Turbulence Modelling of Mixing Layers under Anisotropic Strain

Cette étude examine l'impact des taux de déformation anisotropes sur les couches de mélange turbulentes en utilisant le modèle RANS K-L, démontrant qu'une fermeture de déformation transversale améliore la précision prédictive par rapport à l'approche isotrope par défaut et suggérant des modifications correspondantes pour les modèles K-$\epsilon$ et K-$\omega$.

L'essentiel

Imaginez que vous avez un bol contenant deux liquides de couleurs différentes, comme de l'huile et de l'eau, posé sur une table. Si vous secouez la table, la frontière entre eux devient désordonnée et commence à se mélanger. C'est similaire à ce qui se produit dans une couche de mélange turbulent en physique : deux fluides de densités différentes sont poussés l'un contre l'autre, créant un chaos tourbillonnant.

Ce papier traite de la compréhension de ce qui se produit lorsque vous ne secouez pas seulement la table, mais que vous étirez ou comprimez également toute la pièce où le mélange a lieu.

Voici une décomposition de l'histoire du papier, utilisant des analogies simples :

1. Le Cadre : Étirer la Pièce

Dans de nombreux scénarios réels — comme une étoile qui explose (supernova) ou une bombe à fusion nucléaire qui est comprimée — l'espace où les fluides se mélangent n'est pas simplement immobile. L'espace lui-même s'étend ou se contracte.

• L'Analogie : Imaginez que la couche de mélange est un morceau de pâte à pétrir. Habituellement, les scientifiques étudient comment la pâte se mélange lorsque vous la poussez simplement. Mais dans ce papier, les auteurs se demandent : « Que se passe-t-il si, pendant que vous pétrissez, quelqu'un tire également sur la table où repose la pâte, l'étirant dans le sens de la longueur ou la comprimant dans le sens de la largeur ? »
• Le Problème : L'« étirement » (la déformation) n'est pas le même dans toutes les directions. Si vous tirez sur un élastique, il devient plus long dans une direction mais plus fin dans les autres. C'est ce qu'on appelle une déformation anisotrope. La plupart des modèles informatiques utilisés pour prédire ces mélanges supposent que l'étirement est identique dans toutes les directions (comme gonfler un ballon parfait), ce qui ne correspond pas à la réalité.

2. L'Outil : Le Modèle « K-L »

Pour prédire comment les fluides se mélangent, les auteurs utilisent un programme informatique appelé le modèle de turbulence K-L.

• L'Analogie : Considérez ce modèle comme un livre de recettes pour prédire le chaos. Il suit deux ingrédients principaux :
  1. La quantité d'énergie contenue dans les tourbillons (Énergie Cinétique Turbulente).
  2. La taille des tourbillons (Échelle de Longueur Turbulente).
• Le modèle tente de deviner la taille que les tourbillons atteindront au fur et à mesure que les fluides se mélangent. La partie délicate est une règle dans la recette appelée le terme de « compression globale ». Cette règle indique au modèle comment la taille des tourbillons change lorsque toute la pièce est comprimée ou étirée.

3. L'Expérience : Tester Trois Règles Différentes

Les auteurs ont réalisé des simulations informatiques pour déterminer quelle « règle » de compression globale fonctionnait le mieux lorsque la pièce était étirée dans des directions spécifiques. Ils ont testé trois versions de la recette :

1. La Règle « Moyenne » : Elle suppose que l'étirement est identique dans toutes les directions (le paramètre par défaut).
2. La Règle « Dans le Sens de la Longueur » : Elle suppose que la taille des tourbillons change uniquement en fonction de la quantité d'étirement de la pièce dans le sens de la direction du mélange.
3. La Règle « Sur le Côté » : Elle suppose que la taille des tourbillons change en fonction de la quantité d'étirement de la pièce perpendiculairement à la direction du mélange (transversalement à l'écoulement).

4. Les Résultats : La Règle « Sur le Côté » Gagne

Les auteurs ont comparé leurs prédictions informatiques à des simulations haute résolution très détaillées (qui servent de référence « parfaite »).

• La Découverte : La règle par défaut « Moyenne » était correcte, mais pas excellente. La règle « Dans le Sens de la Longueur » a en fait rendu les prédictions pires.
• Le Gagnant : La Règle « Sur le Côté » (utilisant la déformation transversale) était la plus précise.
• Pourquoi ? Les auteurs expliquent que lorsque vous étirez une couche de mélange, les grands « tourbillons » (eddies) se comportent différemment selon la direction. Il s'avère que la taille de ces tourbillons est plus sensible à la façon dont l'espace change sur le côté (transversalement) qu'à la façon dont il change dans le sens de la longueur. En utilisant l'étirement latéral pour ajuster la taille des tourbillons dans la recette, le modèle a prédit la largeur du mélange et l'énergie beaucoup plus précisément.

