Upscaling the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard model for incompressible multiphase flow in inhomogeneous porous media

Cet article présente la dérivation rigoureuse d'un modèle macroscopique pour l'écoulement diphasique incompressible en milieu poreux hétérogène, obtenu par la méthode de moyenne volumique des équations de Navier-Stokes et de Cahn-Hilliard, intégrant formellement les effets de mouillage et validé par des simulations numériques.

L'essentiel

Imaginez que vous essayez de comprendre comment l'eau et l'huile se déplacent à l'intérieur d'une éponge très complexe, comme celle que l'on trouve dans le sol ou dans une roche poreuse. C'est un défi énorme pour les scientifiques.

Voici une explication simple de ce que cette équipe de chercheurs a fait, en utilisant des images du quotidien.

1. Le Problème : La différence entre le microscope et la carte routière

Pour comprendre ce qui se passe dans cette éponge, il y a deux façons de regarder les choses :

• Le niveau "Microscope" (L'échelle des pores) : Imaginez que vous êtes une goutte d'eau minuscule. Vous voyez chaque petit trou de l'éponge, chaque rebord, et vous devez naviguer dans un labyrinthe serré. Les règles qui gouvernent votre mouvement sont très précises et complexes (c'est ce qu'on appelle les équations de Navier-Stokes). C'est comme essayer de décrire la circulation d'une seule voiture dans un embouteillage de Paris : c'est très détaillé, mais c'est impossible à calculer pour tout le pays en même temps.
• Le niveau "Carte Routière" (L'échelle de Darcy) : C'est la vue d'ensemble. On ne regarde plus chaque voiture, mais le flux moyen de trafic sur une autoroute. On utilise des règles simplifiées (comme la loi de Darcy) pour dire : "L'eau va généralement de A à B". C'est utile pour les ingénieurs qui veulent nettoyer une nappe phréatique ou extraire du pétrole, mais ces règles simplifiées oublient souvent des détails cruciaux, comme la façon dont l'eau "aime" ou "déteste" coller aux parois de l'éponge (l'effet de mouillage).

Le défi : Comment passer du niveau "Microscope" (trop complexe) au niveau "Carte Routière" (trop simpliste) sans perdre les informations importantes ?

2. La Solution : Une "Moyenne Intelligente"

Les auteurs de ce papier ont créé un nouveau modèle mathématique qui fait le pont entre ces deux mondes. Ils ont utilisé une méthode appelée moyenne volumique.

Imaginez que vous prenez une petite loupe (un volume représentatif) et que vous regardez à l'intérieur. Au lieu de compter chaque goutte individuellement, vous calculez une "moyenne" de tout ce qui se passe dans cette loupe.

Mais attention, une simple moyenne ne suffit pas. Si vous mélangez juste de l'eau et de l'huile, vous obtenez une boue sans saveur. Les chercheurs ont dû inventer des coefficients de correction (comme des épices secrètes) pour que cette moyenne garde le goût du mélange réel. Ces épices permettent de dire : "Même si on regarde de loin, on sait encore que l'eau colle aux parois et que l'huile glisse."

3. La Grande Innovation : Le "Sentiment" de l'Éponge

La vraie percée de ce papier, c'est comment ils ont géré le mouillage (l'adhésion).

• L'ancienne façon : Les modèles précédents disaient : "L'eau colle aux parois parce que c'est écrit dans une règle empirique." C'était un peu comme dire "Arrête-toi ici" sans expliquer pourquoi.
• La nouvelle façon : Les chercheurs ont intégré le "sentiment" de l'éponge directement dans l'équation principale. Ils ont créé un concept appelé potentiel chimique moyen.
  • L'analogie : Imaginez que l'éponge a une "mémoire" ou une "attitude". Si l'éponge est hydrophile (elle aime l'eau), elle tire l'eau vers elle. Si elle est hydrophobe (elle déteste l'eau), elle la repousse. Les chercheurs ont réussi à traduire cette "attitude" de l'éponge en une force mathématique qui apparaît naturellement dans leurs équations. C'est comme si le modèle comprenait que l'éponge est "collante" pour l'eau, sans avoir besoin de le lui dire explicitement à chaque fois.

