Two pathways to diapycnal mixing in strongly stratified flows with no initial vertical shear

Cette étude combine la théorie linéaire et les simulations numériques directes pour révéler que dans les écoulements fortement stratifiés sans cisaillement vertical initial, les instabilités de cisaillement horizontal entraînent inévitablement un mélange diapycnal par deux voies distinctes — soit par l'émergence directe d'un cisaillement vertical, soit par une évolution non linéaire en vortex colonnaires — toutes deux déclenchant finalement des instabilités de Kelvin-Helmholtz à petite échelle, mais produisant des efficacités de mélange différentes en raison de l'excitation d'échelles verticales distinctes.

L'essentiel

Imaginez l'océan ou l'atmosphère comme un gâteau géant à plusieurs couches. Les couches sont composées de fluides aux densités différentes (comme différentes saveurs de gâteau) et n'aiment pas se mélanger facilement. Habituellement, les scientifiques étudient ce qui se passe lorsqu'on pousse ces couches à la fois latéralement et verticalement (cisaillement vertical). Mais cet article pose une question différente : que se passe-t-il si nous ne poussons les couches que latéralement, sans mouvement vertical initial, dans un environnement très stratifié ?

Les chercheurs ont découvert que même si l'on commence par un écoulement horizontal parfaitement plat, la nature possède deux « recettes » ou voies distinctes pour créer le chaos (la turbulence) et mélanger les couches. La recette choisie par la nature dépend entièrement de la manière dont vous « ensemencez » l'expérience — c'est-à-dire du minuscule petit coup de pouce que vous donnez au fluide au tout début.

Voici la décomposition des deux voies en utilisant des analogies simples :

La configuration : La rivière calme

Imaginez une rivière large et calme qui coule horizontalement. L'eau est stratifiée comme une pile de crêpes (stratification forte). Au début, l'écoulement est fluide et bidimensionnel (il ne se déplace que de gauche à droite, pas de haut en bas).

Voie 1 : L'effet de la « pièce bondée » (La route directe)

Comment elle commence : Vous donnez à la rivière un minuscule mouvement aléatoire partout à la fois (comme si vous jetiez une poignée de confettis dans les airs).
Ce qui se passe :

1. L'ondulation : À cause des couches, le fluide ne se contente pas de onduler de gauche à droite ; il commence immédiatement à onduler de haut en bas selon de nombreuses tailles différentes en même temps. Pensez à une foule de personnes dans une pièce qui essaient toutes de bouger à la fois, créant un bousculement chaotique et multidirectionnel.
2. Le cisaillement : Ces ondulations créent des courants verticaux puissants (cisaillement) très rapidement.
3. La rupture : Ces courants verticaux deviennent si forts qu'ils se brisent, créant de petits tourbillons violents (comme de minuscules vortex). C'est l'instabilité de Kelvin-Helmholtz, qui ressemble aux vagues qui se brisent lorsque le vent souffle sur l'eau.
   Le résultat : Le mélange se fait efficacement. Comme l'énergie est répartie sur de nombreuses tailles d'ondulations, la « friction » (dissipation visqueuse) est plus faible, ce qui rend le processus de mélange relativement efficace.

Voie 2 : L'effet de la « danse synchronisée » (La route indirecte)

Comment elle commence : Vous donnez à la rivière un mouvement très spécifique et organisé (comme un chef d'orchestre agitant une baguette pour que tout le monde bouge selon un motif précis).
Ce qui se passe :

1. Le vortex : Au lieu d'ondulations chaotiques, le fluide s'organise en longues colonnes verticales d'eau tourbillonnante (comme de gigantesques tornades debout dans la rivière). Pendant un certain temps, l'écoulement reste parfaitement bidimensionnel, composé de ces grandes colonnes tourbillonnantes.
2. Le vacillement : Finalement, ces colonnes géantes deviennent instables. Elles commencent à vaciller d'une manière très spécifique et à haute fréquence. Les chercheurs appellent cela une « instabilité hyperbolique ». Imaginez une toupie qui commence à vaciller violemment juste avant de tomber.
3. La rupture : Ce vacillement violent crée des couches verticales très fines et tranchantes. Ces couches se brisent ensuite en petits tourbillons violents, tout comme dans la Voie 1.
   Le résultat : Le mélange se produit, mais il est moins efficace. Pourquoi ? Parce que cette voie crée des couches extrêmement fines et tranchantes. Il faut beaucoup d'énergie (friction) pour créer et briser ces couches minuscules et acérées. C'est comme essayer de couper un bloc de fromage épais avec un couteau émoussé (Voie 1) par rapport à une lame de rasoir (Voie 2) ; la lame de rasoir crée une coupe beaucoup plus nette et énergivore.