5. La Vue d'Ensemble : Une Nouvelle Recette « En Trois Parties »

Le papier a également examiné comment simplifier ces équations complexes en un modèle de « Poussée-Traînée » (une manière plus simple de penser au mélange).

• Ils ont réalisé que la « largeur du mélange » et la « taille des tourbillons » réagissent en fait à des forces différentes. La largeur s'étire avec la traction dans le sens de la longueur, mais la taille des tourbillons réagit à la compression sur le côté.
• La Conclusion : Pour obtenir la meilleure prédiction, vous avez besoin d'un modèle qui traite ces deux éléments séparément. Au lieu d'une seule règle pour tout, vous avez besoin d'un modèle en trois parties qui fait évoluer la largeur et la taille des tourbillons indépendamment.

Résumé

En bref, ce papier traite de la correction d'un modèle informatique utilisé pour prédire comment les fluides se mélangent lorsque l'espace qui les entoure est déformé. Les auteurs ont découvert que la méthode standard de calcul de la façon dont les « tourbillons » rétrécissent ou grandir était incorrecte pour ces conditions spécifiques. En changeant la règle pour examiner comment l'espace s'étire sur le côté au lieu de simplement en faire une moyenne, ils ont rendu le modèle beaucoup plus précis. Cela aide les scientifiques à mieux comprendre des événements complexes comme les explosions stellaires ou les expériences d'énergie de fusion, où les fluides sont constamment comprimés et étirés de manière inégale.

Résumé technique

1. Énoncé du problème

Les couches de mélange turbulentes, telles que celles générées par les instabilités de Rayleigh-Taylor (RTI) et de Richtmyer-Meshkov (RMI), sont fondamentales pour la physique des hautes densités d'énergie, y compris la fusion par confinement inertiel (ICF) et les phénomènes astrophysiques comme les supernovae. Dans ces scénarios, l'écoulement subit souvent des taux de déformation anisotropes dus au mouvement radial dans des géométries convergentes (implosions) ou divergentes (explosions).

Les modèles de turbulence actuels basés sur les équations de Navier-Stokes moyennées de Reynolds (RANS), en particulier le modèle K-L largement utilisé (un modèle à deux équations résolvant l'énergie cinétique turbulente $K$ et l'échelle de longueur turbulente $L$), reposent généralement sur des hypothèses de fermeture dérivées pour des déformations isotropes ou des écoulements incompressibles. La fermeture standard du terme de compression volumique dans l'équation de transport de l'échelle de longueur suppose que cette échelle évolue en fonction du taux de déformation isotrope moyen (divergence de la vitesse divisée par 3). Cependant, dans des scénarios anisotropes réalistes (par exemple, des implosions sphériques), les taux de déformation dans les directions radiale (axiale) et circonférentielle (transversale) diffèrent considérablement. L'article aborde l'absence de définition théorique et de modélisation précise de l'effet de la compression volumique sur l'échelle de longueur turbulente dans ces conditions anisotropes.

2. Méthodologie

Les auteurs ont mené une investigation systématique utilisant des simulations RANS unidimensionnelles pour isoler les effets de la direction de la déformation sur l'évolution de la couche de mélange.

• Cadre numérique : Les simulations ont utilisé le modèle de turbulence K-L implémenté dans le code FLAMENCO. Le modèle résout les équations de transport pour l'énergie cinétique turbulente moyennée de Favre ($\tilde{K}$) et l'échelle de longueur turbulente ($L$).
• Cas de test : L'étude était basée sur le cas d'instabilité de Richtmyer-Meshkov du "groupe $\theta$ à l'échelle quart" (configuration lourd-léger, nombre d'Atwood $A_t=0,5$, nombre de Mach du choc $M_a \approx 1,84$).
• Application de la déformation : Pour isoler les effets de l'anisotropie, des taux de déformation normale uniformes ont été appliqués au domaine de simulation dans deux directions distinctes :
  • Déformation axiale ($S_A$) : Déformation appliquée dans la direction du mélange (normale à l'interface).
  • Déformation transversale ($S_T$) : Déformation appliquée dans les directions parallèles à l'interface (plan homogène).
  • Des profils de vitesse constante et de taux de déformation constant ont été testés.
• Variations de fermeture : Trois fermetures différentes pour le terme de compression volumique ($\bar{\rho} L S_\phi$) dans l'équation de l'échelle de longueur ont été comparées :
  1. Fermeture isotrope (par défaut) : Échelle $L$ avec le taux de déformation moyen ($S_I = \nabla \cdot \mathbf{u} / 3$).
  2. Fermeture axiale : Échelle $L$ avec le taux de déformation axial ($S_A$).
  3. Fermeture transversale : Échelle $L$ avec le taux de déformation transversal ($S_T$).
• Validation : Les résultats RANS ont été comparés aux données de haute fidélité de la Simulation des Grandes Échelles implicite (ILES) issues d'études précédentes (Pascoe et al.), qui ont servi de vérité terrain.

