Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits

Cet article établit les conditions d'existence de la moyenne asymptotique des chiffres d'un nombre en base trois et démontre l'existence d'un ensemble infini et partout dense de nombres dépourvus de fréquence de chiffres mais possédant une telle moyenne.

L'essentiel

Imaginez que chaque nombre entre 0 et 1 est comme une tapisserie infinie tissée avec des fils de différentes couleurs. Dans le système ternaire (base 3), nous avons trois couleurs de fils : le 0 (rouge), le 1 (bleu) et le 2 (vert).

L'article que vous avez soumis, écrit par des mathématiciens ukrainiens, explore deux façons de regarder cette tapisserie infinie :

1. La fréquence : Si je regarde un très grand morceau de tapisserie, quelle proportion de fils rouges, bleus et verts y a-t-il ? Est-ce que le rouge représente exactement 30 % du tissu ?
2. La moyenne asymptotique : Si je donne une "valeur" à chaque couleur (0 pour le rouge, 1 pour le bleu, 2 pour le vert) et que je calcule la moyenne de toutes les couleurs sur un très grand morceau, quel est le résultat ?

Voici l'explication simple de leurs découvertes, avec quelques analogies pour rendre le tout plus clair.

1. Le lien entre la fréquence et la moyenne

L'article commence par une évidence mathématique : si vous connaissez la fréquence exacte de chaque couleur (par exemple, 1/3 de rouge, 1/3 de bleu, 1/3 de vert), alors vous pouvez facilement calculer la moyenne.

• Analogie : C'est comme si vous saviez qu'un sac de bonbons contient exactement 30% de bonbons rouges (valeur 0), 30% de bleus (valeur 1) et 40% de verts (valeur 2). Vous pouvez alors dire exactement quelle est la "valeur moyenne" d'un bonbon pris au hasard dans ce sac.

Le résultat clé : Pour la plupart des nombres (ce qu'on appelle les "nombres normaux"), les couleurs sont réparties de manière parfaitement équilibrée. La moyenne des chiffres est donc toujours la même (la moitié de la valeur maximale, soit 1 pour la base 3). C'est la règle normale.

2. Le grand mystère : Quand la moyenne existe, mais pas la fréquence

C'est ici que l'article devient fascinant. Les auteurs se demandent : Est-il possible d'avoir une moyenne stable, même si les couleurs ne se répartissent jamais de façon régulière ?

Imaginez un chef d'orchestre qui joue une mélodie.

• La fréquence, c'est comme compter combien de fois chaque instrument joue. Si le violon joue 100 fois, la flûte 100 fois et la trompette 100 fois, la fréquence est stable.
• La moyenne, c'est le volume global ou l'ambiance sonore.

Les mathématiciens ont prouvé qu'il est possible de créer une mélodie (un nombre) où :

• Le volume global (la moyenne) reste parfaitement stable à une note précise (disons, la note "Do").
• Mais si vous essayez de compter les instruments, vous ne trouvez jamais de rythme régulier. Parfois, le violon joue pendant une heure, puis la flûte pendant une minute, puis le violon encore pendant deux heures, etc. Le comptage ne se stabilise jamais.

L'analogie du "Balancier fou" :
Imaginez un enfant sur un balancier (un hamac).

• Si l'enfant se balance de manière régulière, on peut prédire où il sera dans 10 minutes (c'est la fréquence).
• Mais imaginez un enfant qui se balance de manière chaotique : il va très haut à gauche, puis très bas à droite, puis très haut à gauche encore, mais en changeant la durée de chaque mouvement.
• Pourtant, si vous calculez la moyenne de sa position sur une journée entière, vous pourriez trouver qu'il a passé exactement 50% de son temps à gauche et 50% à droite, donnant une moyenne de "centre".
• L'article montre qu'il existe une infinité de nombres (une "poussière infinie" de nombres) qui se comportent comme cet enfant : leur moyenne est fixe, mais leur répartition (fréquence) est totalement chaotique et imprévisible.

3. Comment construisent-ils ces nombres ?

Les auteurs proposent un "algorithme" (une recette de cuisine) pour créer ces nombres bizarres.
Ils construisent le nombre par blocs, comme on empile des briques :

1. Ils ajoutent un bloc énorme de "0".
2. Puis un bloc de "1".
3. Puis un bloc de "2".
4. Ensuite, ils changent la taille de ces blocs de manière très intelligente et irrégulière.

