Multi-site modelling and reconstruction of past extreme skew surges along the French Atlantic coast

Cette étude propose un cadre de modélisation multi-sites novateur combinant une distribution généralisée de Pareto multivariée et une approche de régression extrême pour reconstruire les séries temporelles historiques de surcotes de tempête extrêmes le long de la côte atlantique française en exploitant des données à long terme provenant de stations clés afin de prédire les événements dans des localités disposant de séries limitées.

L'essentiel

Imaginez la côte atlantique française comme une longue baignoire sinueuse. Parfois, l'eau ne monte pas simplement avec la marée normale ; elle est repoussée violemment par les tempêtes, créant une « surcote asymétrique ». Ces surcotes sont comme des vagues soudaines et dangereuses qui peuvent inonder le rivage.

Le problème auquel les scientifiques étaient confrontés est que certaines parties de cette « baignoire » observent l'eau depuis plus de 150 ans (comme la ville de Brest), tandis que d'autres endroits n'ont commencé à observer que récemment (comme Port Tudy, qui n'a commencé qu'en 1999). Si vous voulez savoir à quel point l'eau était dangereuse à Port Tudy en 1870, vous avez une lacune dans vos données. Vous ne pouvez pas simplement deviner ; vous devez reconstruire l'histoire.

Cet article traite de la construction d'une machine à remonter le temps statistique pour combler ces années manquantes. Voici comment ils l'ont fait, en utilisant des analogies simples :

1. L'idée de base : La « surveillance de quartier »

Les chercheurs ont réalisé que les tempêtes ne frappent pas une seule ville ; elles frappent toute la région. Si une tempête massive frappe Brest (une ville avec une longue histoire de relevés), elle a presque certainement frappé Port Tudy (une ville avec une histoire courte) au même moment, même si Port Tudy ne disposait pas encore d'un marégraphe pour l'enregistrer.

Ils ont utilisé les relevés longs et fiables de Brest et de Saint-Nazaire comme « enseignants » pour deviner ce qui s'est passé dans les « élèves » (Port Tudy, Concarneau et Le Crouesty) durant les années où les élèves n'avaient pas encore leurs propres instruments de mesure.

2. Les deux méthodes : La « Règle » contre la « Boule de cristal »

Pour faire ces prédictions, l'équipe a construit deux types différents de moteurs mathématiques. Imaginez-les comme deux façons différentes de prédire l'avenir en se basant sur le passé.

Méthode A : La « Boule de cristal » (ROXANE - Apprentissage automatique)

• Fonctionnement : Cette méthode utilise un algorithme informatique (spécifiquement, un type d'apprentissage automatique) pour examiner la forme des données de tempête. Imaginez que vous observez une tempête de loin. Vous ne vous souciez pas exactement de la hauteur de l'eau en mètres ; vous vous souciez de l'angle ou de la direction de l'énergie de la tempête.
• L'astuce : L'ordinateur apprend la relation entre l'« angle » de la tempête à Brest et l'« angle » de la tempête à Port Tudy. Une fois qu'il a appris ce modèle, il peut examiner une tempête à Brest en 1870, déterminer l'angle, et deviner instantanément l'angle à Port Tudy.
• Idéal pour : Elle est excellente pour prédire les événements absolument les plus extrêmes (les plus grandes et dangereuses surcotes). Elle vous donne un seul chiffre très précis pour le niveau d'eau probable.

Méthode B : La « Boule de cristal avec filet de sécurité » (MGPRED - Modèle paramétrique)

• Fonctionnement : Cette méthode utilise des règles mathématiques strictes (statistiques) pour construire une carte complète du comportement de l'eau. Au lieu de simplement deviner un chiffre, elle construit un « nuage » de possibilités.
• L'astuce : Elle dit : « Basé sur la tempête à Brest, l'eau à Port Tudy pourrait se situer n'importe où entre 2 mètres et 4 mètres. » Elle ne vous donne pas seulement une estimation ; elle vous donne un intervalle de confiance (un filet de sécurité).
• Idéal pour : Elle est meilleure pour comprendre l'ensemble du tableau, y compris les surcotes plus petites, et elle vous indique à quel point elle est confiante dans son estimation. C'est comme dire : « Je pense qu'il a plu 2 pouces, mais cela aurait pu être n'importe où entre 1,5 et 2,5 pouces. »

3. Le problème du « Seuil » : Quand une vague devient-elle une « surcote » ?

Un défi majeur était de décider ce qui compte comme un événement « extrême ». Une vague de 1 mètre est-elle extrême ? Et une de 1,5 mètre ?

