A Modified Suspension-Balance Model for Deformable Particle Suspensions: Application to Blood Flows with Cell-Free Layer

Cet article propose un modèle de suspension-équilibre modifié qui incorpore des forces de portance hydrodynamique pour simuler efficacement les flux sanguins dans les canaux microvasculaires, capturant avec succès des phénomènes clés tels que la formation de la couche sans cellules, les profils d'hématocrite et de vitesse, ainsi que les effets Fahraeus et Fahraeus-Lindqvist.

L'essentiel

Imaginez une autoroute très fréquentée où les voitures sont en réalité de minuscules globules rouges mous et spongieux, et la route est un vaisseau sanguin microscopique. Dans une autoroute normale, on pourrait s'attendre à ce que le trafic soit réparti uniformément. Mais dans notre corps, ces « voitures » ont une habitude étrange : elles détestent être près des parois. Elles préfèrent se regrouper au milieu de la route, laissant une voie vide et dégagée juste à côté du trottoir.

Cette voie vide est appelée la couche sans cellules (Cell-Free Layer ou CFL). C'est une caractéristique cruciale de la circulation sanguine qui aide notre sang à circuler plus vite et avec moins de friction.

Le Problème : L'ancienne carte manquait un virage

Depuis des années, les scientifiques tentent de construire des modèles informatiques pour simuler la façon dont le sang circule. Ils utilisent ce qu'on appelle un « Modèle d'Équilibre de Suspension » (Suspension Balance Model ou SBM). Considérez ce modèle comme un logiciel de simulation de trafic.

L'ancienne version de ce logiciel était douée pour prédire que les voitures se déplaceraient vers le centre de la route en raison de la façon dont elles s'entrechoquent. Cependant, elle ne parvenait pas à expliquer pourquoi les voitures étaient si impatientes de quitter les parois. Elle ne pouvait pas créer cette « voie sans cellules » près du bord. C'était comme un GPS qui savait que les voitures avançaient, mais qui ne savait pas qu'elles évitaient activement le trottoir.

La Solution : Un nouveau bouton « Pousser »

Les auteurs de cet article, dirigés par Hugo Castillo-Sánchez et Leonardo Liu, ont décidé de réparer le logiciel. Ils ont réalisé que, parce que les globules rouges sont mous (déformables), ils génèrent une force spéciale invisible lorsqu'ils s'approchent trop près d'une paroi.

Ils appellent cela la Force de Portance (Lift Force).

• L'analogie : Imaginez que vous nagez près du bord d'une piscine. Pendant que vous bougez, l'eau vous repousse légèrement loin du mur. Pour les globules rouges, ce « coup de pouce » est beaucoup plus fort car ils sont mous et changent de forme en se faufilant le long de la paroi.
• La correction : L'équipe a ajouté cette « Force de Portance » à leur modèle informatique. Ils ont créé un Modèle d'Équilibre de Suspension Modifié (MSBM). Désormais, le logiciel ne se contente pas de regarder les voitures ; il les pousse activement loin de la paroi, tout comme l'eau repousse un nageur.

Qu'est-il arrivé lorsqu'ils ont lancé la simulation ?

Lorsqu'ils ont activé cette « Force de Portance » dans leur ordinateur, les résultats ont radicalement changé :

1. La voie vide est apparue : La simulation a réussi à créer cette zone dégagée près de la paroi (la CFL) que nous observons dans la vie réelle.
2. Le bouchon de circulation au milieu : Les globules rouges se sont accumulés au centre, créant un noyau dense.
3. La forme du flux : Parce que les cellules étaient regroupées au milieu et que les bords étaient dégagés, le sang ne coulait pas en une arche lisse (comme une rivière normale). Au lieu de cela, il coulait comme un bouchon solide ou un piston, avec un sommet plat. C'est exactement ce qui se passe dans les micro-vaisseaux réels.

