Using Physics Informed Neural Network (PINN) and Neural Network (NN) to Improve a $k-ω$ Turbulence Model

Cette étude améliore le modèle de turbulence $k-\omega$ de Wilcox en corrigeant sa sous-estimation de l'énergie cinétique turbulente grâce à l'intégration de réseaux de neurones informés par la physique (PINN) et de réseaux de neurones (NN), validant ainsi le nouveau modèle « $k-\omega$-PINN-NN » sur divers écoulements turbulents avec une excellente concordance aux données DNS.

L'essentiel

🌊 Le Problème : Le Moteur qui "Roule" mais qui "Tousse"

Imaginez que vous essayez de prédire comment l'eau coule dans une rivière ou autour d'une aile d'avion. Pour cela, les ingénieurs utilisent des modèles mathématiques (des "recettes") appelés modèles de turbulence.

Le modèle le plus célèbre, appelé Wilcox k-ω, est comme un chef cuisinier très expérimenté. Il sait parfaitement prédire la vitesse de l'eau (le courant principal). C'est comme s'il savait exactement à quelle vitesse la voiture roule sur l'autoroute.

Mais il y a un problème : Ce chef oublie de mesurer la quantité de "moteur" qui fait bouger les choses. En physique, c'est l'énergie cinétique turbulente (l'agitation des tourbillons). Le modèle dit : "Il y a très peu d'agitation", alors que dans la réalité (mesurée par des super-ordinateurs très précis appelés DNS), il y a beaucoup plus d'agitation.

C'est comme si votre voiture roulait à 100 km/h, mais le compteur de vitesse indiquait que le moteur ne tourne qu'à 20 km/h. La voiture avance, mais le diagnostic est faux.

🧠 La Solution : L'Intelligence Artificielle "Sage" (PINN) et l'Intelligence Artificielle "Apprenante" (NN)

L'auteur, Lars Davidson, a décidé de corriger ce chef cuisinier en utilisant deux types d'intelligence artificielle (IA).

1. Le Détective Mathématique (PINN)

D'abord, il utilise une technique appelée PINN (Réseau de Neurones Informé par la Physique).

• L'analogie : Imaginez que vous avez une équation mystérieuse (la recette de la turbulence) qui ne fonctionne pas. Vous avez les ingrédients exacts (les données réelles de l'eau). Au lieu de deviner, vous demandez à un détective (le PINN) de trouver la seule et unique pièce manquante dans la recette pour que tout s'aligne avec la réalité.
• Ce qu'il a trouvé : Le détective a découvert que le problème venait de la façon dont l'agitation se diffuse (se propage) dans l'eau. Il a créé une nouvelle "règle de diffusion" parfaite pour ce cas précis.

2. Le Traducteur Universel (NN)

Le problème avec le détective (PINN), c'est qu'il est très spécifique. Il a trouvé la solution pour une rivière précise. Si on change de rivière, il faut le faire recommencer. C'est trop lent pour les ingénieurs.

C'est là qu'intervient le NN (Réseau de Neurones classique).

• L'analogie : Le NN est comme un étudiant brillant. On lui montre les notes du détective (les règles parfaites trouvées par le PINN) et on lui dit : "Apprends par cœur la logique derrière ces notes, pour que tu puisses les appliquer à n'importe quelle situation, même si tu n'as jamais vu cette rivière avant."
• Le résultat : L'étudiant (le NN) apprend à prédire les corrections nécessaires en regardant seulement deux indices simples : la force totale du courant et la viscosité (l'épaisseur) de l'eau.

🏗️ Le Nouveau Modèle : Le "k-ω-PINN-NN"

En combinant ces deux IA, l'auteur crée un nouveau modèle de turbulence.

1. Il garde la capacité du modèle original à prédire la vitesse de l'eau (le moteur tourne bien).
2. Il utilise l'IA pour ajuster les "coefficients" (les épices de la recette) afin que l'énergie turbulente (l'agitation) soit enfin correcte.

Les résultats ?

• Dans les canaux droits (comme des tuyaux) : Le nouveau modèle est parfait. Il prédit la vitesse et l'agitation exactement comme la réalité.
• Sur une plaque plate (comme une aile d'avion) : C'est excellent, même si l'agitation est un tout petit peu trop forte (comme un moteur qui rugit un peu trop, mais qui reste efficace).
• Sur une colline (un obstacle complexe) : C'est là que c'est impressionnant. Le modèle gère très bien les tourbillons complexes qui se forment derrière l'obstacle, là où les anciens modèles échouaient souvent.

