1423 पेपर
यह शोध पत्र रैंक टू वेक्टर बंडल्स पर लाइन-बंडल-मानित क्वाड्रेटिक फॉर्म्स के सिमिलैरिटी क्लासेस और जनरलाइज्ड क्लिफोर्ड अलजेब्रा कंपोनेंट्स के पेयर्स के आइसोमॉर्फिज्म क्लासेस के बीच एक फनक्टोरियल कोरेस्पोंडेंस स्थापित करता है, जिससे गॉस कंपोजिशन का सामान्यीकरण होता है और क्वाड्रेटिक अलजेब्रास के पिकार्ड ग्रुप्स के साथ संबंधों को स्पष्ट किया जाता है।
यह शोध पत्र सिम्पसन की आरेखीय विधि (Simpson's diagrammatic method) का उपयोग करते हुए, तीन-छिद्रित (three-punctured) प्रक्षेपिक रेखा पर $GL(r)$, , और $Sp(r)$ के लिए MC-न्यूनतम सापेक्ष वर्ण-विविधताओं (MC-minimal relative character varieties) के रैंक पर स्पष्ट रैखिक ऊपरी सीमाएँ स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऐसी कोई भी विविधता काट्ज़ की मध्य अभिसरण (Katz's middle convolution) के माध्यम से एक ऐसी विविधता के समरूप (isomorphic) है जो इन सीमाओं को संतुष्ट करती है, जिन्हें सामान्य रैखिक और गैर-अतिव्याप्त द्विघात (non-overlapping quadratic) मामलों के लिए तीक्ष्ण (sharp) दिखाया गया है।
यह शोध पत्र इटरेटेड होमोजेनियस रिसल्टेंट्स (iterated homogeneous resultants) का उपयोग करके ट्रांसलेशनल सतहों (translational surfaces) के इम्प्लिसिट समीकरण की गणना करने की एक वैकल्पिक विधि प्रस्तुत करता है, जो पिछले सिनजी-आधारित (syzygy-based) दृष्टिकोणों की तुलना में छोटे सिल्वेस्टर मैट्रिसेस (Sylvester matrices) और खराब व्यवहार वाले बेसपॉइंट्स (basepoints) के विरुद्ध अधिक सुदृढ़ता प्रदान करता है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट -क्रिया के अंतर्गत पिकार्ड संख्या एक वाले एक उत्तल विविधता (convex variety) के चाउ कोटिएंट (Chow quotient) की जांच करता है, यह स्थापित करते हुए कि अपरिमेय टॉरस-अपरिवर्तनीय चक्रों (reducible torus-invariant cycles) का लोकस एक सरल सामान्य काट (simple normal crossing) विभाजक बनाता है और इसके साथ ही इसकी नेफ (Nef) और मोरी (Mori) शंकुओं तथा इसके प्रति-कैनोनिकल (anticanonical) विभाजक की स्पष्ट रूप से गणना करता है।
यह शोध पत्र साइन (sine) और कोसाइन (cosine) फलनों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित अफ़ाइन बीजगणितीय किस्मों (affine algebraic varieties) की जांच करता है, यह स्थापित करते हुए कि उनकी डिग्री पॉलीटोप आयतनों (polytope volumes) के अनुरूप होती है, उनके परिभाषित समीकरणों को बहुपद आव्यूह रैंक बाधाओं (polynomial matrix rank constraints) के माध्यम से व्युत्पन्न करता है, और कुरामोटो मॉडल (Kuramoto model) जैसे गतिशील प्रणालियों में उनके अनुप्रयोगों के साथ-साथ उत्तल अनुकूलन (convex optimization) और डिस्क्रिमिनेंट्स (discriminants) के साथ संबंधों का अन्वेषण करता है।
यह शोधपत्र परिमित समूह क्रियाओं (finite group actions) वाले चिकने प्रक्षेपिक रूपांतरों (smooth projective varieties) के लिए कोशल कोहोमोलॉजी (Koszul cohomology) की निरूपण-सैद्धांतिक संरचना की जांच करता है, जो आभासी निरूपण पहचान (virtual representation identities) के रूप में सामान्यीकृत विमा सूत्रों को व्युत्पन्न करता है और इक्विवैरिएंट यूलर अभिलक्षण (equivariant Euler characteristics), रीमैन-रॉच प्रमेयों और शूर फन्क्टर जनरेटिंग फंक्शन्स (Schur functor generating functions) को संयोजित करके कैनोनिकल वक्रों (canonical curves) के लिए स्पष्ट परिणाम प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र इस समस्या को स्थिर कनेक्शनों (constant connections) के एक मॉडुलस के रूप में पुनर्गठित करके, संबद्ध रिडक्टिव कॉम्प्लेक्स समूहों पर परिमित-रैंक लेफ्ट-ट्रांसलेशन इनवेरिएंट बीजगणिक -मॉड्यूल्स को वर्गीकृत करता है, और यह प्रदर्शित करता है कि अर्ध-सरल (semisimple) समूहों के लिए ये मौलिक समूह के केंद्रीय कर्नेल (fundamental group's central kernel) के निरूपणों के अनुरूप होते हैं, जबकि सामान्य रैखिक और सामान्य रिडक्टिव समूहों के लिए वर्गीकरण डिटर्मिनेंट या एबेलियनाइजेशन मानचित्रों के माध्यम से पुलबैक के माध्यम से एक-आयामी टॉरस के मामले में संक्षिप्त हो जाता है।
यह शोध पत्र के पिकार्ड समूह के एक मोनॉयडल विस्तार के रूप में परिमेय संख्याओं के एडेल क्लास स्पेस (adele class space) की व्याख्या करता है, जो इसके तत्वों को कठोर डेटा (मान या समूह रूपांतरण और मूल-इकाई पैरामीट्रिज़ेशन) से सुसज्जित टॉर्शन-फ्री रैंक-1 अबेलियन समूहों के रूप में पहचानता है ताकि एडेलों के गुणनफल का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व किया जा सके और -फंक्शन्स के स्पेक्ट्रल रियलाइज़ेशन के लिए पिकार्ड समूह का सामान्यीकरण किया जा सके।
यह शोध पत्र उष्णकटिबंधीय स्तरीकरण (tropical stratifications) और भार निस्पंदन बाधाओं (weight filtration constraints) का लाभ उठाकर वाकिल-ज़िंगर वि-विलयित (desingularised) जीनस एक मैपिंग स्पेस के परिमेय होमोलॉजी के लिए जनरेटरों और संबंधों को स्थापित करता है, जिससे Hodge और Tate अनुमानों को सिद्ध किया जाता है, इसके परिमेय पिकार्ड समूह (rational Picard group) का वर्णन किया जाता है, और यह प्रदर्शित किया जाता है कि इसकी सम होमोलॉजी (even homology) टॉटोलॉजिकल है और जीनस-शून्य एवं न्यूनीकरण जीनस-एक ग्रोमोव-विटन सिद्धांत द्वारा नियंत्रित होती है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि प्लकर-प्रकार के असमानताएँ (Plücker-type inequalities), जो किसी भी यादृच्छिक उत्तल निकायों (convex bodies) के लिए आयतन बहुपदों (volume polynomials) को अभिलक्षित करती हैं, चार लैटिस बहुभुजों (lattice polygons) के लिए साध्य वर्ग-मुक्त बहुपदों (realizable square-free polynomials) के सेट का पूर्णतः वर्णन करने में विफल रहती हैं, क्योंकि उनके मिश्रित क्षेत्रों (mixed areas) पर अतिरिक्त अंकगणितीय प्रतिबंध लागू होते हैं।