Test du nouveau modèle

L'équipe n'a pas seulement deviné ; elle a testé son nouveau modèle par rapport à des données réelles et d'autres simulations complexes :

• Voyage dans le temps : Ils ont observé comment la « voie vide » se formait au fil du temps. Cela commençait avec des cellules partout, puis, lentement, la « Force de Portance » les a poussées loin des parois jusqu'à ce que la voie soit dégagée. Cela correspondait à la vitesse et au comportement observés lors d'expériences à caméra haute vitesse.
• L'effet Fåhræus : C'est un terme sophistiqué pour une observation simple : le sang circule plus vite dans les tubes minuscules que ce que l'on pourrait prévoir, et la concentration de cellules au milieu est différente de la concentration à la sortie. Leur nouveau modèle a prédit cela parfaitement.
• L'effet Fåhræus-Lindqvist : C'est l'observation selon laquelle le sang devient « plus fluide » (moins visqueux) lorsqu'il circule dans de très petits tubes. Leur modèle a également capturé cela, montrant que la couche sans cellules près de la paroi réduit la friction, facilitant ainsi la circulation du sang.

L'essentiel

L'article affirme qu'en ajoutant un simple « coup de pouce » (la force de portance) à leur modèle informatique, ils peuvent désormais simuler avec précision le comportement du sang dans les minuscules vaisseaux.

• Ce qu'il fait : Il capture la formation de la couche sans cellules, le flux de type « bouchon », et les célèbres « effets Fåhræus » qui rendent la circulation sanguine efficace dans nos corps.
• Ce qu'il ne fait pas (encore) : Les auteurs admettent que pour les tubes très larges (plus de 40 micromètres), le modèle repousse les cellules un peu trop. Ils soupçonnent que c'est parce que leur modèle ne prend pas encore en compte la façon dont les cellules se « protègent » mutuellement de la paroi lorsqu'elles sont entassées. Ils prévoient de corriger cela dans des travaux futurs.

En résumé, ils ont construit un meilleur jumeau numérique du flux sanguin qui comprend que les globules rouges ne sont pas de simples passagers passifs, mais des nageurs actifs qui se poussent loin des parois pour garder l'autoroute dégagée.

Résumé technique

Résumé technique : Un modèle de balance de suspension modifié pour les suspensions de particules déformables

Énoncé du problème
La modélisation de l'écoulement des globules rouges (GR) et d'autres suspensions de particules déformables dans des géométries confinées présente des défis importants en raison de la non-linéarité inhérente, des interactions multi-corps et des comportements rhéologiques non newtoniens. Un phénomène critique dans la microcirculation est la formation d'une couche exempte de cellules (CFL - cell-free layer), une région proche de la paroi où les GR sont déplétés. Cette couche est physiologiquement essentielle pour maintenir une faible viscosité apparente et favoriser la margination des plaquettes. Bien que les modèles de calcul directs à l'échelle cellulaire puissent capturer la formation de la CFL, ils sont souvent trop coûteux en termes de calcul pour les simulations à l'échelle des réseaux vasculaires ou des organes. Inversement, les modèles de continuum existants, tels que le modèle de balance de suspension (SBM) conventionnel, échouent souvent à capturer la CFL car ils ne tiennent pas compte de manière adéquate des forces de portance hydrodynamique induites par la déformabilité qui éloignent les particules des parois.

Méthodologie
Les auteurs proposent un modèle de balance de suspension modifié (MSBM) qui augmente le cadre du SBM conventionnel par un terme de force de portance spécifique pour rendre compte des interactions hydrodynamiques paroi-GR.

• Cadre théorique : Le modèle conserve les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement standards pour la suspension globale et les phases de particules. La modification centrale réside dans la balance de quantité de mouvement de la phase particulaire. Le SBM conventionnel rend compte de la migration des particules pilotée par la divergence de la contrainte de la phase particulaire ($\nabla \cdot \langle \Sigma \rangle_p$) et du frottement de décantation entravé. Le MSBM introduit un terme de force de portance volumique moyenne supplémentaire, $\phi L_\perp$, dérivé d'observations expérimentales de vésicules déformables et de GR.
• Formulation de la force de portance : La force de portance est modélisée en fonction du taux de cisaillement local ($\dot{\gamma}$), de la distance par rapport à la paroi ($h$) et d'un paramètre de volume réduit ($\nu$). Le terme prend la forme $L_\perp \propto \frac{\dot{\gamma}}{(h+h_0)^\beta}$, où $\beta$ est un coefficient de loi de puissance ajusté pour refléter la dépendance des particules (spécifiquement pour les GR), et $h_0$ est un facteur géométrique pour éviter la singularité à la paroi.
• Implémentation numérique : Le MSBM a été implémenté dans OpenFOAM, étendant le solveur SbmFoam existant pour créer SbmBloodFoam. Le solveur utilise une approche de méthode de volumes finis (FVM). Pour valider le modèle de continuum, les auteurs ont employé un solveur de flux sanguin multi-échelle validé expérimentalement, basé sur la méthode de Lattice Boltzmann (LB) et des modèles de capsules déformables à grains grossiers pour les GR.

