1423 पेपर
यह शोधपत्र नियमित सतहों के डबल कवर्स (double covers) के लिए लिपमैन के विसंरचनाकरण (desingularization) का वर्णन करने वाले स्पष्ट समीकरण प्रदान करता है, जिससे उनकी विलक्षणताओं (singularities) को हल करने के लिए एक ठोस एल्गोरिदम स्थापित होता है।
यह शोधपत्र अर्ध-पूर्ण (quasi-perfect) ब्लूपअप्स के माध्यम से नियमित नोएथेरियन बीजगणितीय स्थानों (regular Noetherian algebraic spaces) का एक नया अभिलक्षण स्थापित करता है और यह प्रदर्शित करता है कि उचित रूपान्तरणों (proper morphisms) की अर्ध-पूर्णता एक एटाले-स्थानीय (étale-local) गुण है, जिससे ऐसे बिंदुओं के स्थान के ज़ारिस्की खुला (Zariski open) होने को सिद्ध किया जाता है।
यह शोध पत्र प्रकार के क्विवर निरूपणों (quiver representations) में ओपन क्विवर लोकी (open quiver loci) के इक्विवेरिएंट चेर्न-श्वार्ट्ज-मैकफर्सन (equivariant Chern-Schwartz-MacPherson) वर्गों की गणना करने के लिए एक ज्यामितीय और दो संयोजनपरक (combinatorial) सूत्रों को प्रस्तुत करता है, जिसमें "चेन्ड जेनेरिक पाइप ड्रीम्स" (chained generic pipe dreams) का परिचय दिया गया है और संबंधित क्विवर बहुपदों (quiver polynomials) के लिए ज्ञात सूत्रों के सुव्यवस्थित संस्करण प्रदान किए गए हैं।
यह शोध पत्र समरूप बहुपदों (homogeneous polynomials) के न्यूनतम स्थानीय सामान्यीकृत योगात्मक अपघटन (GADs) की गणना करने के लिए एक निर्धारक विधि प्रस्तुत करता है, जो प्रतीकात्मक व्युत्क्रम प्रणालियों (symbolic inverse systems) के रैंक को न्यूनतम करके किया जाता है, और यह सिद्ध करता है कि यह दृष्टिकोण गारंटी देता है कि जब तक स्थानीय GAD-रैंक रूप की डिग्री से अधिक न हो, तब तक यह टेंसर विस्तारों (tensor extensions) के बिना सभी न्यूनतम अपघटनों को खोजने में सक्षम है।
यह शोध पत्र प्लकर्स निर्देशांक (Plücker coordinates) और अपरिवर्तनीय परिमेय फलनों (invariant rational functions) का उपयोग करके अंतर्निहित क्रमपरिवर्तन आव्यूह (permutation matrix) को एक मूल (root) के रूप में निर्मित करने वाले बहुपदों के माध्यम से लीनियर कोड इक्विवेलेंस समस्या के लिए एक सैद्धांतिक बीजगणितीय ढांचे को प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि परिणामी बहुपद व्यावहारिक हमलों के लिए गणनात्मक रूप से अव्यवहार्य होने के बावजूद भी क्रिप्टैनालिसिस में बीजगणितीय ज्यामिति की क्षमता कितनी है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि जटिलता एक वाले टॉरस क्रियाओं (torus actions) के संकुचन मानचित्रों (contraction maps) के लिए अपघटन प्रमेय घटक (decomposition theorem components), सम-विमीय उप-विविधताओं (even codimensional subvarieties) के प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी कॉम्प्लेक्स (intersection cohomology complexes) हैं, जिससे इस प्रकार की तर्कसंगत पूर्ण विविधताओं (rational complete varieties) के लिए विषम-विमीय प्रतिच्छेदन कोहोलॉजी का लुप्त होना सिद्ध होता है और उनके परिभाषित समीकरणों के आधार पर एफाइन त्रिपद हाइपरसरफेस (affine trinomial hypersurfaces) के बेट्टी संख्याओं (Betti numbers) के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान किए जाते हैं।
यह शोध पत्र प्रोजेक्टिव स्पेस के ब्लो-अप्स में स्थिर कॉम्प्लेक्स स्ट्रक्चर वाले पॉइंटेड कर्व्स के ज्यामितीय (geometric) और वर्चुअल काउंट्स के बीच एसिम्प्टोटिक सहमति (asymptotic agreement) और विचलन (divergence) की जांच करता है, जो जैकोबियन इंटीग्रल्स के माध्यम से टोरिक मामलों के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है और क्वांटम कोहोमोलॉजी का उपयोग करके के लिए वर्चुअल काउंट्स की गणना करता है।
यह शोध पत्र एक -बिक (bic) थ्रीफोल्ड पर रेखाओं की चिकनी सतह की ज्यामिति की जांच करने के लिए प्रोजेक्टिव, मॉड्युली-सैद्धांतिक और डिजनरेशन तकनीकों के साथ-साथ मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करता है ताकि जब अभाज्य हो, तो इसके स्ट्रक्चर शील (structure sheaf) के कोहोमोलॉजी की गणना की जा सके।
यह शोध पत्र -आदिक क्षेत्रों पर ज्यामितीय कुमेर (Kummer) सतहों पर शून्य-चक्रों (zero-cycles) के चाव समूह (Chow group) की संरचना के संबंध में रास्किंड, स्पिस, कोलेट-थेलिन और सन्सक द्वारा दिए गए एक अनुमान (conjecture) को सिद्ध करता है और विशिष्ट मामलों में यह प्रदर्शित करके ऐसी सतहों पर शून्य-चक्रों के लिए स्थानीय-से-वैश्विक सिद्धांत (local-to-global principle) के लिए प्रथम बिना शर्त साक्ष्य प्रदान करता है कि ब्राउर-मैनिन अवरोध (Brauer-Manin obstruction) ही दुर्बल सन्निकटन (weak approximation) के लिए एकमात्र अवरोध है।
यह शोध पत्र विशिष्ट विलक्षण और परिमेय चतुर्थांश द्वि-पञ्चतुल्य (quartic double fivefolds) का निर्माण करता है जिनके कुज़नेत्सोव घटकों (Kuznetsov components) (ट्विस्टेड या अनट्विस्टेड) कैली-याउ त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स द्वारा क्रीपेंट श्रेणीबद्ध समाधानों (crepant categorical resolutions) को स्वीकार करते हैं, जिससे उच्च-आयामी परिमेयता अनुमानों और कैली-याउ मॉडुलि स्थानों की संबद्धता के लिए साक्ष्य प्रदान होता है।