Evolution of passive scalar mixing layers in stratified and unstratified homogeneous turbulence

Les simulations aux grandes échelles à haute résolution révèlent que, si le mélange d'un scalaire passif dans une turbulence homogène stratifiée se comporte de manière similaire aux cas non stratifiés dans la direction transversale, la stratification inhibe sévèrement le mélange vertical en supprimant le brassage à grande échelle, conduisant à des limites de croissance et des intensités de fluctuation distinctes qui éclairent des approches de modélisation spécifiques pour le flux de scalaire.

L'essentiel

Imaginez que vous observiez une goutte d'encre se répandre dans un verre d'eau. Si vous remuez l'eau doucement, l'encre se répartit uniformément. C'est ainsi que les scientifiques envisagent généralement le mélange dans les fluides : la turbulence agit comme une cuillère géante, brassant tout ensemble jusqu'à ce que ce soit uniforme.

Mais que se passe-t-il si cette eau est stratifiée ? Imaginez que l'eau au fond est lourde et salée, tandis que l'eau au sommet est légère et douce. C'est ce qu'on appelle la stratification. Dans le monde réel, cela se produit dans l'océan (où l'eau profonde est plus dense) et dans l'atmosphère (où l'air devient plus mince et plus léger à mesure que l'on monte).

Cet article décrit une expérience informatique de haute technologie qui pose la question suivante : Comment cette stratification modifie-t-elle la façon dont une « tache » (comme la pollution ou la fumée) se répand dans un fluide turbulent ?

Voici l'histoire de leurs découvertes, décomposée en concepts simples.

La Configuration : Deux Types de « Taches »

Les chercheurs ont créé un fluide virtuel initialement en tourbillon chaotique (turbulent). Ensuite, ils ont introduit deux « taches » différentes (scalaires passifs) pour observer leur comportement :

1. La Tache Horizontale : Une couche d'encre étalée sur le côté, comme une feuille de papier plate flottant dans l'eau.
2. La Tache Verticale : Une couche d'encre étalée de haut en bas, comme un mur vertical de couleur.

Ils ont effectué deux simulations : l'une dans une eau normale (non stratifiée) et l'autre dans une eau « stratifiée ».

La Grande Découverte : La Différence « Haut-Bas » vs « Côté-Côté »

1. La Tache Côté-Côté (Couche Transverse)

Ce qui s'est produit : Lorsque la tache était étalée sur le côté, la stratification ne l'a pas empêchée de se répandre. En fait, elle s'est répandue légèrement plus vite dans l'eau stratifiée que dans l'eau normale.
L'Analogie : Imaginez une foule de personnes courant dans un couloir. Si le sol est parfaitement plat (non stratifié), elles courent dans toutes les directions. Si le sol a une légère pente invisible (stratifiée), elles continuent de courir sur le côté tout aussi bien, peut-être même avec un peu plus d'énergie. L'« encre » se répand largement dans les deux cas.
La Nuance : Bien que la propagation globale soit similaire, l'« encre » dans l'eau stratifiée était plus « pointue ». Au lieu d'un gradient lisse, elle présentait des bords plus nets et plus irréguliers. Elle était plus « intermittente », ce qui signifie qu'il y avait des poches d'encre pure et des poches d'eau pure, avec moins de zone intermédiaire lisse.

2. La Tache Haut-Bas (Couche Verticale)

Ce qui s'est produit : C'est ici que la magie (et la restriction) opère. Dans l'eau normale, la tache verticale se répandait facilement de haut en bas, tout comme la tache latérale. Mais dans l'eau stratifiée, la propagation s'est presque complètement arrêtée.
L'Analogie : Imaginez essayer de remuer un milk-shake épais avec une cuillère. Si vous essayez de déplacer la cuillère de haut en bas, les couches du milk-shake vous résistent. Les éléments lourds veulent rester au fond, et les éléments légers veulent rester au sommet. Le mouvement de « brassage » est écrasé.
Le Résultat : La tache verticale a légèrement grandi au tout début, puis elle a atteint un « plafond ». Elle ne pouvait plus s'élargir car les couches stables du fluide agissaient comme un couvercle, empêchant la turbulence de mélanger les choses verticalement. Le fluide pouvait toujours tourbillonner sur le côté, mais il ne pouvait pas se mélanger de haut en bas.

Pourquoi cela importe-t-il ? (Le « Pourquoi » derrière le « Quoi »)

Les chercheurs ont découvert que dans la direction verticale, le fluide se comporte comme un ressort. Une fois que la turbulence tente de pousser une couche lourde vers le haut ou une couche légère vers le bas, la gravité la ramène. Cela stoppe le mouvement de « brassage ».

