1423 पेपर
यह शोध पत्र चार आयामों में 710,450 कैनोनिकल फेक वेटेड प्रोजेक्टिव स्पेस की पहचान करने के लिए एक वर्गीकरण एल्गोरिदम विकसित करने हेतु टॉरिक वैराइटीज़ (toric varieties) की कैनोनिसिटी और टर्मिनलिटी के लिए एक स्थानीय क्लास ग्रुप-आधारित मानदंड स्थापित करता है और उनके संबंधित कैलाबी-यौ हाइपरसरफेस (Calabi-Yau hypersurfaces) का विश्लेषण करता है।
यह शोधपत्र मॉडुलि सिद्धांत (moduli theory) के आंतरिक दृष्टिकोण में हालिया प्रगति का सर्वेक्षण करता है, जो बीजगणितीय स्टैक्स (algebraic stacks) और ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (geometric invariant theory) का उपयोग करके मॉडुलि समस्याओं को सरल स्तरों (strata) में विभाजित करने और संगत मॉडुलि स्थानों का निर्माण करने के लिए किया जाता है, साथ ही भविष्य की अनुसंधान दिशाओं की रूपरेखा भी प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक चिकने (smooth) प्रक्षेपिक प्र變 (projective variety) के एक जेनेरिक प्रक्षेप (generic projection) का विविक्तक लोकस (discriminant locus), उसके द्वैत प्र變 (dual variety) के एक सामान्य रैखिक खंड (general linear section) के प्रति प्रक्षेपिक द्वैत (projectively dual) है, जो एक शुद्धता कथन (purity statement) की ओर ले जाता है और, सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) पर, शाखा विभाजक (branch divisor) के पूरक के मौलिक समूह से एक ब्रेड समूह (braid group) पर एक अधिसंयोजकता (surjection) की ओर ले जाता है।
यह शोध पत्र मैग्मा (Magma) में एक एल्गोरिदम को प्रस्तुत और कार्यान्वित करता है जो 11 से 1000 के बीच सभी अभिलक्षणों (characteristics) में वाले ऑटोमोर्फिज्म समूहों वाली जनस (genus) 5 की सुपर्सपेशल हाइपरएलिप्टिक वक्रों को सफलतापूर्वक गणन करने में सक्षम है, जो उच्च जनस में ऐसे वक्रों की सीमित समझ को संबोधित करता है।
यह शोध पत्र परिमित समूह योजनाओं (finite group schemes) के लिए "तटस्थ निरूपणों" (neutral representations) की अवधारणा प्रस्तुत करता है, विकर्णीय मामले (diagonalizable case) में उनके अस्तित्व के लिए मानदंड स्थापित करता है, और इस ढांचे को चक्रीय ऑटोमॉर्फिज्म समूहों वाली चिकनी वक्रों और किस्मों (smooth curves and varieties) के एक व्यापक वर्ग को यह प्रदर्शित करने के लिए लागू करता है कि वे अपने मोडुलि के क्षेत्रों (fields of moduli) पर परिभाषित हैं।
यह शोध पत्र एक वर्टेक्स कोप्रोडक्ट (vertex coproduct) को पोटेंशियल वाले क्विवर के कॉन््टसेविच-सोइबेलमैन कोहोमोलॉजिकल हॉल अलजेब्रा पर निर्मित करता है ताकि एक वर्टेक्स बाइ-अलजेब्रा (vertex bialgebra) बनाया जा सके, जो बोसोनाइजेशन (bosonisation) के माध्यम से अलजेब्रा का विस्तार करता है, ADE क्विवर्स के लिए ड्रिंकल के डीफॉर्म्ड कोप्रोडक्ट (Drinfeld's deformed coproduct) को पुनः प्राप्त करता है, और शून्य पोटेंशियल वाले सिमेट्रिक क्विवर्स के लिए कोहोमोलॉजिकल इंटीग्रैलिटी प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र स्थिर बिंदुयुक्त वक्रों के मॉडुलि स्पेस (moduli space) पर वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित (vertex operator algebra) मॉड्यूल से जुड़े कॉइनवेरिएंट्स (coinvariants) और कन्फॉर्मल ब्लॉक्स (conformal blocks) के वेक्टर बंडलों के रैंक की गणना करने के लिए FA-मैट्रिक्सस को प्रस्तुत करता है, जिससे फ्यूजन और एवरेजिंग मैट्रिसेस का एकीकरण होता है, उएनो (Ueno) के कार्य का सामान्यीकरण होता है, और विभिन्न दृष्टांत उदाहरणों के माध्यम से उनके प्रथम चेर्न वर्गों (first Chern classes) के लिए धनात्मकता गुणों के विश्लेषण को सक्षम बनाया जाता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि सभी डेल पेज़ो सतहों (del Pezzo surfaces) पर ज्यामितीय हेलिक्स (geometric helices), मिरर लॉग कैलबी-यौ (mirror log Calabi–Yau) सतहों पर क्लस्टर रूपांतरणों (cluster transformations) के रूप में टिल्टिंग (tilting) की व्याख्या करके प्रारंभिक क्रियाओं द्वारा जुड़े हुए हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि संबद्ध एफाइन शंकु (affine cone) के किन्हीं भी दो गैर-कोम्यूटेटिव क्रीपेंट समाधानों (non-commutative crepant resolutions) को उत्परिवर्तनों (mutations) द्वारा संबंधित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र मोटिविक जटिलता में विविधताओं को मापने के लिए एक नोरी मोटिविक लोकल सिस्टम (Nori motivic local system) के अपवादिक लोकस (exceptional locus) को परिभाषित करता है और यह सिद्ध करता है कि यह लोकस मजबूत गैलुआइज़ स्थिरता गुणों (Galois stability properties) वाले बंद बीजगणितीय उप-विवरशियों (closed algebraic subvarieties) के गणनीय संघ (countable union) का निर्माण करता है, जिससे कैटानी-डेलिग्ने-कैप्लान प्रमेय (Cattani–Deligne–Kaplan Theorem) का एक मोटिविक अनुरूप स्थापित होता है और आंद्रे (André) के पिछले परिणामों का विस्तार होता है।
यह शोध पत्र प्लुरिससबहार्मोनिक एनवेलोप्स (plurisubharmonic envelopes) के इंटरसेक्शन थ्योरी का उपयोग करते हुए ग्रेडेड लीनियर सीरीज़ के कोडेरा-इिटाका आयाम (Kodaira-Iitaka dimension) और मल्टीप्लिसिटी के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र स्थापित करता है, जिससे परिष्कृत पॉइंटवाइज और मेट्रिक-स्तर के परिणाम प्राप्त होते हैं जो एक नए नॉन-प्लुरिपोलर संख्यात्मक इनवेरिएंट (non-pluripolar numerical invariant) की ओर ले जाते हैं, जो शास्त्रीय आयाम से अधिक प्रभावी है जबकि मौजूदा संख्यात्मक संस्करणों द्वारा सीमित रहता है।