La conclusion principale

L'article prouve que le cisaillement vertical (mouvement de haut en bas) n'a pas besoin d'être présent au départ. Il est un sous-produit inévitable du cisaillement horizontal dans les fluides fortement stratifiés, à condition que le fluide soit suffisamment épais (nombre de Reynolds élevé).

• Si vous commencez par un bruit aléatoire : Vous obtenez la Voie 1 (Mélange direct et efficace).
• Si vous commencez par un motif spécifique : Vous obtenez la Voie 2 (Mélange indirect et moins efficace).

Les chercheurs ont utilisé de puissantes simulations informatiques pour montrer que ces deux voies sont réelles, distinctes, et que la « recette » que vous choisissez au départ détermine la quantité d'énergie gaspillée sous forme de chaleur par rapport à la quantité utilisée pour réellement mélanger les couches.

En bref : Même dans un fluide stratifié parfaitement calme, une poussée horizontale finira par créer un chaos vertical. Mais selon la manière dont vous initiez la poussée, ce chaos aura une apparence différente et mélangera les couches avec des niveaux d'efficacité différents.

Résumé technique

Énoncé du Problème
La stabilité des écoulements horizontaux à grande échelle et fortement stratifiés face aux perturbations tridimensionnelles (3D) est un mécanisme critique pour le transfert d'énergie vers les petites échelles et le transport diapycnal dans les systèmes géophysiques et astrophysiques. Bien que les écoulements stratifiés à cisaillement vertical soient bien étudiés, leurs homologues à cisaillement horizontal (sans cisaillement vertical initial) ont reçu moins d'attention. Une question centrale demeure : comment des écoulements de cisaillement horizontal initialement bidimensionnels (2D) et fortement stratifiés ($Fr \ll 1$) passent-ils à la turbulence et génèrent-ils un cisaillement vertical ? La littérature antérieure suggère deux voies distinctes : l'une impliquant la croissance directe de modes primaires 3D menant à des instabilités de Kelvin-Helmholtz (KH), et une autre impliquant l'évolution non linéaire en vortex colonnaires suivis d'instabilités secondaires. Cependant, il n'était pas clair si ces voies sont mutuellement exclusives en raison de différences dans les conditions initiales (par exemple, tangente hyperbolique vs profils sinusoïdaux) ou la formulation du problème (Problème de Valeur Initiale vs forçage corporel), ou si elles représentent des routes alternatives disponibles au sein du même système physique. De plus, l'impact de la voie sélectionnée sur l'efficacité du mélange diapycnal n'a pas été systématiquement quantifié.

Méthodologie
Les auteurs combinent la théorie de la stabilité linéaire avec des Simulations Numériques Directes (DNS) pour étudier ces transitions dans un domaine périodique triple. L'étude se concentre sur un écoulement de Kolmogorov horizontal, plan-parallèle et verticalement invariant ($\bar{u}(y) = \sin(y)\mathbf{e}_x$) dans un fluide linéairement stratifié avec une fréquence de flottabilité constante $N$. Les simulations sont menées à des nombres de Reynolds ($Re = 10\,000$) et de Péclet ($Pe = 10\,000$) élevés, avec de faibles nombres de Froude ($Fr = 0,15$ et $Fr = 0,1$), résultant en des nombres de Reynolds de flottabilité ($Re_b = Fr^2 Re$) de 225 et 100, respectivement.

Pour isoler l'effet des conditions initiales sur la sélection de la voie, deux ensembles de DNS sont réalisés :

1. DNS1 (Voie P1) : Initialisée avec un bruit blanc à l'échelle de la grille, permettant à tous les modes instables de l'instabilité de cisaillement horizontal primaire de croître.
2. DNS2 (Voie P2) : Initialisée avec un bruit à l'échelle de la grille plus une « graine » spécifique pour le mode propre 2D ($k_z=0$) le plus rapide de l'instabilité primaire.

De plus, les auteurs effectuent une analyse de stabilité linéaire d'un modèle analytique « gelé » de l'écoulement colonne qui émerge dans la DNS2. Ce modèle approxime l'écoulement 2D ayant évolué de façon non linéaire comme un réseau de vortex de Taylor-Green superposé à des écoulements sinusoïdaux, permettant le calcul des modes propres et des taux de croissance des perturbations 3D secondaires.

