1423 पेपर
यह शोधपत्र एक नोडल वक्र के कॉम्पैक्टिफाइड जैकोबियन पर ट्विस्टेड पिकाड बंडलों के प्रतिबंध की एक नोडल वक्र के एम्बेडेड वक्र पर जांच करता है, संबद्ध वेक्टर बंडलों की स्थिरता स्थापित करता है, मॉडुलि स्पेस में जैकोबियन के विशिष्ट एम्बेडिंग को परिभाषित करता है, और इन स्थानों पर थीटा डिविजरों के बीच संबंध निर्धारित करता है।
ये नोट्स फंडामेंटल लेम्मा पर एनगो (Ngô) के कार्य को आधार बनाकर, ड्यूलिज़ेबल एबेलियन फाइब्रेशन (dualizable abelian fibrations) के लिए एक रूपरेखा स्थापित करते हैं, ताकि इस संदर्भ में डिकंपोजिशन थ्योरम और परवर्से फिल्ट्रेशन (perverse filtration) की समृद्ध संरचनाओं का अन्वेषण किया जा सके, साथ ही हालिया प्रगति और अनुप्रयोगों को भी रेखांकित किया जा सके।
यह शोधपत्र सार्वभौमिक विस्तार स्थानों (universal extension spaces) और मॉड्यूलर मानचित्रों (modular maps) का उपयोग करते हुए, एक सामान्य -गोनल वक्र पर विशिष्टता तीन (speciality three) वाले रैंक-दो स्थिर वेक्टर बंडलों के ब्रिल-नोएथर सिद्धांत (Brill-Noether theory) की जांच करता है, ताकि अस्तित्व मानदंडों को स्थापित किया जा सके, विविध ज्यामितीय व्यवहारों (नियमित और सुपरएबंडेंट घटकों के सह-अस्तित्व सहित) वाले अपरिमेय घटकों का वर्णन किया जा सके, और उनके स्तरीकरण एवं बिरेशनल ज्यामिति का विश्लेषण किया जा सके।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि एक सिमेट्राइज़ेबल (symmetrizable) काह-मीडी (Kac-Moody) बीजगणित के हेके बीजगणित (Hecke algebra) के लिए काज़दान-लुस्टिग (Kazhdan-Lusztig) बहुपदों का आव्यूह, ग्रोजनोव्स्की-हाइमन (Grojnowski-Haiman) के हाइब्रिड आधारों का उपयोग करते हुए और परिणामी संक्रमण गुणांकों (transition coefficients) की धनात्मकता के लिए एक ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करते हुए, आव्यूहों के एक गुणनफल में विभाजित होता है जिनके प्रविष्टियाँ गैर-ऋणात्मक बहुपद हैं।
यह शोध पत्र मल्टीग्रेडेड हुरविट्ज़ रूपों (multigraded Hurwitz forms) को परिभाषित करके, पूर्ण प्रतिच्छेदों (complete intersections) के लिए स्पष्ट डिग्री सूत्र व्युत्पन्न करके, और नैश इक्विलिब्रियम (Nash equilibria) से लेकर फेनमैन इंटीग्रल्स (Feynman integrals) तक के अनुप्रयोगों के लिए एलिमिनेशन थ्योरी (elimination theory) में उनकी उपयोगिता प्रदर्शित करके, प्रोजेक्टिव स्पेस के उत्पादों में विविधताओं (varieties) के लिए हुरविट्ज़ रूपों की अवधारणा का विस्तार करता है।
यह शोध पत्र कम से कम 4 के द्वितीय बेटी संख्या वाले हाइपर-केलर रूपांतरों (hyper-Kähler varieties) के लिए अर्ध-सरल ममफोर्ड-टेट अनुमान (semisimple Mumford-Tate conjecture) को स्थापित करता है और फ्रोबेनिअस टोरा (Frobenius tori) तथा लूजींगा-लुन्ट्स-वर्बिट्स्की ली बीजगणक (Looijenga-Lunts-Verbitsky Lie algebra) का उपयोग करके विभिन्न स्तरों में -एडिक बीजगणकीय मोनोड्रोमी रैंक की तुलना करके विरूपण (deformation) के तहत इसकी अपरिवर्तनीयता को सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र बीजगणितीय मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Algebra) को विभिन्न संभाव्य और बीजगणितीय संदर्भों में विस्तारित करता है, जिसमें लॉरेंट बहुपदों (Laurent polynomials) के लिए काक-प्रकार (Kac-type) के परिणाम (जहाँ अधिकांश शून्य अप्रत्याशित रूप से वास्तविक होते हैं), जटिल रिडक्टिव समूहों (complex reductive groups) पर बहुपद, और एक और कई चरों में घातांकीय योग (exponential sums) शामिल हैं।
यह शोध पत्र विभेदक क्रमबद्ध (differential graded) या वक्र (curved) बीजगणितों के लिए द्वितीय प्रकार के होचशिल्ड कोहोमोलॉजी (Hochschild cohomology) को एक व्युत्पन्न फलन (derived functor) के रूप में परिभाषित करता है, मोरीटा तुल्यता (Morita equivalence) और कोशुल द्वैत (Koszul duality) के अंतर्गत इसकी अपरिवर्तनीयता स्थापित करता है, और इन्फिनिटी लोकल सिस्टम्स (infinity local systems), सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स (complex manifolds) तथा मैट्रिक्स फैक्टरिज़ेशन (matrix factorizations) जैसे ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण डीजी श्रेणियों (dg categories) की साधारण होचशिल्ड कोहोमोलॉजी की गणना करने में इसकी उपयोगिता को प्रदर्शित करता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि एक अर्ध-सघन (quasi-compact) अर्ध-पृथक (semi-separated) या एक परिमित क्रुल आयाम (finite Krull dimension) वाले नोयथेरियन (Noetherian) स्कीम पर अर्ध-सुसंगत शीफ (quasi-coherent sheaves) की श्रेणी रोोस एक्सिओम (Roos axiom) - को संतुष्ट करती है, जिसके लिए दो भिन्न प्रमाण प्रदान किए गए हैं: चेच को-रिजोल्यूशन (Čech coresolutions) का उपयोग करते हुए एक प्रारंभिक दृष्टिकोण और परिमित प्रोजेक्टिव आयाम जनरेटर (finite projective dimension generators) या कॉन्ट्राहेरेंट को-शीफ (contraherent cosheaves) के साथ को-कोंट्रा पत्राचार (co-contra correspondence) का लाभ उठाते हुए एक वैचारिक दृष्टिकोण।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि पर स्केबुलंड वक्र (Skabelund curve) के मध्यवर्ती आवरण (intermediate covers), अपने वंश (genus) और पूर्ण स्व-रूपान्तरण समूह (full automorphism group) द्वारा समावयवता (isomorphism) तक अद्वितीय रूप से निर्धारित होते हैं, जिससे इस प्रकार के अधिकतम वक्रों (maximal curves) के परिवार के लिए एक रिजिडिटी-प्रकार (rigidity-type) का वर्गीकरण प्राप्त होता है।