comobiles) pour minimiser les termes de friction de Hubble. Il identifie que pour les flux subrelativistes avec $c_s^2 \neq 1/3$, une mise à l'échelle spécifique ($\beta = 3(1+c_s^2)$) permet à l'équation d'énergie d'être conformement plate, tandis que l'équation de quantité de mouvement conserve un terme de friction de Hubble.
• Vitesse d'Alfvén Relativiste et Correction de Boris : L'analyse révèle que négliger le courant de déplacement dans la MHD idéale peut conduire à des vitesses d'Alfvén superluminales ($v_A > 1$) lorsque $B_0^2/\rho_0$ est grand. Les auteurs adaptent la correction de Boris aux équations de la MHD relativiste, modifiant l'équation de quantité de mouvement pour garantir que $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$, où $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$.
• Coefficients de Transport : Des estimations pour la viscosité de cisaillement, la viscosité de volume et la conductivité thermique dans le plasma primordial sont passées en revue, confirmant que le plasma est effectivement un fluide parfait aux grandes échelles, bien que les effets dissipatifs soient nécessaires pour une modélisation réaliste de la turbulence.

Signification
Ce travail fournit la première description entièrement relativiste des équations de MHD dans un fond en expansion qui inclut les corrections aux limites subrelativistes précédemment négligées. Les auteurs affirment que ces corrections ne sont pas simplement des effets relativistes d'ordre supérieur, mais sont du même ordre que les dérivées de convection dans la dynamique des fluides non linéaires. Par conséquent, l'article soutient que les futures simulations de la magnétohydrodynamique de l'Univers primitif, particulièrement celles impliquant des fluides dominés par le rayonnement ou des phases de haute énergie, doivent incorporer ces termes corrigés pour modéliser avec précision la dynamique non linéaire, la turbulence et la génération de vorticité. Les équations dérivées servent de fondement théorique pour les développements à venir dans les codes numériques tels que le Pencil Code et CosmoLattice.