1415 पेपर
यह शोध पत्र नेइव लॉग क्वासीमैप्स (naive log quasimaps) के मॉडुलि स्पेस पर प्रत्यक्ष प्रतिच्छेदन-सैद्धांतिक गणनाओं का उपयोग करके विशिष्ट चिकने प्रोजेक्टिव टॉरिक वेरिएंट्स के लिए जेनस 0, फिक्स्ड-डोमेन लॉग ग्रोमो-विटन इनवेरियंट्स की गणना करता है, जिससे प्रोजेक्टिव बंडल्स के लिए सेला और इरिबार लोपेज़ के एक अनुमान को सिद्ध किया गया है जबकि प्रोजेक्टिव स्पेस के ब्लो-अप्स के लिए दूसरे को गलत सिद्ध किया गया है।
यह शोध पत्र परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर सभी न्यूनतम मान सेट द्विपद (minimal value set binomials) को अभिलक्षित करता है और पृथक चरों वाले सभी -फ़्रोबेनियस गैर-शास्त्रीय चतुपद वक्रों (Frobenius nonclassical quadrinomial curves) की पहचान करने के लिए इस वर्गीकरण का उपयोग करता है।
यह शोधपत्र यह सिद्ध करता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, जनस (genus) वाली वास्तविक बीजगणितीय वक्रों (real algebraic curves) से संबद्ध सभी पृथक अर्धसमूहों (separating semigroups) का समुच्चय परिमित है।
यह शोधपत्र एक्सकर्सन बीजगणित (excursion algebra) के मौलिक गुणों को स्थापित करता है, जिसे एक स्कीम X पर अरिथमेटिक G-लोकल सिस्टम्स के स्टैक पर ग्लोबल फलनों के बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है और जो तब ऑटोमॉर्फिक फलनों पर कार्य करता है जब X एक वक्र (curve) हो।
यह शोधपत्र व्यावहारिक एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो पावर सीरीज़ विस्तार (power series expansions) से जुड़े एक प्रीकंप्यूटेशन चरण का उपयोग करके परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर बीजगणिक वक्रों (algebraic curves) के डिवीज़र क्लास समूहों (divisor class groups) और गोनालिटीज़ (gonalities) की गणना में उल्लेखनीय तेज़ी लाता है, ताकि बड़ी संख्या में रीमैन-रॉक स्थानों (Riemann-Roch spaces) की गणना को कुशलतापूर्वक अमोर्टाइज़ (amortize) किया जा सके।
यह शोधपत्र विलक्षणताओं (singularities) वाले वास्तविक समतलीय बीजगणितीय वक्रों (real plane algebraic curves) के लिए अभिलंबों (normals), द्वि-अभिलंबों (double normals) और वर्ग दूरी फलन (squared distance function) के क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के बीच के संबंध की जांच करता है, जो टोपोलॉजिकल डिस्क्रिमिनेन्ट (topological discriminant) को अभिलक्षणिक बनाता है और ऐसी गणना सूत्र (counting formulas) प्रदान करता है जो इन ज्यामितीय विशेषताओं को दूरी के चरम मानों (distance extrema) से जोड़ते हैं।
यह शोध पत्र 'बैंग डिग्री' (Bang degree) को बहुपद की डिग्री से प्रतिस्थापित करके, टेम फैट कॉम्पैक्ट सेट्स (tame fat compact sets) पर क्वाज़ियानलिटिक डेनजो-कार्लमैन क्लासेज (quasianalytic Denjoy-Carleman classes) के फलनों के लिए एक प्रभावी रेमेज़ असमानता (Remez inequality) स्थापित करता है, जिससे लोजासिएविज़ (Lojasiewicz), हार्नाक (Harnack) और मार्कोव-प्रकार (Markov-type) की लोजासिएविज़, हार्नाक और मार्कोव-प्रकार जैसी स्पष्ट मात्रात्मक परिणामात्मक असमानताओं जैसे स्पष्ट मात्रात्मक परिणाम प्राप्त होते हैं।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि एक चिकनी (smooth) प्रक्षेपिक किस्म (projective variety) से एक सरल अबेलियन किस्म (simple abelian variety) तक का एक मॉर्फिज्म (morphism) चिकना है यदि और केवल यदि वह एक गैर-शून्य (non-vanishing) समग्र 1-रूप (holomorphic 1-form) को वापस खींचता (pull back) है, जबकि साथ ही शून्य वाले 1-रूपों के स्थानों की रैखिक संरचना की भी जांच करता है, रैखिकता के प्रति-उदाहरणों का निर्माण करता है, और उन सतहों का विश्लेषण करता है जहाँ शून्य को कोहोमोलॉजी जंप लोकी (cohomology jump loci) से उत्पन्न नहीं माना जाता है।
यह शोध पत्र क्लस्टर बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके आंशिक ध्वज प्रणालियों (partial flag varieties) में श्यूबर्ट किस्मों (Schubert varieties) के लिए न्यूटन-ओकुनकोवв पॉलीटोप्स (Newton–Okounkov polytopes) का निर्माण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि अनंत-प्रकार के क्लस्टर बीजगणित अनंत संख्या में गैर-तुल्य पॉलीटोप्स उत्पन्न करते हैं और सरल रूप से युक्त (simply laced) आंशिक ध्वज प्रणालियों में अनंत संख्या में विशिष्ट मोनोटोन लैग्रेंजियन टोराई (monotone Lagrangian tori) के निर्माण को सक्षम करते हैं।
यह शोध पत्र एलिप्टिक कर्व्स के उत्पादों में क्वासी-डायगोनल्स (quasi-diagonals) को प्रस्तुत और विश्लेषित करके बोगोमोलोव-ग्वान मैनिफोल्ड्स (Bogomolov-Guan manifolds) में प्रोजेक्टिव सबवेरिटीज (projective subvarieties) को वर्गीकृत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि एक सामान्य ऐसे मैनिफोल्ड के लिए, कोई भी प्रोजेक्टिव सबवेरी लैग्रेंजियन फाइब्रेशन (Lagrangian fibration) के एक फाइबर के भीतर निहित होती है।