Ils ajustent la taille de chaque bloc pour que, si vous faites la moyenne de tout ce qui a été construit jusqu'à présent, le résultat tende toujours vers un chiffre précis (par exemple, 1,5). Mais ils s'arrangent pour que la proportion de "0" par rapport aux autres ne se stabilise jamais. Elle oscille pour toujours.

4. Pourquoi est-ce important ?

L'article conclut que ces nombres "bizarres" ne sont pas des exceptions rares. Au contraire, ils forment un ensemble dense.

• Analogie : Imaginez une plage de sable. Si vous prenez n'importe quel grain de sable (n'importe quel intervalle de nombres), vous y trouverez toujours des grains qui ont cette propriété étrange (moyenne stable, fréquence chaotique). Ils sont partout, même s'ils sont invisibles à l'œil nu (ils forment un ensemble de mesure nulle, ce qui signifie qu'ils sont "infinitésimaux" en termes de volume, mais qu'ils sont partout en termes de présence).

En résumé

Ce papier nous dit que la réalité mathématique est plus subtile qu'il n'y paraît :

• Souvent, l'ordre (la fréquence) mène à la stabilité (la moyenne).
• Mais il existe un monde caché de chaos contrôlé : des nombres où le chaos règne sur la répartition des chiffres, mais où la moyenne reste parfaitement calme et prévisible.

C'est comme si l'univers permettait à certains nombres de danser la gigue de manière totalement imprévisible, tout en restant parfaitement calmes au centre de la piste de danse.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Fréquence d'un chiffre dans la représentation d'un nombre et valeur moyenne asymptotique des chiffres », publié dans le Ukrainian Mathematical Journal (Vol. 66, No. 3, 2014) par S. O. Klymchuk, O. P. Makarchuk et M. V. Prats'ovytyi.

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des propriétés métriques et topologiques des nombres réels représentés dans un système de numération de base $s$ (ici principalement la base 3, ou ternaire). Les auteurs examinent la relation entre deux concepts fondamentaux :

1. La fréquence asymptotique d'un chiffre : La limite de la proportion d'apparition d'un chiffre spécifique $i$ dans la représentation $s$-naire d'un nombre $x$ lorsque la longueur de la représentation tend vers l'infini.
2. La valeur moyenne asymptotique des chiffres : La limite de la moyenne arithmétique des chiffres eux-mêmes dans la représentation de $x$.

Le problème central est de déterminer dans quelles conditions l'existence de la valeur moyenne asymptotique implique l'existence des fréquences des chiffres individuels, et d'identifier des ensembles de nombres où la moyenne existe mais où les fréquences individuelles n'existent pas.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant l'analyse réelle, la théorie de la mesure et la construction explicite de nombres via des algorithmes de blocs.

• Définitions formelles :

  • Soit $x \in [0, 1]$ avec la représentation $s$-naire $\Delta_s \alpha_1 \alpha_2 \dots$.
  • La fréquence relative du chiffre $i$ est $v_i^{(n)}(x) = \frac{N_i(x, n)}{n}$, où $N_i$ est le nombre d'occurrences de $i$ parmi les $n$ premiers chiffres. La fréquence asymptotique est $\nu_i(x) = \lim_{n \to \infty} v_i^{(n)}(x)$.
  • La moyenne relative est $r_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \alpha_i(x)$. La valeur moyenne asymptotique est $r(x) = \lim_{n \to \infty} r_n(x)$.

• Lemme de relation : Les auteurs établissent que si toutes les fréquences $\nu_i(x)$ existent, alors la moyenne $r(x)$ existe et est donnée par la formule linéaire :
  $$r(x) = \sum_{i=1}^{s-1} i \cdot \nu_i(x)$$
  (Note : le terme pour $i=0$ disparaît car $0 \cdot \nu_0(x) = 0$).

• Analyse du cas ternaire ($s=3$) :

  • Le système d'équations reliant les fréquences $\nu_0, \nu_1, \nu_2$ et la moyenne $r$ est résolu pour montrer que, dans le cas ternaire, l'existence de $r(x)$ et d'au moins une fréquence implique l'existence des deux autres fréquences.
  • Cependant, ils démontrent que l'existence de $r(x)$ seule ne garantit pas l'existence des fréquences si aucune fréquence individuelle n'est supposée exister au départ.