Cependant, le fluide peut toujours tourbillonner sur le côté. Ainsi, la « longueur verticale » de la turbulence est verrouillée dans une taille spécifique (déterminée par la force de la gravité et des couches du fluide), et la tache ne peut pas dépasser cette taille.

La « Recette » pour la Prédiction

L'article a également tenté de créer une « recette » mathématique simple pour prédire comment ces taches se répandraient sans avoir besoin d'un supercalculateur.

• Si vous connaissez la forme de la tache : Vous pouvez utiliser une formule simple à un seul chiffre pour prédire la vitesse de propagation latérale. Cela fonctionne très bien.
• Si vous ne connaissez pas la forme : Vous devez deviner la forme (en supposant qu'elle ressemble à une courbe lisse). Si vous faites cela, vous avez besoin d'une formule à deux chiffres. Cela fonctionne très bien après que la tache a eu le temps de s'installer dans un rythme avec le fluide tourbillonnant.

La Conclusion

• Mélange latéral : Les couches stables (comme dans les profondeurs océaniques ou la haute atmosphère) n'empêchent pas le mélange latéral ; elles peuvent même le rendre un peu plus intense et irrégulier.
• Mélange vertical : Les couches stables agissent comme un frein. Elles empêchent presque totalement le fluide de se mélanger de haut en bas.
• La distinction « Brassage » vs « Mélange » : Le fluide peut encore « brasser » (se déplacer) sur le côté, mais il ne peut pas « mélanger » (fusionner) verticalement car les couches résistent à l'échange.

Les auteurs notent que leur expérience a utilisé un type spécifique de propriété du fluide (nombre de Prandtl de 0,7). Ils avertissent que si le fluide était « plus épais » ou possédait des propriétés différentes (nombre de Prandtl > 1), les résultats pourraient changer en raison d'un effet « inverse » où le mélange crée sa propre flottabilité. Mais pour les conditions qu'ils ont testées, la règle « le côté est libre, haut-bas est bloqué » reste valable.

Résumé technique

Résumé technique : Évolution des couches de mélange d'échelles passives dans la turbulence homogène stratifiée et non stratifiée

Énoncé du problème
La dispersion des particules et des échelles dans des environnements à stratification stable, tels que la haute troposphère, la stratosphère et les couches mixtes océaniques, constitue un défi critique en sciences atmosphériques et océaniques. Bien que les effets de la stratification stable sur le champ de densité et la décroissance de la turbulence soient bien documentés, la dispersion des échelles passives (par exemple, aérosols, polluants, microplastiques) reste moins comprise. Plus précisément, il est incertain comment évolue une couche de mélange d'échelle passive (PSML) lorsqu'elle est introduite dans une turbulence isotrope homogène (HIT) qui décroît ensuite sous l'influence d'un gradient de densité stabilisant. La question centrale est de savoir comment l'introduction d'échelles de flottabilité et d'anisotropie altère l'évolution auto-similaire des statistiques d'échelle observée dans la HIT non stratifiée.

Méthodologie
Les auteurs ont employé des simulations aux grandes échelles (LES) à haute résolution pour étudier la décroissance de la turbulence homogène non stratifiée et stratifiée stable. Les simulations ont utilisé les équations de Navier-Stokes non divergentes avec l'approximation de Boussinesq non hydrostatique.

• Configuration de l'écoulement : Deux simulations ont été menées. La première était une HIT non stratifiée. La seconde était identique dans ses conditions initiales mais incluait un gradient de densité stabilisant uniforme ($g \neq 0$), provoquant la transition de l'écoulement vers une turbulence fortement stratifiée après environ une période de flottabilité.
• Échelles passives : Deux couches de mélange d'échelles passives ont été initialisées : l'une avec un gradient moyen dans la direction verticale ($\xi_z$) et l'autre dans la direction transversale ($\xi_y$). Elles ont été modélisées comme des fractions de mélange ($0 \le \xi \le 1$).
• Détails numériques : Pour minimiser les effets diffusifs causant des écarts à l'auto-similarité, les simulations ont utilisé une hyperviscosité et une hyperdiffusivité avec des coefficients égaux. Le nombre de Prandtl moléculaire a été fixé à $Pr = 0.7$. Les nombres de Reynolds étaient élevés ($Re_h > 15\,000$ et $Re_\lambda > 450$ pour le cas non stratifié), assurant l'existence de régimes inertiels-convectifs et inertiels-diffusifs. La résolution était suffisante pour résoudre l'échelle de longueur de flottabilité ($L_b/\Delta \gg 1$).
• Analyse : L'étude a suivi l'évolution des largeurs de profil d'échelle, de la variance, des moments d'ordre supérieur (asymétrie, kurtosis), des flux et de l'efficacité de mélange. Elle a également évalué des modèles de diffusivité tourbillonnaire pour le flux d'échelle transversale dans deux conditions : lorsque le profil moyen d'échelle est connu et lorsqu'il doit être supposé.

