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यह शोध पत्र p-adic क्षेत्रों (जहाँ ) पर p-adic Schottky समूह द्वारा यूनिफॉर्माइज्ड हाइपरएलिप्टिक Mumford वक्रों की गणना करने के लिए एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है और SageMath में कार्यान्वित संख्यात्मक उदाहरणों के साथ p-adic अबेलियन समाकल (Abelian integrals) और श्नाइडर ऊंचाई (Schneider heights) की गणना में उनके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि कॉम्पैक्ट प्रकार के वक्रों के मोडुली स्पेस (moduli space) का टॉटोलॉजिकल रिंग (tautological ring) और के लिए गोरेनस्टीन (Gorenstein) नहीं है, जबकि साथ ही पिंटन के अनुमान (Pixton's conjecture) के उन नए मामलों को सिद्ध करता है जहाँ रिंग गोरेनस्टीन नहीं है, जिससे गोरेनस्टीन गुण की विफलता के बावजूद जहाँ अनुमान लागू होता है, उनके पहले ज्ञात उदाहरण प्रदान होते हैं।
यह शोध पत्र ऑर्थोसिमप्लेक्टिक ली सुपरएल्जेब्रा के विषम शून्यता शंकु (odd nilpotent cone) के लिए एक स्प्रिंगर-प्रकार का विलक्षणता समाधान (Springer-type resolution of singularities) निर्मित करता है।
यह शोध पत्र एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के शून्य अभिलक्षण वाले एक संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह के भीतर सभी अर्ध-सरल (semisimple) तत्वों द्वारा जनित उपसमूह को अभिलक्षित करता है।
यह शोध पत्र वक्रों के मॉडुलि स्पेस (moduli space) के इंटरसेक्शन थ्योरी और टॉटोलॉजिकल रिंग (tautological ring) का परिचय देता है, संबंधित खुले प्रश्नों का सर्वेक्षण करता है, और यह निर्धारित करने की तकनीकों को रेखांकित करता है कि क्या चाओ रिंग (Chow ring) टॉटोलॉजिकल क्लासेस द्वारा जनित है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट उष्णकटिबंधीय (ट्रोपिकल) "लूप ऑफ लूप्स" वक्र पर इन किस्मों (वेरिएटीज़) के पूर्ण संयोजन संबंधी विवरण का उपयोग करते हुए और लिफ्टिंग परिणामों को सिद्ध करने के लिए कॉक्सेटर समूह सिद्धांत को लागू करते हुए, k-गोनल वक्रों के सामान्य एटेले डबल कवर्स के प्रिम-ब्रिल-नोएदर किस्मों के लिए नए आयाम सीमाएँ स्थापित करता है, जो क्रीच एवं अन्य द्वारा दिए गए एक अनुमान का खंडन करता है।
यह शोध पत्र बीजगणितीय स्वयंचलित समूहों (algebraic automorphism groups) के निश्चित क्षेत्रों पर अनंत सममित समूहों (infinite symmetric groups) के चिकने अर्ध-रैखिक निरूपणों (smooth semilinear representations) की श्रेणी की जांच करता है, जो के उपसमूहों और टोरि (tori) जैसे विशिष्ट समूहों के लिए सरल और अविभाज्य समावेशी वस्तुओं (simple and indecomposable injective objects) को वर्गीकृत करने वाला एक शूर-वेइल-समान द्वैत (Schur–Weyl-like duality) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक परिमेय फलन क्षेत्र (rational function field) पर रैंक वाले ड्रिफ़ेल्ड मॉड्यूल (Drinfeld modules) के लिए, -एडिक गैलुआ प्रतिनिधित्व (T-adic Galois representation) घनत्व 1 वाले मॉड्यूल के एक सेट के लिए अधिसुर्य (surjective) है, जिससे हिल्बर्टत अनिरूपता (Hilbert irreducibility), ड्रिफ़ेल्ड के यूनिफॉर्माइजेशन सिद्धांत (Drinfeld's uniformization theory) और सीव विधियों (sieve methods) का उपयोग करते हुए एलिप्टिक कर्व्स के गैलुआ प्रतिनिधित्वों की औसत अधिसुर्यता पर ड्यूक (Duke) के परिणामों को फलन क्षेत्र सेटिंग में विस्तारित किया गया है।
यह शोध पत्र स्मूथ प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ (smooth projective varieties) को रिबन्स (ribbons) में डिजनरेट करके उनकी एक्सटेंडेबिलिटी (extendability) की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि फैनो थ्रीफोल्ड्स (Fano threefolds) के डबल कवर्स के विरूपण (deformations) के रूप में उत्पन्न होने वाले सामान्य कैलाबी-यौ थ्रीफोल्ड्स (Calabi-Yau threefolds) विशिष्ट लीनियर सीरीज़ के लिए अपने बेस जितने ही एक्सटेंडेबल होते हैं, वे पर्याप्त बड़े डिग्री के लिए नॉन-एक्सटेंडेबल (non-extendable) हो जाते हैं, जो एक ऐसा व्यवहार है जो निचले-आयामी एनालॉग्स जैसे K3 सतहों और कैनोनिकल कर्व्स (canonical curves) के विपरीत है और उनके समानांतर है।
यह शोध पत्र सापेक्ष मत्सुई स्पेक्ट्रम (relative Matsui spectrum) प्रस्तुत करता है, जो क्रियाओं वाले स्थिर -श्रेणियों (stable -categories) के लिए एक नया अपरिवर्तनीय (invariant) है जो थिक सबमॉड्यूल्स (thick submodules) को वर्गीकृत करने और विभिन्न परिवेशों में श्रेणीगत डेटा से शास्त्रीय ज्यामितिक स्थानों को पुनः प्राप्त करने के लिए बाल्मर (Balmer) और मत्सुई (Matsui) के स्पेक्ट्रा को एकीकृत करता है, जिससे यह गैर-वैश्विक टेंसरियल संदर्भों (non-globally tensorial contexts) में टेंसर ट्राइएंगुलर ज्योमेट्री (tensor triangular geometry) का विस्तार करता है।