1415 पेपर
यह शोध पत्र एक निर्दिष्ट शाखा लोकस (branch locus) के बाहर एतले (étale) रहने वाले और एक दिए गए -गैलोइस कवर पर डोमिनेट करने वाले वक्रों के -कवर्स के न्यूनतम वंश (genus) को निर्धारित करने की एक विधि स्थापित करता है, जो आधार वक्र के पिकार्ड समूह (Picard group) के -टोरशन में -स्थिर उप-मॉड्यूल (submodules) का विश्लेषण करके किया जाता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि उष्णकटिबंधीय अबेलियन रूपांतरों (tropical abelian varieties) के H-नियमित उप-विविधताओं (H-regular subvarieties) में गैर-ऋणात्मक हस्ताक्षरित ऑयलर अभिलक्षण (nonnegative signed Euler characteristics) होते हैं, जो ग्रीन-लाज़ारफेल्ड प्रमेय के एक उष्णकटिबंधीय अनुरूप (tropical analogue) को प्रदान करता है, जबकि एक प्रति-उदाहरण के निर्माण के माध्यम से यह प्रदर्शित करता है कि यह गुण सामान्य उष्णकटिबंधीय उप-विविधताओं के लिए विफल हो जाता है।
यह शोधपत्र बीजगणितीय किस्मों (algebraic varieties) पर परिमित समूह क्रियाओं (finite group actions) के बीरेशनल गुणों की जांच करता है, जिसमें लीनियरिबिलिटी (linearizability), टॉर्सर (torsors) और वर्सेलिटी (versality) जैसी अवधारणाओं पर विशेष ध्यान दिया गया है।
यह शोध पत्र ध्रुवीय डिग्री (polar degrees) और सममित आव्यूह कर्नों (symmetric matrix kernels) के एक स्व-निहित ज्यामितीय विश्लेषण के माध्यम से यह सिद्ध करके, जटिल संख्याओं पर विकर्ण घात योगों (diagonal power sums) की सममित निर्धारक जटिलता (symmetric determinantal complexity) के लिए एक नई निचली सीमा स्थापित करता है कि की सममित निर्धारक जटिलता से कम नहीं है।
यह शोध पत्र गणनात्मक अपरिवर्तनीय (enumerative invariants) प्राप्त करने हेतु टैम मोनोड्रोमी (tame monodromy) वाले -adic पर्सेव शिफ़्स (perverse sheaves) के निर्माण के लिए $-1$-शिफ़्टेड कॉन्टैक्ट डेरिव्ड आर्टिन स्टैक्स (contact derived Artin stacks) के लिए एक इक्विवेरिएंट डार्बौ प्रमेय (equivariant Darboux theorem) स्थापित करता है, और तत्पश्चात फूरियर-मुकै फंक्टर्स (Fourier-Mukai functors) के माध्यम से गैर-रेखीय लेजेंड्रियन 2-श्रेणियों (non-linear Legendrian 2-categories) को उनके श्रेणीकृत समकक्षों (categorified counterparts) में रैखिकीकृत करता है।
यह शोधपत्र शून्य अभिलक्षण (characteristic zero) वाले एक G-ग्रेडेड इंटीग्रल डोमेन की कठोरता (rigidity) और उसके वेर्नोस उप-वलयों (Veronese subrings) के बीच संबंध की जांच करता है, विशेष रूप से इस बात को संबोधित करता है कि क्या गैर-कठोरता (non-rigidity) उप-वलयों द्वारा विरासत में प्राप्त होती है, क्या व्युत्पदों (derivations) का विस्तार किया जा सकता है, और गैर-कठोर वेर्नोस उप-वलयों को उत्पन्न करने वाले उप-समूहों के संरचनात्मक गुण क्या हैं।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एसिम्प्टोटिक टेंसर रैंक (asymptotic tensor rank) बहुपदों के मूल्यांकन के माध्यम से "ऊपर से गणनीय" (computable from above) है, जिससे यह स्थापित होता है कि इसके सबलेवल सेट्स (sublevel sets) ज़ारिस्की-बंद (Zariski-closed) हैं और सभी संभावित एसिम्प्टोटिक रैंक मानों का सेट सुव्यवस्थित (well-ordered) है, जो यह संकेत देता है कि मैट्रिक्स गुणन घातांक (matrix multiplication exponent) जैसे मापदंडों पर ऊपरी सीमाएं केवल उनके करीब पहुँचने के बजाय अंततः स्थिर हो जाएंगी।
यह शोधपत्र एक चिकनी सतह (smooth surface) के भीतर एक निश्चित वक्र (curve) पर समर्थित सुसंगत शीव्स (coherent sheaves) से संबद्ध कोहोमोलॉजिकल हॉल बीजगणित (cohomological Hall algebras) के लिए एक ढांचा स्थापित करता है, जो हीके ऑपरेटरों (Hecke operators) का अध्ययन करने और क्लेनियन सिंगुलैरिटीज़ (Kleinian singularities) से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए एक सामान्यीकृत मॉड्युली स्टैक (moduli stack) का निर्माण करता है और एक फंक्टोरियल बीजगणित (functorial algebra) को परिभाषित करता है जो केवल वक्र के औपचारिक परिवेश (formal neighborhood) पर निर्भर करता है।
यह शोध पत्र K3 सतहों के -ऑर्बिफ़ोल्ड सीमाओं के लिए होलोमोर्फिक सिम्प्लेक्टिक ऑटोमॉर्फिज्म के समूह को निर्धारित करता है और मैथ्यू मूनशाइन के व्यापक संदर्भ के भीतर इन समरूपताओं (symmetries) को ट्रैक करने के लिए लैटिस तकनीकों को अनुकूलित करके इस समूह को मैथ्यू समूहों और में एम्बेड करता है।
यह शोध पत्र नेइव लॉग क्वासीमैप्स (naive log quasimaps) के मॉडुलि स्पेस पर प्रत्यक्ष प्रतिच्छेदन-सैद्धांतिक गणनाओं का उपयोग करके विशिष्ट चिकने प्रोजेक्टिव टॉरिक वेरिएंट्स के लिए जेनस 0, फिक्स्ड-डोमेन लॉग ग्रोमो-विटन इनवेरियंट्स की गणना करता है, जिससे प्रोजेक्टिव बंडल्स के लिए सेला और इरिबार लोपेज़ के एक अनुमान को सिद्ध किया गया है जबकि प्रोजेक्टिव स्पेस के ब्लो-अप्स के लिए दूसरे को गलत सिद्ध किया गया है।