4. La Vérification : Le Test du Laboratoire

Pour s'assurer que leur nouvelle "carte routière" fonctionnait vraiment, ils l'ont testée avec des simulations informatiques (comme un simulateur de vol pour les fluides) :

1. L'écoulement simple : Ils ont vérifié si leur modèle pouvait prédire correctement l'eau qui coule dans un tuyau rempli de gravier. Résultat : Ça marche parfaitement, comme la théorie le prévoyait.
2. Le mélange (Buckley-Leverett) : Ils ont simulé l'injection d'un fluide pour chasser un autre (comme pousser de l'eau pour chasser du pétrole). Leur modèle a réussi à prédire la forme de la vague de déplacement, y compris les zones de mélange.
3. Les doigts visqueux (Viscous Fingering) : C'est le test le plus spectaculaire. Quand on pousse un fluide épais avec un fluide fin, ça forme des sortes de doigts qui s'étirent et se divisent (comme de la peinture qui coule sur du verre). Ils ont montré que leur modèle pouvait prédire comment la "mouillabilité" de l'éponge changeait la forme de ces doigts. Si l'éponge aime l'eau, les doigts sont plus fins et plus dispersés. Si elle ne l'aime pas, ils sont plus gros et plus agressifs.

En Résumé

Ce papier est comme un traducteur universel. Il permet de prendre les lois complexes de la physique qui régissent chaque goutte dans un trou microscopique et de les transformer en une équation simple et utilisable pour les ingénieurs, tout en conservant la "personnalité" de l'éponge (son mouillage).

C'est une avancée majeure car cela permet de mieux prédire comment les fluides se déplacent dans le sol, ce qui est crucial pour :

• Nettoyer les sols pollués.
• Extraire le pétrole ou le gaz plus efficacement.
• Stocker le CO2 dans le sous-sol pour lutter contre le changement climatique.

En gros, ils ont réussi à faire parler la physique des pores avec la langue des ingénieurs, sans perdre le sens de la conversation.

Résumé technique

1. Problématique

Les écoulements diphasiques dans les milieux poreux sont omniprésents dans des applications d'ingénierie telles que la récupération assistée du pétrole, la séquestration du CO2 et la dépollution des eaux souterraines. La modélisation directe à l'échelle des pores (DNS) est précise mais computationally coûteuse et difficilement applicable aux grandes échelles temporelles et spatiales requises par l'industrie.

À l'échelle macroscopique (échelle de Darcy), les modèles traditionnels reposent sur des lois empiriques (comme la loi de Darcy généralisée) qui utilisent des paramètres tels que la perméabilité relative et la pression capillaire. Cependant, ces modèles présentent plusieurs limites :

• Ils dépendent fortement de l'hystérésis et de l'historique de déplacement (drainage vs imbibition).
• La paramétrisation des fonctions de pression capillaire et de perméabilité relative est souvent empirique et ne capture pas pleinement la physique sous-jacente.
• L'influence des conditions aux limites de mouillage (wettability) est souvent traitée de manière ad hoc ou masquée par des fonctions empiriques, plutôt que d'être dérivée rigoureusement des conditions microscopiques.

L'objectif de ce travail est de dériver un modèle macroscopique rigoureux pour l'écoulement diphasique dans des milieux poreux hétérogènes, en partant des équations fondamentales à l'échelle des pores, sans recourir à des hypothèses constitutives empiriques initiales.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent la méthode de moyenne volumique (Volume Averaging Method - VAM) pour upscaler les équations gouvernantes de l'échelle des pores vers l'échelle macroscopique (REV - Representative Elementary Volume).

• Échelle des pores : Le système est décrit par les équations de Navier-Stokes couplées à l'équation de Cahn-Hilliard (NSCH).
  • L'interface entre les deux fluides immiscibles est modélisée par une approche de champ de phase (ordre paramétrique $\phi$).
  • L'énergie libre du système inclut l'énergie de volume, l'énergie d'interface et l'énergie de paroi (liée au mouillage).
  • Les conditions aux limites incluent une condition de non-glissement pour la vitesse et une condition de Neumann pour le potentiel chimique, avec une condition de mouillage spécifique (forme cubique) à la paroi solide.
• Processus de mise à l'échelle :
  • Application des théorèmes de moyenne spatiale et temporelle pour intégrer les équations sur un REV.
  • Décomposition de Gray : séparation des variables en une composante moyenne intrinsèque et une déviation spatiale ($\psi = \langle\psi\rangle_\alpha + \hat{\psi}$).
  • Résolution de problèmes de fermeture (closure problems) définis sur le REV pour exprimer les termes de déviation inconnus en fonction des quantités moyennes.
• Hypothèses clés :
  • Séparation des échelles de longueur ($l \ll r_0 \ll L$).
  • Équilibre local au sein de chaque REV (le potentiel chimique est constant à l'intérieur d'un REV, mais varie d'un REV à l'autre).
  • Fluides incompressibles et newtoniens.