Résultats clés

1. Mélange transversal ($\xi_y$) : Dans la direction perpendiculaire à la gravité, l'évolution de l'échelle passive dans le cas stratifié est globalement similaire au cas non stratifié, bien qu'elle se propage légèrement plus vite.

   • Les fluctuations d'échelle sont plus intenses dans le cas stratifié, avec une variance de pic environ 15 % plus élevée.
   • L'interface turbulent/non-turbulent est plus intermittente dans le cas stratifié.
   • Une fois que le champ d'échelle atteint un quasi-équilibre avec le champ de vitesse, les profils de flux normalisés pour les cas stratifié et non stratifié s'effondrent, indiquant des mécanismes de transport sous-jacents similaires malgré la stratification.

2. Mélange vertical ($\xi_z$) : La stratification inhibe drastiquement le mélange vertical.

   • La largeur de la couche verticale ($\delta_z$) croît initialement mais cesse rapidement de s'étendre après environ une période de flottabilité ($t^* \approx 3$).
   • Cette cessation de croissance est attribuée à la suppression du brassage vertical à grande échelle par les forces de flottabilité.
   • La largeur finale de la couche est proportionnelle à l'échelle de longueur intégrale verticale de la vitesse horizontale ($L_v$), qui est contrainte pour maintenir un nombre de Froude vertical de l'ordre de l'unité ($Fr_v \sim O(1)$).
   • Bien que le profil moyen montre une croissance monotone due à la diffusion moléculaire, l'analyse des flux révèle un phénomène de « flux inverse » où le brassage balaye occasionnellement les filaments d'échelle vers leur côté d'origine, cohérent avec un comportement de type onde interne.

3. Efficacité de mélange : Le mélange cumulatif (dissipation de la variance d'échelle) dans le cas stratifié finit par dépasser celui du cas non stratifié aux temps tardifs. Cela est attribué au fait que le mélange suit le brassage, et que le taux de brassage horizontal dans l'écoulement stratifié est proportionnel à l'échelle de longueur horizontale, qui devient plus grande que dans le cas non stratifié.

4. Modélisation du flux :

   • Profil connu : Si le profil moyen d'échelle est connu, un modèle de diffusivité tourbillonnaire à constante unique ($F_y = -c_1 \delta_y v' \partial \xi / \partial y$) prédit efficacement le flux pour les cas stratifié et non stratifié, avec $c_1 \approx 0.4$.
   • Profil supposé : Si la forme du profil (supposée être une fonction d'erreur) et l'échelle de longueur d'échelle doivent être estimées à partir des statistiques de vitesse, un modèle à deux constantes est requis. Ce modèle fonctionne bien aux temps tardifs lorsque l'échelle est en quasi-équilibre avec le champ de vitesse, permettant d'échelonner l'échelle de longueur d'échelle à partir du taux de dissipation d'énergie cinétique.

Signification et affirmations
L'article prétend fournir une caractérisation détaillée du mélange d'échelles passives dans la turbulence stratifiée en décroissance, comblant le fossé entre les prédictions théoriques de la diffusion anisotrope et les observations numériques.

• Anisotropie : L'étude confirme que la stratification crée une dichotomie marquée dans le mélange : le mélange horizontal reste actif et même renforcé, tandis que le mélange vertical est effectivement supprimé une fois que l'écoulement devient fortement stratifié.
• Utilité de la modélisation : Les auteurs démontrent que les approches standard de diffusivité tourbillonnaire restent viables pour les écoulements stratifiés, à condition que l'échelle soit en quasi-équilibre avec le champ de vitesse. Ils soulignent que supposer un profil connu simplifie considérablement les exigences de modélisation par rapport à la supposition d'une forme de profil.
• Limites et travaux futurs : Les auteurs notent modestement que leurs résultats sont spécifiques à un nombre de Prandtl de 0,7. Ils déclarent explicitement que la littérature récente suggère que des nombres de Prandtl plus élevés ($Pr > 1$) induisent des flux de flottabilité inverses aux petites échelles, ce qui pourrait altérer les taux de décroissance de l'écoulement et, par conséquent, les taux de mélange d'échelles passives. Par conséquent, les résultats actuels ne s'appliquent pas directement aux scénarios à nombre de Prandtl élevé sans investigation supplémentaire.

L'étude conclut que, bien que la stratification altère fondamentalement la dynamique verticale d'une couche de mélange, le mélange transversal conserve de nombreuses caractéristiques de la turbulence non stratifiée, albeit avec une intermittence et une intensité de fluctuation accrues.