1404 पेपर
यह शोध पत्र डोनाल्डसन के विकर्णन प्रमेय (Donaldson's diagonalization theorem) से प्राप्त जालक-सैद्धांतिक (lattice-theoretic) तर्कों का उपयोग करते हुए, जटिल प्रक्षेपिक समतल (complex projective plane) में सुचारू रूप से अंतःस्थापित (smoothly embedded) 2-गो로ओं (2-spheres) के संग्रह के रूप में रेखा विन्यासों (line configurations) को साकार करने हेतु एक अधिक सुदृढ़ बाधा स्थापित करता है।
यह कार्यपत्र एक बीजगणितीय रूप से पूर्ण क्षेत्र की विशेषता वाले न्यूनतम (reduced) प्लेन वक्रों के सामान्यीकृत जैकोबियन्स (generalized Jacobians) के भीतर एबेल संबंधों (Abel relations) के औपचारिक शक्ति श्रेणी (formal power series) निरूपण की जांच करता है, जो कि लेखक के 1980 के पीएचडी शोध प्रबंध को पूर्ण करने और एबेल के प्रमेय का विशेषता वाला विलोम स्थापित करने के उद्देश्य वाले भविष्य के अध्ययन के लिए एक पूर्ववर्ती के रूप में कार्य करता है।
यह शोध पत्र मॉडिफाइड ओडा के अनुमान (modified Oda's conjecture) के लिए मॉरिसन के समाधान का सामान्यीकरण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि बड़े पिकार्ड संख्याओं वाले हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स (hyperkähler manifolds), जैसे कि K3 सतहों पर पॉइंटेड हिल्बर्ट स्कीम्स (pointed Hilbert schemes), बीजगणितीय सहसंबंधों (algebraic correspondences) के माध्यम से एबेलियन वेरिएटीज़ (abelian varieties) से संबंधित हैं।
यह शोधपत्र पर हाइपरएलिप्टिक वक्रों के अस्तित्व को स्थापित करता है जिनके जैकोबियन में विशिष्ट उच्च क्रमों के परिमेय टोरशन बिंदु (rational torsion points) होते हैं, जिसमें के क्रम के लिए एक रचनात्मक एक-पैरामीटर परिवार भी शामिल है।
यह शोध पत्र अल्बनेस मॉर्फिज्म (Albanese morphism) पर आधारित, एक चिकनी प्रक्षेपिक जटिल विविधता (smooth projective complex variety) के लिए अपने वर्ग (square) से एक बीरैशनल मॉर्फिज्म को स्वीकार करने हेतु आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है, जो विकर्ण (diagonal) को कम आयाम वाली उप-विविधता (subvariety) में संकुचित करता है।
यह शोध पत्र मोरिसन-कावामाता ड्रीम स्पेस (Morrison-Kawamata dream spaces) की अवधारणा प्रस्तुत करता है ताकि मोरिसन-कावामाता शंकु अनुमान (Morrison-Kawamata cone conjecture) को संतुष्ट करने वाले रूपांतरों (varieties) को स्वयंसिद्ध किया जा सके, और विभिन्न शंकुओं की जेनेरिक विरूपण अपरिवर्तनीयता (generic deformation invariance) को सिद्ध करने तथा बीजगणितीय रूपांतरों (algebraic varieties) के परिबद्धता समस्या (boundedness problem) को आगे बढ़ाने के लिए इस ढांचे का लाभ उठाता है।
यह शोध पत्र इवेंट हिस्ट्री एनालिसिस (घटना इतिहास विश्लेषण) और बीजगणितीय सांख्यिकी (एल्जेब्रिक स्टैटिस्टिक्स) के बीच एक सेतु स्थापित करता है, जो डिस्क्रीट-टाइम, डिस्क्रीट-स्टेट मल्टीस्टेट मार्कोव मॉडल्स के बहुपद संबंधों और वैनिशिंग आइडियल्स (vanishing ideals) को अभिलक्षित करता है, तथा अधिकतम संभावना अनुमान (मैक्सिमम लाइकलीहुड एस्टीमेशन) को सुगम बनाने के लिए गैर-समरूप (nonhomogeneous) मॉडल्स की टोरिक संरचना और समरूप (homogeneous) मॉडल्स के अधिक जटिल बीजगणितीय व्यवहार के बीच अंतर स्पष्ट करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करने के लिए मोटिविक होमोटोपी थ्योरी (motivic homotopy theory) का उपयोग करता है कि जबकि अधिकतम तीन आयाम वाले एफाइन स्मूथ रियल अल्जेब्रिक वैराइटीज़ (affine smooth real algebraic varieties) पर टोपोलॉजिकल वेक्टर बंडल्स की अल्जेब्रैबिलाइज़ेशन (algebra bility) के लिए स्टिफ़ल-विटनी क्लासेस (Stiefel-Whitney classes) की अल्जेब्रैिसिटी पर्याप्त है, वहीं चार-आयामी कॉम्पैक्ट केस में पहली पोंट्रियागिन (first Pontryagin) और चौथी स्टिफ़ल-विटनी क्लासेस से संबंधित एक नया ऑब्स्ट्रक्शन (obstruction) उत्पन्न होता है।
यह शोध पत्र उनके परिभाषित फलनों (defining functions) के प्रारूप के आधार पर स्मूथ पैफ़ियन हाइपरसरफेस (smooth Pfaffian hypersurfaces) के ट्यूबलर नेबरहुड्स (tubular neighborhoods) के लिए वॉल्यूम बाउंड्स स्थापित करता है और इन परिणामों को पैफ़ियन सक्रियण फलनों (Pfaffian activation functions) वाले न्यूरल नेटवर्क क्लासिफायर के कंडीशन नंबर्स (condition numbers) के लिए टेल बाउंड्स (tail bounds) प्राप्त करने हेतु लागू करता है, जिसमें सिंगल-हिडन-लेयर सिग्मॉइड नेटवर्क के लिए पॉलीनोमियल-इन-विड्थ (polynomial-in-width) बाउंड्स शामिल हैं।
यह शोध पत्र जटिल प्रक्षेपिक त्रि-स्थान (complex projective three-space) में आवश्यक हाइपरप्लेन व्यवस्थाओं (essential hyperplane arrangements) के लिए पर्डी के असमिका (Purdy's inequality) के एक परिष्कृत संस्करण को गलत सिद्ध करने हेतु प्रकार की मोनॉमियल रिफ्लेक्शन अरेंजमेंट के एक उप-विन्यास (subarrangement) से व्युत्पन्न एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि दो तिरछी रेखाओं (skew lines) पर बिंदुओं के स्थित होने का ज्ञात अवरोध ही एकमात्र मामला नहीं है जहाँ यह असमिका विफल होती है।