• L'innovation : Les auteurs ont inventé une nouvelle méthode automatique pour tracer la ligne. Ils ont utilisé une courbe mathématique spéciale (appelée distribution EGP) pour trouver le point exact où les données commencent à se comporter comme une tempête « sauvage » plutôt qu'une journée normale. C'est comme un capteur intelligent qui décide automatiquement : « D'accord, tout ce qui dépasse cette hauteur spécifique est une tempête que nous devons étudier. »

4. Les résultats : Combler les lacunes

L'équipe a testé ses méthodes sur des données qu'elle possédait déjà (les années où Port Tudy avait un marégraphe) pour voir si elle pouvait correctement « prédire » le passé.

• Le verdict : Les deux méthodes ont bien fonctionné.
  • La méthode d'apprentissage automatique (ROXANE) était légèrement meilleure pour prédire les surcotes les plus grandes (celles qui causent le plus de dégâts).
  • La méthode statistique (MGPRED) était meilleure pour prédire les surcotes plus petites et leur a fourni une plage d'incertitude, ce qui est crucial pour la gestion des risques.
• Le voyage dans le temps : Ils ont utilisé avec succès ces modèles pour reconstruire l'histoire de Port Tudy jusqu'en 1846. Ils ont découvert que la plus grande tempête qu'ils ont prédite s'est produite le réveillon de Noël 1876/1877. Cela correspondait aux registres historiques d'une tempête massive ayant causé des inondations en Bretagne, prouvant que leur « machine à remonter le temps » était précise.

Résumé

En bref, cet article nous apprend comment utiliser la longue histoire d'une ville pour « combler les blancs » de ses voisins. En utilisant deux outils mathématiques différents — l'un axé sur les pics les plus aigus et l'autre sur l'ensemble des possibilités — ils ont créé une histoire fiable des niveaux d'eau extrêmes. Cela aide les gestionnaires côtiers à comprendre à quelle fréquence des inondations dangereuses pourraient se produire, même dans des endroits où nous ne disposons pas d'anciens registres.

Résumé technique

Résumé technique : Modélisation multi-sites et reconstruction des fortes surcotes extrêmes passées le long du littoral atlantique français

Énoncé du problème
L'article traite du besoin critique de modéliser et de reconstruire les événements historiques de niveaux marins extrêmes, spécifiquement les surcotes asymétriques (skew surges), le long du littoral atlantique français. Les surcotes asymétriques, définies comme la différence entre les niveaux marins maximaux observés et les marées prédites astronomiquement, sont les principaux moteurs des inondations côtières. Un défi majeur se pose pour les stations marégraphiques disposant de courtes séries d'observations (par exemple, Port Tudy, Concarneau, Le Crouesty), qui manquent de la profondeur historique requise pour estimer avec précision les périodes de retour à long terme. L'objectif est de reconstruire les séries temporelles manquantes de surcotes asymétriques extrêmes à ces stations à courtes séries en exploitant la dépendance statistique spatiale avec des stations voisines disposant de données historiques étendues (par exemple, Brest et Saint-Nazaire, avec des séries s'étendant sur plus de 150 ans).

Méthodologie
L'étude emploie un cadre POT (Peaks-Over-Threshold) dans le contexte de la théorie des valeurs extrêmes multivariées (EVT). Contrairement aux approches par blocs maximaux, les auteurs définissent un événement extrême comme survenant chaque fois qu'au moins une station d'entrée enregistre une valeur dépassant un seuil élevé, reconnaissant qu'une seule forte surcote dans une station voisine peut provoquer une inondation sur le site cible indépendamment des conditions locales.

La méthodologie se divise en trois composantes principales :

1. Modélisation marginale et sélection du seuil :

   • Les auteurs modélisent les distributions marginales en utilisant la distribution Généralisée de Pareto Étendue (EGP), qui permet de modéliser l'ensemble de la partie positive de la distribution tout en convergeant asymptotiquement vers une distribution de Pareto Généralisée (GP) dans la queue.
   • Une méthode nouvelle et automatisée est proposée pour sélectionner le seuil $t$. Au lieu de s'appuyer sur des graphiques de stabilité visuels, le seuil est défini comme la valeur la plus basse au-dessus de laquelle la densité EGP ajustée devient strictement convexe. Cela exploite la propriété selon laquelle les densités GP sont strictement convexes pour des paramètres de forme $\xi > -1/2$.

2. Approches de prédiction multivariée :
   Deux approches complémentaires sont développées et comparées pour prédire la variable cible $Y$ (surcote asymétrique à la station à courte série) étant donné les covariables $X$ (surcotes asymétriques aux stations à longues séries) :

   • Apprentissage automatique non paramétrique (ROXANE) : Cette approche utilise l'algorithme ROXANE (Clémençon et al., 2025). Elle transforme les données vers des marges de Pareto unitaires et se concentre sur la prédiction de la composante « angulaire » ($\Theta_Y$) de la cible basée sur la composante angulaire des covariables ($\Theta_X$), exploitant l'indépendance asymptotique entre les composantes radiales et angulaires dans la queue. L'algorithme utilise des modèles de régression standards (testés avec les Moindres Carrés Ordinaires et la Forêt Aléatoire) entraînés sur ces variables angulaires.
   • Modélisation paramétrique (MGPRED) : Cette approche transforme les données vers des marges exponentielles unitaires et ajuste une distribution Généralisée de Pareto Multivariée (MGP) aux dépassements décalés. Elle emploie une approche de vraisemblance censurée pour ajuster des modèles paramétriques (spécifiquement, des composantes de Gumbel indépendantes avec un paramètre de dépendance) aux données extrêmes. La prédiction est effectuée par échantillonnage de Monte Carlo à partir de la distribution conditionnelle, permettant la génération d'intervalles de prédiction.