🛠️ L'Idée de Génie Finale : Remplacer l'IA par une Formule Simple

À la fin, l'auteur fait une remarque très importante. Les réseaux de neurones (les IA) sont puissants, mais ils sont comme des "boîtes noires". Les logiciels de simulation industriels (comme ceux utilisés par Airbus ou Renault) ont du mal à les intégrer directement.

L'auteur utilise alors une technique appelée régression symbolique (pySR).

• L'analogie : Au lieu de donner à l'ingénieur un ordinateur complexe qui "pense" (le réseau de neurones), il lui donne la formule mathématique exacte que l'ordinateur a découverte.
• Le résultat : Il obtient une équation simple (comme $y = ax + b$, mais un peu plus compliquée) qui peut être écrite sur un bout de papier et intégrée n'importe où, même dans les logiciels commerciaux les plus anciens.

En Résumé

Ce papier raconte l'histoire d'un modèle de physique imparfait qui a été "réparé" par l'intelligence artificielle.

1. On a utilisé un détective (PINN) pour trouver la solution parfaite dans un cas simple.
2. On a utilisé un étudiant (NN) pour apprendre cette solution et la généraliser à des cas complexes.
3. On a transformé la réponse de l'étudiant en une formule mathématique simple pour que tout le monde puisse l'utiliser demain.

C'est une victoire de l'hybridation : la rigueur de la physique rencontre la flexibilité de l'apprentissage automatique pour mieux comprendre comment l'eau et l'air bougent autour de nous.

Résumé technique

1. Problématique

Les modèles de turbulence RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) basés sur la viscosité turbulente, tels que les modèles $k-\varepsilon$ et $k-\omega$, sont conçus pour prédire correctement le champ de vitesse moyen et les contraintes de cisaillement turbulentes. Cependant, ils présentent une limitation majeure : ils sous-estiment systématiquement l'énergie cinétique turbulente ($k$).

L'analyse des termes de l'équation de transport de $k$ par rapport aux données de simulation numérique directe (DNS) révèle que :

• Les termes de production ($P_k$) et de dissipation ($\varepsilon$) sont généralement bien prédits.
• Le terme de diffusion turbulente est mal modélisé, ce qui conduit à une prédiction incorrecte de $k$.

L'objectif de ce travail est d'améliorer la prédiction de l'énergie cinétique turbulente tout en conservant la précision du modèle standard pour la vitesse moyenne et la viscosité turbulente.

2. Méthodologie

L'auteur propose une approche hybride combinant les Réseaux de Neurones Informés par la Physique (PINN) et les Réseaux de Neurones (NN) classiques pour développer un nouveau modèle : le $k-\omega$-PINN-NN.

Étape 1 : Correction via PINN (Physique Informed)

• Principe : Au lieu d'optimiser simplement des constantes globales, l'auteur transforme l'équation de $k$ en une équation différentielle ordinaire (EDO) pour la viscosité turbulente ($\nu_{t,PINN}$).
• Données d'entrée : Les termes de production, de dissipation et l'énergie cinétique $k$ sont extraits directement de données DNS pour un écoulement de canal pleinement développé ($Re_\tau = 5200$).
• Résolution : Un PINN résout l'EDO pour trouver une nouvelle viscosité turbulente $\nu_{t,PINN}$ qui force le terme de diffusion à correspondre aux données DNS.
• Calcul du Prandtl : Un nouveau nombre de Prandtl turbulent, $\sigma_{k,PINN}$, est défini comme le rapport $\nu_t / \nu_{t,PINN}$.

Étape 2 : Préservation de la viscosité turbulente

Si l'on modifie $k$, la viscosité turbulente $\nu_t = k/\omega$ change également, ce qui dégraderait la prédiction de la vitesse moyenne. Pour éviter cela :

• Le modèle doit prédire le même $\nu_t$ que le modèle $k-\omega$ standard.
• Cela nécessite de modifier le terme de dissipation dans l'équation de $k$ et le terme de destruction dans l'équation de $\omega$.
• Deux fonctions de correction, $C_{k,PINN}$ et $C_{\omega2,PINN}$, sont introduites et calculées analytiquement à partir des équations de transport en utilisant les données DNS, afin de compenser l'augmentation de $k$ tout en maintenant $\nu_t$ constant.

Étape 3 : Généralisation via Réseaux de Neurones (NN)

Les coefficients $\sigma_{k,PINN}$, $C_{k,PINN}$ et $C_{\omega2,PINN}$ dépendent initialement de la position $y/\delta$, ce qui les rend inapplicables aux écoulements complexes (recirculation).