Résultats clés
L'étude démontre la capacité du MSBM à simuler les écoulements sanguins dans des canaux et des tubes microvasculaires, capturant les comportements transitoires et stationnaires :

1. Formation de la CFL et profils de vitesse : Contrairement au SBM conventionnel, qui prédit un profil de vitesse parabolique et une concentration non nulle à la paroi, le MSBM capture avec succès la formation d'une CFL et le profil de vitesse de type « écoulement de bouchon » (plug-flow) caractéristique du sang. Le modèle montre que l'augmentation du paramètre de force de portance ($\beta$) augmente l'épaisseur de la CFL.
2. Sensibilité paramétrique :
   • Hématocrite global ($\phi_b$) : À mesure que $\phi_b$ augmente, l'épaisseur de la CFL diminue, ce qui est cohérent avec la littérature.
   • Concentration de compactage maximale ($\phi_m$) : Des valeurs de $\phi_m$ plus élevées (représentant une plus grande agrégation ou propension au compactage des GR) entraînent des CFL plus épaisses et des pics d'hématocrite centraux plus élevés.
3. Évolution temporelle : Le modèle capture le développement transitoire de la CFL. Initialement, l'hématocrite est uniforme ; au fil du temps, les GR migrent vers le centre, formant une couche déplétée en cellules près de la paroi et un noyau concentré, atteignant finalement un état stationnaire.
4. Validation par rapport à la théorie et aux expériences :
   • Écoulement de cisaillement simple : Le modèle reproduit l'échelle linéaire de l'épaisseur cubique de la CFL ($\delta_{CFL}^3$) avec le temps adimensionnel ($t\dot{\gamma}$) à des échelles de temps courtes, correspondant aux lois d'échelle observées dans les expériences de migration de particules uniques.
   • Écoulements en canaux : Les prédictions du MSBM pour la vitesse et l'épaisseur de la CFL s'alignent bien avec les données expérimentales de Losserand et al. et Salame à travers diverses hauteurs de canaux et hématocrites globaux.
   • Écoulements tubulaires : Le modèle capture avec succès l'effet Fåhræus (l'hématocrite de décharge dépassant l'hématocrite du tube) et l'effet Fåhræus-Lindqvist (diminution de la viscosité apparente avec la diminution du diamètre du vaisseau). Les viscosités apparentes et les ratios d'hématocrite prédits montrent un bon accord avec les corrélations empiriques (par exemple, Pries et al.) et les données expérimentales, particulièrement pour les diamètres de vaisseaux inférieurs à 40 µm.

Signification et revendications
L'article établit un nouveau cadre de calcul de continuum efficace capable de capturer l'hétérogénéité microstructurale et le comportement d'écoulement non newtonien de suspensions de particules déformables concentrées sous confinement. Les auteurs affirment qu'en incorporant une force de portance induite par la déformabilité, le MSBM comble le fossé entre les simulations de particules discrètes coûteuses en calcul et les modèles de continuum moins précis.

Le travail est présenté comme une étape vers des applications biomédicales et industrielles efficaces à grande échelle. Les auteurs notent modestement que, bien que le modèle fonctionne bien pour les petits vaisseaux, il surestime légèrement la CFL et l'effet Fåhræus-Lindqvist pour les tubes plus larges (> 40 µm). Ils attribuent cela à l'absence d'un « effet de blindage des particules » dans la formulation actuelle de la force de portance, qui rendrait compte de la réduction des forces de portance dans les régions chargées de particules due aux interactions de lubrification locale entre les particules et la paroi. Cette limitation est identifiée comme un sujet de travail futur plutôt que comme un échec actuel du modèle.