3. Contributions clés

• Identification des déficiences de fermeture : L'article démontre que l'hypothèse standard de fermeture isotrope échoue à prédire avec précision l'évolution des couches de mélange turbulentes sous déformation anisotrope, en particulier concernant l'énergie cinétique turbulente (TKE) et la largeur intégrale.
• Proposition d'une fermeture transversale : Les auteurs proposent et valident une nouvelle stratégie de fermeture où l'évolution de l'échelle de longueur turbulente sous compression volumique est pilotée par le taux de déformation transversal ($S_T$) plutôt que par la déformation isotrope moyenne.
• Dérivation d'un modèle de flottabilité-traînée à trois équations : Grâce à une analyse de similitude, les auteurs ont dérivé un modèle de flottabilité-traînée simplifié. Ils ont constaté qu'une échelle de longueur unique ne peut pas simultanément capturer l'échelle de la largeur intégrale (qui suit la déformation axiale) et l'échelle de longueur turbulente (qui suit la déformation transversale). Par conséquent, ils ont développé un modèle à trois équations qui fait évoluer la largeur intégrale et l'échelle de longueur turbulente séparément.
• Généralisation à d'autres modèles : L'étude étend les résultats à d'autres modèles à deux équations populaires (K-$\epsilon$ et K-$\omega$), dérivant des modifications équivalentes de leurs termes de compression volumique basées sur la fermeture de déformation transversale.

4. Résultats

• Largeur intégrale ($W$) :
  • Sous déformation axiale, la largeur de la couche de mélange est directement étirée ou comprimée par le gradient de vitesse de l'écoulement moyen. Toutes les fermetures ont capturé cette tendance, mais la fermeture transversale a fourni la prédiction la plus précise du taux de croissance turbulent, réduisant l'erreur absolue moyenne en pourcentage (MAPE) d'un facteur quatre par rapport à la fermeture isotrope.
  • Sous déformation transversale, la fermeture isotrope a montré presque aucune variation de largeur (annulant incorrectement les effets de production de cisaillement et de compression), tandis que la fermeture transversale a correctement prédit la légère augmentation du taux de croissance observée dans les données ILES.
• Énergie cinétique turbulente (TKE) :
  • La fermeture transversale a nettement surpassé les autres méthodes dans la prédiction de la TKE.
  • La fermeture axiale a été la moins performante, prédisant souvent le mauvais signe de variation de la TKE lors de l'expansion.
  • La fermeture isotrope a surestimé l'influence de la déformation sur la TKE.
• Analyse de similitude :
  • L'analyse a révélé que sous déformation anisotrope, le rapport entre le pic de l'échelle de longueur turbulente et la largeur intégrale ($\beta_W$) n'est pas constant, violant l'hypothèse standard de similitude utilisée dans de nombreuses calibrations K-L.
  • Cela a nécessité le développement du modèle de flottabilité-traînée à trois équations, où la largeur intégrale est mise à l'échelle avec la déformation axiale ($S_A$) et l'échelle de longueur turbulente avec la déformation transversale ($S_T$).
• Équivalence des modèles : Les modifications dérivées pour le modèle K-L ont été mappées avec succès aux modèles K-$\epsilon$ et K-$\omega$, suggérant que le terme de compression volumique dans ces modèles devrait également être ajusté pour tenir compte de la déformation transversale plutôt que de la simple divergence moyenne.

5. Importance

Ce travail apporte une avancée critique dans la modélisation du mélange turbulent compressible dans les applications à haute densité d'énergie.

• Capacité prédictive améliorée : En corrigeant la fermeture de compression volumique pour tenir compte de l'anisotropie, le modèle K-L (et ses équivalents) peut désormais prédire plus précisément la croissance des couches de mélange et la TKE dans les scénarios d'implosion/explosion, qui sont centraux pour la fusion par confinement inertiel (ICF) et les simulations astrophysiques (par exemple, les supernovae).
• Compréhension physique : L'étude clarifie les rôles physiques distincts des déformations axiales et transversales : la déformation axiale pilote principalement l'étirement géométrique de la couche de mélange, tandis que la déformation transversale régit l'évolution des tourbillons turbulents (échelle de longueur) et de la dissipation.
• Application pratique : Les modifications proposées sont relativement simples à mettre en œuvre dans les codes RANS existants mais offrent des améliorations substantielles de la précision sans le coût computationnel de la LES ou de la DNS. Le modèle de flottabilité-traînée à trois équations dérivé offre un outil efficace sur le plan computationnel pour les applications d'ingénierie où les simulations RANS complètes sont trop coûteuses.

En conclusion, l'article soutient que pour les environnements à déformation anisotrope, l'échelle de longueur turbulente doit être modélisée comme évoluant avec le taux de déformation transversal, une découverte qui remet en question l'hypothèse de longue date de l'échelle isotrope dans les fermetures de turbulence standard.