• Apprentissage : Trois modèles de réseaux de neurones (NN) sont entraînés pour prédire ces coefficients.
• Entrées (Features) : Les NN utilisent deux paramètres d'entrée non dimensionnels universels :
  1. Le rapport de la contrainte totale : $\tau_{tot}/u_\tau^2$.
  2. Le rapport de la viscosité turbulente : $\nu_t/(y u_\tau)$.
• Cibles (Targets) : Les valeurs de $\sigma_{k,PINN}$, $C_{k,PINN}$ et $C_{\omega2,PINN}$ obtenues par la méthode PINN/DNS.
• Implémentation : Ces NN sont intégrés dans le code CFD pyCALC-RANS pour résoudre les équations de $k$ et $\omega$ dynamiquement.

3. Contributions Clés

1. Nouveau Modèle Hybride : Développement du modèle $k-\omega$-PINN-NN qui corrige spécifiquement la diffusion turbulente tout en préservant la prédiction de la vitesse moyenne.
2. Méthodologie de Correction Locale : Utilisation du PINN pour dériver des coefficients locaux basés sur la physique réelle (DNS) plutôt que d'ajuster des constantes globales.
3. Généralisation pour Écoulements Complexes : Transformation des coefficients dépendants de la géométrie simple (canal) en fonctions universelles via des NN, permettant l'application à des écoulements de recirculation (collines périodiques).
4. Alternative Symbolique : Démonstration de la possibilité de remplacer les NN par une régression symbolique (via pySR) pour générer des équations algébriques explicites, facilitant l'importation dans des codes CFD commerciaux.

4. Résultats

Le modèle a été validé sur plusieurs cas tests comparés aux données DNS :

• Écoulement de canal (Fully-developed channel flow) :

  • Testé pour $Re_\tau = 550, 2000, 5200, 10000$.
  • Résultats : Le modèle prédit avec une excellente précision les profils de vitesse, de frottement pariétal et surtout de l'énergie cinétique turbulente ($k$), corrigeant la sous-estimation massive du modèle standard. Les profils de viscosité turbulente restent très proches du modèle standard, confirmant la stabilité de la vitesse moyenne.
  • Note : De légères oscillations des coefficients NN ont été observées, nécessitant un lissage temporel (moyenne pondérée exponentielle) pour la convergence.

• Couche limite sur plaque plane (Flat-plate boundary layer) :

  • À $Re_\theta = 4500$.
  • Résultats : Excellente prédiction du frottement pariétal et du profil de vitesse. Le pic de $k$ est légèrement surestimé par rapport au DNS, mais la forme du profil est nettement meilleure que celle du modèle standard.

• Écoulement sur colline périodique (Periodic hill flow) :

  • Écoulement 3D instationnaire avec séparation et recirculation ($Re = 10600$).
  • Résultats : Accord très bon avec la DNS pour les profils de vitesse et les contraintes de cisaillement.
  • Observation sur les coefficients : Dans la zone loin des parois, les NN prédisent des valeurs constantes ($\sigma_{k,NN} \approx 1.21$, $C_{k,NN} \approx 0.41$, $C_{\omega2,NN} \approx 0.043$) car les paramètres d'entrée restent dans les bornes du jeu de données d'entraînement. L'utilisation de ces constantes fixes fonctionne bien pour la colline mais échoue pour les écoulements de canal, soulignant la nécessité des NN pour la généralisation.

5. Signification et Conclusion

Ce travail démontre que l'intégration de l'apprentissage automatique dans les modèles de turbulence RANS peut résoudre des défauts physiques persistants (comme la mauvaise prédiction de $k$) sans sacrifier la robustesse du modèle pour les grandeurs moyennes.

• Avantage principal : La capacité à corriger la physique locale (diffusion) tout en respectant les contraintes globales (viscosité turbulente constante).
• Perspective industrielle : La proposition de remplacer les réseaux de neurones par des équations symboliques (via pySR) est une avancée significative. Elle permet d'obtenir des modèles améliorés sous forme d'expressions algébriques simples, facilement intégrables dans les codes CFD commerciaux qui ne supportent pas nativement les bibliothèques de Deep Learning (comme PyTorch).

En résumé, l'article propose une voie prometteuse pour l'évolution des modèles de turbulence, passant d'une optimisation de constantes empiriques à une correction physique guidée par les données et l'apprentissage automatique.