1422 पेपर
यह शोध पत्र फ्रोबेनियस-विट डिफरेंशियल्स के मॉड्यूल के एक व्युत्पन्न (derived) और अंकगणितीय (arithmetic) संस्करण के रूप में फ्रोबेनियस-विट कोटेंज कॉम्प्लेक्स (Frobenius–Witt cotangent complex) को प्रस्तुत करता है, जो परफेक्टॉइड रिंग्स से संबंधित गणनाओं के माध्यम से नोथेरियन स्थानीय रिंग्स की नियमितता (regularity) के साथ इसके संबंध को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र उन स्थितियों की जांच करता है जिनके तहत परिमित जैकोबी पेंसिल (finite Jacobi pencils) के स्पेक्ट्रल वक्र अपघटनीय (reducible) होते हैं, विशिष्ट विकर्ण प्रविष्टियों (distinct diagonal entries) के लिए सामान्य अपरिमेयता (generic irreducibility) को सिद्ध करता है, विशिष्ट प्रारंभिक अपघटन तंत्रों (elementary reducibility mechanisms) की पहचान करता है, और एक अनुमान प्रस्तावित करता है कि जैसे-जैसे मैट्रिक्स का आकार बढ़ता है, वास्तविक मौलिक अपरिमेयता (genuine primitive reducibility) तेजी से दुर्लभ (उच्च कोडायमेंशन) होती जाती है।
यह शोध पत्र एक समतुल्य (equivariant) h-बहुपद के माध्यम से पूर्ण सिम्प्लिशियल फैन (complete simplicial fans) के स्टेनली-रीस्नर रिंग्स (Stanley–Reisner rings) के आर्टिनियन रिडक्शन (Artinian reduction) पर परिमित समूहों (finite groups) की क्रिया के लिए एक श्रेणीबद्ध अभिलक्षण सूत्र (graded character formula) स्थापित करता है, और परिमित परावर्तन समूहों (finite reflection groups) तथा उनके संबद्ध टोरिक ऑर्बीफोल्ड कोटिएंट्स (toric orbifold quotients) के अंतर्गत इनवेरिएंट्स (invariants) के पोइनकेरे बहुपदों (Poincaré polynomials) की गणना करने के लिए एक नवीन "हाइब्रिड फैन" निर्माण को लागू करता है।
यह शोध पत्र इंटरसेक्शन होमोलॉजी (intersection homology) के एक उष्णकटिबंधीय एनालॉग (tropical analog) को प्रस्तुत करता है ताकि चिकने जटिल उचित टोरिक वैराइटीज़ (smooth complex proper toric varieties) से उपयुक्त चिकने उचित वैराइटीज़ और डिफायज़र्स (smooth proper varieties and divisors) के युग्मों तक बीजगणितीय चक्रों (algebraic cycles) की संख्यात्मक तुल्यता (numerical equivalence) के ज्यामितीय विवरण का सामान्यीकरण किया जा सके।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक उन्मुख (oriented) मैट्रॉइड के टोपे स्पेस (tope space) के तीन विशिष्ट फिल्ट्रेशन—द्वैत वारचेन्को-गेल्फ़ैंड डिग्री फिल्ट्रेशन (dual Varchenko-Gelfand degree filtration), कैलिनिन का स्पेक्ट्रल सीक्वेंस फिल्ट्रेशन (Kalinin's spectral sequence filtration), और क्विलन का ऑग्मेंटेशन फिल्ट्रेशन (Quillen's augmentation filtration)— पर मेल खाते हैं, और आगे यह स्थापित करता है कि द्वैत वारचेन्को-गेल्फ़ैंड फिल्ट्रेशन को अंतर्निहित मैट्रॉइड के फैन (fan) पर एक -साइन कोशेफ (cosheaf) तक विस्तारित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र गैर-एकैकी (non-unipotent) मोनोड्रोमी वाले जटिल हॉज परिवर्तनों (complex variations of Hodge structures) द्वारा प्रेरित हॉज मॉड्यूल के निम्नतम अंश के कोटिएंट लाइन बंडलों के डिग्री निम्नतम सीमा (degree lower bounds) स्थापित करता है, जो ऐसे मामलों में नेफ़नेस (nefness) की विफलता को प्रदर्शित करता है और ट्विस्टेड हॉज मॉड्यूल के लिए एक वैनिशिंग प्रमेय (vanishing theorem) से जुड़े एक बीजगणितीय प्रमाण के माध्यम से अनिपोटेंट (unipotent) सेटिंग के लिए कावामेटा के अर्ध-धनात्मकता प्रमेय (Kawamata's semi-positivity theorem) को पुनः प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र शार्प पॉइंट्स पर बीजगणितीय D-वैरियटीज़ के कोटेंजेंट स्पेस पर ली डेरिवेटिव्स (Lie derivatives) और रैखिक अवकल समीकरणों (linear differential equations) के बीच के संबंध का अन्वेषण करता है, साथ ही छात्रों के लिए एक्स के प्रमेय (Ax's theorem) का एक सुलभ विवरण भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र के एफाइन फ्लैग वैराइटी (affine flag variety) में प्रत्येक परिमित-आयामी श्यूबर्ट सेल (finite-dimensional Schubert cell) के एक इवाहोरी उपसमूहों (Iwahori subgroups) की श्रृंखला के अंतर्गत कक्षों (orbits) में विखंडन का वर्णन करता है, जिनका को-डायमेंशन (codimension) एक से चार के बीच है।
यह शोध पत्र प्रोजेक्टिवकृत हॉज बंडल (projectivized Hodge bundle) पर डिविज़र्स का उपयोग करते हुए और जेनस टू कर्व्स के मॉड्युली से जुड़े बुनियादी रूपों के संदर्भ में उन्हें व्यक्त करने के लिए इनवेरिएंट थ्योरी को लागू करके, लेवल टू और डिग्री टू के सभी वेक्टर-वैल्यूड सीगल मॉड्यूलर फॉर्म्स (vector-valued Siegel modular forms) का निर्माण करता है।
यह शोधपत्र डायगोनल डायमेंशन (diagonal dimension) को प्रस्तुत करके, स्मूथ मॉर्फिज्म (smooth morphisms) के लिए ऊपरी सीमाएं स्थापित करके, फाइबर उत्पादों (fiber products) के लिए स्ट्रॉन्ग जनरेटर्स (strong generators) को पुनः प्राप्त करके, और यह सिद्ध करके कि हल्के सिंगुलैरिटीज़ (mild singularities) वाले वेरिएटीज़ का डायगोनल डायमेंशन उनके क्रुल डायमेंशन (Krull dimension) के अधिकतम दोगुना होता है, नोएदरियन अलब्राइक स्टैक्स (Noetherian algebraic stacks) पर कोहेरेंट कॉम्प्लेक्स के बाउंडेड डेरिव्ड कैटेगरी (bounded derived category) के रूक्वियर डायमेंशन (Rouquier dimension) की जांच करता है।