Contributions clés

• Sélection de seuil novatrice : L'article introduit un critère automatisé basé sur la convexité pour sélectionner les seuils univariés dans le cadre EGP, réduisant la dépendance à l'inspection visuelle subjective.
• Cadre comparatif : Il fournit une comparaison directe rare entre une approche d'apprentissage automatique agnostique au modèle (ROXANE) et une approche EVT multivariée entièrement paramétrique (MGPRED) pour la tâche spécifique de reconstruction des composantes extrêmes manquantes.
• Lien théorique : Les auteurs élucident le lien théorique entre les deux méthodes, démontrant que malgré leurs différences méthodologiques (régression angulaire vs modélisation de densité conditionnelle), elles reposent sur des hypothèses statistiques essentiellement équivalentes concernant la queue de la distribution.
• Reconstruction de données historiques : Les méthodes sont appliquées avec succès pour reconstruire la série temporelle des surcotes asymétriques extrêmes à Port Tudy avant 1966, en utilisant les données de Brest et Saint-Nazaire.

Résultats

• Ajustement marginal : La distribution EGP a fourni un ajustement robuste pour les données marginales, et la méthode de sélection de seuil proposée a efficacement identifié la région où l'approximation GP est valide (vérifiée en comparant les ajustements EGP et GP au-dessus du seuil).
• Performance prédictive :
  • MGPRED a démontré une performance globale supérieure en termes d'Erreur Quadratique Moyenne (RMSE) et d'Erreur Absolue Moyenne (MAE) sur l'ensemble du jeu de test. Elle a offert une meilleure modélisation des petites valeurs extrêmes et a présenté l'avantage de générer des intervalles de prédiction (la probabilité de couverture de 0,95 était de 0,89).
  • ROXANE (spécifiquement avec OLS) a légèrement mieux performé dans les régions les plus extrêmes (la queue supérieure), produisant des estimations ponctuelles plus précises pour les plus grandes surcotes asymétriques.
  • Les deux méthodes ont eu des difficultés avec la queue inférieure de la distribution extrême (valeurs extrêmes plus petites), une limitation attribuée à la sensibilité de la rétro-transformation aux erreurs dans le paramètre de forme $\kappa$ et à l'utilisation de vraisemblances censurées qui privilégient les événements les plus extrêmes.
• Reconstruction historique : La série temporelle reconstruite pour Port Tudy (avant 1966) a capturé avec succès les événements historiques majeurs, tels que la forte surcote asymétrique enregistrée dans la nuit du 31 décembre 1876 au 1er janvier 1877, qui correspondait à de grandes tempêtes à Brest et Saint-Nazaire.

Importance et affirmations
L'article affirme que les approches non paramétrique et paramétrique produisent toutes deux des résultats valides et pratiquement significatifs pour la reconstruction des niveaux marins extrêmes.

• Utilité pratique : La procédure MGPRED est recommandée pour les scénarios nécessitant une performance globale et une quantification de l'incertitude (intervalles de prédiction), tandis que la procédure ROXANE est préférée lorsque l'objectif principal est la prédiction ponctuelle la plus précise des événements absolus les plus grands.
• Avancement méthodologique : Le travail promeut l'utilisation de la théorie des valeurs extrêmes multivariée en géoscience, mettant spécifiquement en évidence l'utilité de la distribution EGP pour la modélisation marginale et de l'algorithme ROXANE pour la régression extrême.
• Limites et travaux futurs : Les auteurs notent modestement que les modèles sont moins précis pour les années plus anciennes, potentiellement en raison de tendances temporelles non modélisées (par exemple, le réchauffement climatique) qui peuvent différer d'une station à l'autre. Ils reconnaissent également que les modèles actuels n'intègrent pas de covariables météorologiques (comme le vent), ce qui pourrait améliorer la modélisation des événements extrêmes plus petits. La construction d'intervalles de prédiction statistiquement solides pour les covariables extrêmes est identifiée comme un sujet de recherche futur.

L'étude conclut que ces méthodes sont largement applicables à d'autres problèmes d'extrêmes spatiaux et peuvent être étendues pour inclure des covariables supplémentaires ou appliquées à l'imputation de données manquantes pour d'autres variables comme le vent ou la pression.