1423 पेपर
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक क्षेत्र पर क्रमविनिमेय हॉपफ बीजगणक (commutative Hopf algebras) की श्रेणी को को-अर्ध-एबेलियन (co-semi-abelian) है, जिससे एक कोरैगुलर ऑर्थोगोनल गुणनखंड प्रणाली (coregular orthogonal factorization system) की पहचान और ताकेउची के पत्राचार (Takeuchi's correspondence) के अनुप्रयोग के माध्यम से यह स्थापित होता है कि एफाइन समूह -स्कीम्स (affine group -schemes) की श्रेणी अर्ध-एबेलियन (semi-abelian) है।
यह शोध पत्र मोनोड्रोमी निरूपणों (monodromy representations) पर चिकने सम्मिश्र रूपांतरों (smooth complex varieties) के मौलिक समूहों के निरूपण रूपांतरणों (representation varieties) के औपचारिक स्थानीय वलय (formal local ring) पर एक मिश्रित होज संरचना (mixed Hodge structure) का निर्माण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि भारित-समरूप प्रस्तुतिकरण (weighted-homogeneous presentation) भार फिल्ट्रेशन विभाजन (weight filtration splitting) से कैसे उत्पन्न होता है और इस प्रकार आइसिडियू-सिम्पसन (Eyssidieux-Simpson) एवं कपोविक-मिलसन (Kapovich-Millson) के प्रमुख परिणामों का सामान्यीकरण करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि कोई भी मूल्यांकन वलय (valuation ring) जिसमें उसका अवशेष क्षेत्र (residue field) अभिलक्षण वाला हो, उसे पूर्ण प्रतिच्छेदन -बीजगणितों (complete intersection -algebras) के एक फिल्टर्ड प्रत्यक्ष सीमा (filtered direct limit) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यह शोध पत्र बीजगणिक होमोलॉजी (algebraic homology) की एक अवधारणा को प्रस्तुत करते हुए उच्च बीजगणिक समूह स्टैक्स (higher algebraic group stacks) के ढांचे के भीतर चिकनी किस्मों (smooth varieties) के लिए ग्रोटेंडिएक के सामान्यीकृत स्थानीय जैकोबियन्स (generalized local Jacobians) के निर्माण को पुनर्गठित करता है, जो fppf कोहोमोलॉजी की गणना करती है और यह प्रदर्शित करती है कि ये जैकोबियन समर्थन आयाम (support dimension) द्वारा एक फिल्ट्रेशन से जुड़ी एक स्पेक्ट्रल अनुक्रम (spectral sequence) के -पृष्ठ के रूप में उभरते हैं, जबकि साथ ही इन परिणामों को अनिश्चित आधारों (arbitrary bases) तक भी विस्तारित करता है।
यह शोध पत्र जैकोबियन आदर्श बहुलता (Jacobian ideal multiplicity) और पूर्णच्छेदन विसंगति (complete intersection discrepancy) के बीच के अंतर पर आधारित एक फाइबर-वार बहुलता मानदंड स्थापित करके अपचयित वक्रों (reduced curves) के परिवारों में व्हिटनी सम-एकलता (Whitney equisingularity) और टोपोलॉजिकल सम-एकलता (topological equisingularity) को अभिलक्षित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि ये स्थितियाँ विशिष्ट अपवादजनक लोकी (exceptional loci) की सम-विमात्मकता (equidimensionality) और सापेक्ष ध्रुवीय किस्मों (relative polar varieties) की रिक्तता के तुल्य हैं, और साथ ही मिलर संख्या (Milner number) की ज़ारिस्की अर्ध-सततता (Zariski upper semicontinuity) को भी प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र चरों को अलग करके इसे एक पूर्ण अभिविन्यास (absolute orientation) समस्या में बदलकर पर्सपेक्टिव फोर-पॉइंट्स समस्या के लिए एक तेज़ और सटीक बहुपद समाधान प्रस्तुत करता है, जो तुलनीय सटीकता बनाए रखते हुए अत्याधुनिक एल्गोरिदम की तुलना में काफी तेज़ गणना प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र एक सामान्य -गोनल वक्र के जनक (genus) पर रैंक-2, डिग्री- वाले स्पेशलिटी 2 वाले स्थिर वेक्टर बंडलों के ब्रिल-नोएदर लोकी (Brill-Noether loci) के लिए उनके स्ट्रैटिफिकेशन और स्थानीय ज्यामितीय संरचना के साथ उनके अपरिवर्तनीय घटकों (irreducible components) का एक पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है, जो की संपूर्ण सीमा को कवर करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि जनस (genus) 2 वक्रों के अनरैमिफाइड (unramified) गैलुआ कवरिंग, उनके प्रिम (Prym) वेरिएटीज़ द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित होते हैं और ऐसे वक्रों के किसी भी एबेलियन समूहों द्वारा अनरैमिफाइड कवरिंग के लिए प्रिम मैप्स की जेनेरिक फाइनाइटनेस (generic finiteness) की जांच करता है।
BCFW पुनरावृत्ति (recurrence) से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र ग्रासमैनियन उत्पादों (Grassmannian products) के बीच प्रमोशन मानचित्रों (promotion maps) को परिभाषित करने के लिए प्लैबिक टेंगल्स (plabic tangles) और -वेक्टर-संबंध कॉन्फ़िगरेशन (m-vector-relation configurations) प्रस्तुत करता है, जो यह अनुमान लगाता है और सिद्ध करता है कि ये मानचित्र क्वासी-क्लस्टर होमोमोर्फिज्म (quasi-cluster homomorphisms) हैं जिनके एम्प्लीटुहेड्रोन (amplituhedron) की ज्यामिति और प्लेनर सुपर यांग-मिल्स थ्योरी (planar super Yang-Mills theory) में स्कैटरिंग एम्प्लीट्यूड (scattering amplitudes) के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं।
यह शोधपत्र एक प्रारंभिक होचशिल्ड युग्मन (Hochschild pairing) के माध्यम से सुचारू और उचित (smooth and proper) डीजी-बीजगणितों के लिए सेरे द्वैतता (Serre duality) और मुकाई युग्मन (Mukai pairing) को एकीकृत करता है, और इस ढांचे को एक सार्वभौमिक ऑसलैंडर-रेटन त्रिकोण (Auslander–Reiten triangle) का निर्माण करने के लिए लागू करता है जो पूर्ण व्युत्पन्न श्रेणियों (perfect derived categories) के लिए ऑसलैंडर-रेटन त्रिकोणों को फलनवत रूप से उत्पन्न करता है।