3210 पेपर
यह शोध पत्र एक विलक्षणता प्रमेय (singularity theorem) स्थापित करता है जो शास्त्रीय हॉकिंग-पेनरोस फोकसिंग परिकल्पना को एसिम्प्टोटिक वॉल्यूम ग्रोथ (asymptotic volume growth) की एक स्थिति से प्रतिस्थापित करता है, जो मजबूत ऊर्जा स्थिति (strong energy condition) के तहत सुचारू स्पेसटाइम और गैर-सुचारू लोरेन्ट्ज़ियन लेंथ स्पेस, दोनों के लिए अतीत की टाइमलाइक जियोडेसिक अपूर्णता (past timelike geodesic incompleteness) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र हर्मिटियन मैट्रिक्स मॉडल में कनेक्टेड -पॉइंट फंक्शन्स और KP इंटीग्रेबिलिटी के लिए डिटरमिनेंटल फॉर्मूला के प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान करता है, साथ ही एफाइन कोऑर्डिनेट्स के लिए नए स्पष्ट फॉर्मूला व्युत्पन्न करता है और विशिष्ट मॉडलों के लिए द्वैतता स्थापित करता है।
यह शोध पत्र एक डिसलोकेशन पाइल-अप मॉडल विकसित करता है और उसे संख्यात्मक रूप से हल करता है ताकि यह भविष्यवाणी की जा सके कि फिल्म के मोटाई-से-चौड़ाई अनुपात और प्रारंभिक तनाव वितरण के आधार पर पतली फिल्मों में अवशिष्ट प्रतिबल प्रवणता (residual stress gradients) कैसे विकसित होती है, जो यह प्रकट करता है कि साम्यावस्था के लिए धनात्मक और ऋणात्मक बर्गर्स वेक्टर्स वाले डिसलोकेशन्स की एक मिश्रित आबादी की आवश्यकता होती है।
यह शोध पत्र तीन-आयामी वलय-आकार के क्वेस्ने ऑसिलेटर विभव (Quesne oscillator potential) के सापेक्षिक परिमित-अंतर समीकरण (relativistic finite-difference equation) के एक सटीक समाधान को प्रस्तुत करता है, जो निरंतर ड्यूल हान और जैकोबी बहुपदों (continuous dual Hahn and Jacobi polynomials) के माध्यम से व्यक्त विविक्त ऊर्जा स्पेक्ट्रा और तरंग फलनों को व्युत्पन्न करता है तथा स्पेक्ट्रम के बीजगणितीय निर्धारण के लिए एक SU(1,1) गतिक समरूपता समूह (dynamical symmetry group) स्थापित करता है।
यह अध्याय अराजक प्रणालियों (chaotic systems) पर लाप्लासियन के उच्च-आवृत्ति आइगेनमोड्स (high-frequency eigenmodes) से संबंधित गणितीय परिणामों की समीक्षा करता है, जो सीमा वाले मैनिफोल्ड्स (manifolds with boundary) के लिए क्वांटम एर्गोडिसिटी प्रमेय का विस्तृत प्रमाण प्रदान करता है और क्वांटम यूनिक एर्गोडिसिटी अनुमान के साथ-साथ सेमीक्लासिकल मापों के बाधाओं और डेलोकेलाइजेशन (delocalization) पर हालिया प्रगति पर चर्चा करता है।
यह शोध पत्र चार या उससे अधिक के सम आयामी (even dimensions) में ग्राफ़िकल फलनों (graphical functions) के व्यापक सिद्धांत को प्रस्तुत करता है, जो उच्च-लूप क्वांटम फील्ड थ्योरीज़ में फेनमैन पीरियड्स (Feynman periods) और रिनॉर्मलाइजेशन स्थिरांकों (renormalization constants) की गणना को सुगम बनाने के लिए उनके गुणों की विस्तृत समीक्षा और पूर्ण प्रमाण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय अस्की-विल्सनन (Askey-Wilson) संबंधों को संतुष्ट करने वाले दो अवलोकनों (observables) के सबसे सामान्य द्विपद (bilinear) संयोजन के रूप में एक शास्त्रीय ह्यून (Heun) अवलोकन प्रस्तुत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि इसकी संबद्ध हैमिल्टनियन गतिकी चतुर्थ घात विभेदक समीकरणों और दीर्घवृत्तीय फलनों (elliptic functions) द्वारा शासित होती है, जिससे एक ऐसा बीजगणितीय तंत्र प्राप्त होता है जो शास्त्रीय लियोनार्ड युग्मों (Leonard pairs) को दीर्घवृत्तीय विलेयता (elliptic solvability) से जोड़ता है।
यह शोध पत्र एर्गोडिक टोपोलॉजिकल डायनेमिक्स द्वारा संचालित डिसऑर्डर्ड सिस्टम्स के लिए फिनाइटली कोरिलेटेड स्टेट्स के सिद्धांत का सामान्यीकरण करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि एक विशिष्ट डिसऑर्डर्ड AKLT स्टेट में एक क्लोज्ड बल्क स्पेक्ट्रल गैप, लगभग निश्चित रूप से एक्सपोनेंशियलली डिके होने वाले कोरिलेशन और -1 का टाइम-रिवर्सेलिटी इनवेरिएंट तासाकी इंडेक्स प्रदर्शित होता है।
यह शोध पत्र सीमा स्थितियों (boundary conditions) को समायोजित करके लैटिस यांग-मिल्स मुक्त ऊर्जा के अग्रणी क्रम पद (leading order term) में पूर्व में अज्ञात स्थिरांक का एक समतुल्य अभिलक्षण प्रदान करता है, जिससे इसकी स्पष्ट गणना संभव हो पाती है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि डबल-स्केलिंग रिजीम में स्ट्रॉन्गली कपल्ड लार्ज-N प्रिंसिपल कायरल मॉडल सभी ऑर्डर्स तक मैक्सिमल ट्रांसेंडेंटैलिटी प्रदर्शित करता है, जिसके वैक्यूम-एनर्जी एक्सपेंशन कोएफिशिएंट्स विषम ज़ेटा मानों के बहुपदों के रूप में बनते हैं जो गहरे संख्या-सिद्धांत संबंधी नियमितताओं को प्रकट करते हैं।