Contributions Clés et Résultats

1. Confirmation de deux voies dans une configuration unique :
   L'étude démontre que les deux voies vers la turbulence peuvent se produire dans le même modèle, distinguées uniquement par le spectre de perturbation initial :

• Voie P1 (Croissance 3D directe) : Lorsqu'elle est initialisée avec un bruit blanc, les modes propres $k_z \neq 0$ de l'instabilité de cisaillement horizontal primaire croissent directement. Ces modes génèrent un cisaillement vertical sur une large gamme d'échelles, qui devient ensuite instable aux instabilités KH secondaires à petite échelle lorsque $Re_b$ est suffisamment élevé. Cette voie s'aligne sur les observations dans les écoulements de Kolmogorov à forçage corporel.
• Voie P2 (Évolution colonnaire) : Lorsque le mode $k_z=0$ est ensemencé, il domine l'écoulement, poussant l'arrière-plan vers un écoulement colonnaire (vortique) 2D stable dans le temps. Cet état 2D est ensuite instable aux modes 3D secondaires. Les auteurs identifient ces modes secondaires comme des instabilités hyperboliques provenant des points de stagnation hyperboliques dans le réseau de vortex. Ces instabilités présentent des nombres d'onde verticaux élevés ($k_z \sim Fr^{-1}$) et entraînent l'émergence d'un cisaillement vertical, qui déclenche finalement des instabilités KH tertiaires.

2. Caractérisation de l'instabilité secondaire dans la Voie P2 :
   À travers l'analyse de stabilité linéaire du flux colonnaire gelé, les auteurs montrent que l'instabilité secondaire est une instabilité hyperbolique à haute $k_z$. Le taux de croissance de cette instabilité est proportionnel au taux de déformation local des points hyperboliques ($\Delta_h$) et est approximativement $\lambda \approx 0,46 \Delta_h$, largement indépendant de la force de la stratification pour de grandes amplitudes. L'instabilité se manifeste par des « rides » dans le champ de vitesse verticale centrées autour des points hyperboliques, distinctes de l'instabilité de type « zigzag » observée dans les paires de vortex isolées.

3. Impact sur l'efficacité du mélange :
   L'étude quantifie le mélange diapycnal et l'efficacité du mélange ($\eta$) pour les deux voies.

• Dissipation de la flottabilité ($\chi$) : Le taux maximal de dissipation de la variance de flottabilité est comparable dans les deux voies, car il est contrôlé par des mouvements à petite échelle ($k_z \gtrsim Fr^{-1}$) dans les deux cas.
• Dissipation visqueuse ($\epsilon$) : La Voie P2 présente une dissipation visqueuse significativement plus élevée que la Voie P1. Cela est dû au fait que l'instabilité hyperbolique dans la P2 excite un spectre étroit de haute $k_z$, conduisant à une dissipation intense dans de fines couches de cisaillement vertical. En revanche, la P1 excite un spectre large de tailles verticales, distribuant la dissipation de manière plus étendue.
• Efficacité du mélange : Par conséquent, l'efficacité maximale du mélange est nettement plus élevée dans la Voie P1 ($\eta_{max} \approx 0,25$) que dans la Voie P2 ($\eta_{max} \approx 0,165$). Cette différence provient du fait que la P2 dissipe plus d'énergie cinétique par rapport à la quantité de flottabilité mélangée.

Signification et Revendications
L'article affirme que l'émergence d'un cisaillement vertical pilotant des instabilités KH à petite échelle est un sous-produit inévitable des instabilités de cisaillement horizontal dans les écoulements fortement stratifiés à un $Re_b$ suffisant, à condition que l'écoulement possède un point d'inflexion. La sélection entre les deux voies est déterminée par les conditions initiales : spécifiquement, le rapport de l'amplitude initiale du mode $k_z=0$ par rapport aux modes $k_z \neq 0$.

Les auteurs suggèrent que la prévalence de la Voie P2 dans la littérature antérieure (spécifiquement dans les études de couches de cisaillement à tangente hyperbolique) peut être un artefact des pratiques d'initialisation où une graine $k_z=0$ est souvent ajoutée pour accélérer les calculs, supprimant ainsi la croissance directe des modes 3D (Voie P1). Inversement, l'absence de la P1 dans certains contextes peut être due à des limites de stratification plus faibles où la gamme de modes $k_z \neq 0$ instables est limitée.

En fin de compte, ce travail établit que les instabilités de cisaillement horizontal sont des acteurs clés dans la génération de la turbulence stratifiée et du mélange diapycnal, même en l'absence de cisaillement vertical préexistant. Il souligne que la route spécifique vers la turbulence (croissance 3D directe vs transition 2D-vers-3D) modifie fondamentalement le spectre de dissipation d'énergie et, par conséquent, l'efficacité du mélange, un facteur qui doit être pris en compte lors de la paramétrisation de la turbulence dans les modèles climatiques et géophysiques. Les auteurs notent que bien que leurs résultats soient robustes pour les écoulements idéalisés, l'interaction avec la rotation et les champs d'ondes ambiants dans les contextes géophysiques réels reste une question ouverte.