3. Contributions Clés

Ce travail apporte plusieurs avancées théoriques majeures :

1. Modèle à fluide unique rigoureux : Contrairement aux approches à deux fluides (qui résolvent des vitesses et pressions séparées pour chaque phase), les auteurs dérivent un modèle à fluide unique macroscopique. Cela évite la nécessité de conditions aux limites d'interface empiriques.
2. Intégration formelle du mouillage : La contribution la plus significative est la dérivation rigoureuse de l'effet de mouillage dans le potentiel chimique moyen ($\langle\mu\rangle_\alpha$). La condition aux limites de mouillage à l'échelle des pores est directement incorporée dans l'équation macroscopique via le terme de potentiel chimique, reliant explicitement l'angle de contact et la tension superficielle à la dynamique macroscopique.
3. Dérivation des termes de fermeture : Les termes non fermés issus des déviations spatiales (tels que les forces de traînée, la dispersion hydrodynamique et les effets visqueux sous-maille) sont modélisés comme des fonctions des quantités moyennes et de coefficients de transport spécifiques (perméabilité relative, viscosité effective, tenseurs de dispersion).
4. Généralité du modèle : Le modèle dérivé se réduit naturellement aux équations classiques dans des cas limites :
   • Équation de Darcy (en négligeant les termes inertiels et visqueux).
   • Équation de Brinkman (en incluant les termes visqueux).
   • Équations NSCH à l'échelle des pores (lorsque la porosité tend vers 1).

4. Résultats Numériques

Pour valider le modèle, les auteurs ont développé une méthode de Lattice Boltzmann (LBM) adaptée aux équations moyennées et ont réalisé plusieurs simulations :

• Écoulement de Poiseuille en milieu poreux homogène : Comparaison avec la solution analytique. Les résultats montrent un excellent accord pour différents nombres de Darcy, validant la formulation des termes de traînée et de viscosité effective.
• Écoulement dans un canal fluide-poreux : Simulation de l'interface entre une zone libre et une zone poreuse. Le modèle capture correctement le saut de contrainte et la continuité de la vitesse, en accord avec la solution analytique de Chandesris.
• Problème de Buckley-Leverett : Simulation de la propagation d'un front de saturation. Les résultats numériques correspondent bien à la solution analytique de la théorie classique, bien que de légères oscillations numériques soient observées près du front de choc (attribuées à la diffusion numérique de la méthode LBM).
• Doigts visqueux (Viscous Fingering) : Étude qualitative de l'instabilité de Saffman-Taylor. Les simulations démontrent l'influence cruciale de l'angle de contact (mouillage) sur la morphologie des doigts. Un milieu hydrophile ($\theta = 30^\circ$) tend à disperser les doigts et à inhiber leur formation, tandis qu'un milieu hydrophobe favorise une instabilité plus marquée.

5. Signification et Conclusion

Cet article établit un cadre théorique unifié et rigoureux pour la modélisation des écoulements diphasiques dans les milieux poreux. En dérivant les équations macroscopiques directement à partir des lois de conservation microscopiques via la méthode de moyenne volumique, l'étude :

• Réduit la dépendance aux modèles empiriques : Elle remplace les fonctions de pression capillaire ad hoc par une expression dérivée du potentiel chimique moyen, intégrant naturellement les effets de mouillage et de tension superficielle.
• Offre une physique cohérente : Le modèle conserve la cohérence thermodynamique entre les échelles microscopique et macroscopique.
• Prépare le terrain pour des applications complexes : Bien que certains coefficients de fermeture (comme $a_\phi, b_\phi, c_\phi$) aient été simplifiés ou estimés via des approximations de tubes capillaires, le cadre proposé fournit une base solide pour des études futures visant à déterminer ces coefficients pour des géométries poreuses complexes et à établir des liens explicites avec des fonctions classiques comme la fonction J de Leverett.

En résumé, ce travail représente une avancée significative vers une modélisation plus fondamentale et prédictive des écoulements multiphasiques dans les milieux poreux, dépassant les limitations des approches purement empiriques.