• Construction de contre-exemples :

  • Pour prouver l'existence de nombres ayant une moyenne asymptotique définie mais sans fréquences définies, les auteurs construisent un nombre $x^*$ par blocs successifs.
  • Ils utilisent des séquences de longueurs de blocs basées sur des fonctions de partie entière $[n \cdot \alpha]$ pour contrôler la densité des chiffres 0, 1 et 2.
  • Une technique clé consiste à faire osciller les proportions de chiffres entre deux valeurs $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$) de manière à ce que la moyenne globale converge vers une valeur cible $\theta$, tandis que les fréquences individuelles oscillent indéfiniment (ne convergent pas).

3. Résultats Principaux

Les résultats sont synthétisés dans plusieurs théorèmes :

• Théorème 1 (Nombres normaux) : L'ensemble des nombres pour lesquels la moyenne asymptotique des chiffres est égale à $\frac{s-1}{2}$ (la valeur attendue pour les nombres normaux) est de mesure de Lebesgue complète. Autrement dit, presque tous les nombres réels ont cette propriété.

• Théorème 2 (Cas ternaire) : Pour la base 3, si la moyenne asymptotique $r(x)$ existe et qu'au moins une fréquence $\nu_j(x)$ existe, alors toutes les fréquences existent. Inversement, si $r(x)$ existe mais qu'une fréquence n'existe pas, alors aucune fréquence n'existe. Cela établit une dépendance forte dans le cas ternaire.

• Théorème 3 (Existence d'un ensemble dense) : C'est le résultat le plus significatif. Pour tout $\theta \in (0, 2)$, l'ensemble $W_\theta$ des nombres $x$ tels que :

  1. La valeur moyenne asymptotique $r(x)$ existe et vaut $\theta$.
  2. Aucune fréquence de chiffre $\nu_i(x)$ (pour $i \in \{0, 1, 2\}$) n'existe.
     Cet ensemble $W_\theta$ est continu (de cardinalité du continu) et dense dans l'intervalle $[0, 1]$.

• Théorème 4 (Propriétés de la fonction $r(x)$) :

  1. La fonction $r(x)$ est définie sur un ensemble dense de $[0, 1]$.
  2. Elle n'est pas définie sur un autre ensemble dense de $[0, 1]$.
  3. Elle prend toutes les valeurs de l'intervalle $[0, s-1]$.
  4. Elle possède un unique niveau de mesure de Lebesgue pleine : l'ensemble des nombres où $r(x) = \frac{s-1}{2}$ est de mesure 1.

4. Contributions Clés

1. Distinction conceptuelle : L'article clarifie rigoureusement la distinction entre l'existence de la moyenne des chiffres et l'existence des fréquences individuelles. Bien que la première implique souvent la seconde dans des cas "normaux", ils montrent qu'il est possible de séparer ces deux propriétés.
2. Construction explicite : Ils fournissent un algorithme constructif pour générer des nombres avec une moyenne asymptotique préassignée mais sans fréquences définies, en utilisant des blocs de chiffres dont les longueurs sont contrôlées par des fonctions de partie entière.
3. Propriétés topologiques : Ils démontrent que l'ensemble des nombres "pathologiques" (moyenne définie, fréquences non définies) n'est pas un ensemble négligeable ou rare, mais qu'il est à la fois dense et de cardinalité continue dans $[0, 1]$.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour la théorie des nombres et l'analyse fractale car :

• Il enrichit la compréhension des nombres non normaux. Alors que les nombres normaux (où toutes les fréquences existent et sont égales) forment un ensemble de mesure pleine, cet article explore la structure fine des ensembles de mesure nulle où les comportements statistiques des chiffres sont plus complexes.
• Il met en lumière la complexité des distributions singulières. La possibilité d'avoir une moyenne stable sans stabilité des fréquences individuelles suggère des structures fractales subtiles dans la distribution des chiffres.
• Les résultats ont des implications pour la théorie des distributions de probabilité singulières définies par les fréquences des chiffres, un domaine où les auteurs (notamment Prats'ovytyi) sont des experts reconnus.

En résumé, l'article démontre que la convergence de la moyenne des chiffres est une condition strictement plus faible que la convergence des fréquences individuelles, et que l'ensemble des nombres satisfaisant cette condition faible tout en échouant à satisfaire la condition forte est topologiquement riche (dense et continu) dans l'intervalle unité.