1422 पेपर
यह शोध पत्र इंटरसेक्शन होमोलॉजी (intersection homology) के एक उष्णकटिबंधीय एनालॉग (tropical analog) को प्रस्तुत करता है ताकि चिकने जटिल उचित टोरिक वैराइटीज़ (smooth complex proper toric varieties) से उपयुक्त चिकने उचित वैराइटीज़ और डिफायज़र्स (smooth proper varieties and divisors) के युग्मों तक बीजगणितीय चक्रों (algebraic cycles) की संख्यात्मक तुल्यता (numerical equivalence) के ज्यामितीय विवरण का सामान्यीकरण किया जा सके।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक उन्मुख (oriented) मैट्रॉइड के टोपे स्पेस (tope space) के तीन विशिष्ट फिल्ट्रेशन—द्वैत वारचेन्को-गेल्फ़ैंड डिग्री फिल्ट्रेशन (dual Varchenko-Gelfand degree filtration), कैलिनिन का स्पेक्ट्रल सीक्वेंस फिल्ट्रेशन (Kalinin's spectral sequence filtration), और क्विलन का ऑग्मेंटेशन फिल्ट्रेशन (Quillen's augmentation filtration)— पर मेल खाते हैं, और आगे यह स्थापित करता है कि द्वैत वारचेन्को-गेल्फ़ैंड फिल्ट्रेशन को अंतर्निहित मैट्रॉइड के फैन (fan) पर एक -साइन कोशेफ (cosheaf) तक विस्तारित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र गैर-एकैकी (non-unipotent) मोनोड्रोमी वाले जटिल हॉज परिवर्तनों (complex variations of Hodge structures) द्वारा प्रेरित हॉज मॉड्यूल के निम्नतम अंश के कोटिएंट लाइन बंडलों के डिग्री निम्नतम सीमा (degree lower bounds) स्थापित करता है, जो ऐसे मामलों में नेफ़नेस (nefness) की विफलता को प्रदर्शित करता है और ट्विस्टेड हॉज मॉड्यूल के लिए एक वैनिशिंग प्रमेय (vanishing theorem) से जुड़े एक बीजगणितीय प्रमाण के माध्यम से अनिपोटेंट (unipotent) सेटिंग के लिए कावामेटा के अर्ध-धनात्मकता प्रमेय (Kawamata's semi-positivity theorem) को पुनः प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र शार्प पॉइंट्स पर बीजगणितीय D-वैरियटीज़ के कोटेंजेंट स्पेस पर ली डेरिवेटिव्स (Lie derivatives) और रैखिक अवकल समीकरणों (linear differential equations) के बीच के संबंध का अन्वेषण करता है, साथ ही छात्रों के लिए एक्स के प्रमेय (Ax's theorem) का एक सुलभ विवरण भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र के एफाइन फ्लैग वैराइटी (affine flag variety) में प्रत्येक परिमित-आयामी श्यूबर्ट सेल (finite-dimensional Schubert cell) के एक इवाहोरी उपसमूहों (Iwahori subgroups) की श्रृंखला के अंतर्गत कक्षों (orbits) में विखंडन का वर्णन करता है, जिनका को-डायमेंशन (codimension) एक से चार के बीच है।
यह शोध पत्र प्रोजेक्टिवकृत हॉज बंडल (projectivized Hodge bundle) पर डिविज़र्स का उपयोग करते हुए और जेनस टू कर्व्स के मॉड्युली से जुड़े बुनियादी रूपों के संदर्भ में उन्हें व्यक्त करने के लिए इनवेरिएंट थ्योरी को लागू करके, लेवल टू और डिग्री टू के सभी वेक्टर-वैल्यूड सीगल मॉड्यूलर फॉर्म्स (vector-valued Siegel modular forms) का निर्माण करता है।
यह शोधपत्र डायगोनल डायमेंशन (diagonal dimension) को प्रस्तुत करके, स्मूथ मॉर्फिज्म (smooth morphisms) के लिए ऊपरी सीमाएं स्थापित करके, फाइबर उत्पादों (fiber products) के लिए स्ट्रॉन्ग जनरेटर्स (strong generators) को पुनः प्राप्त करके, और यह सिद्ध करके कि हल्के सिंगुलैरिटीज़ (mild singularities) वाले वेरिएटीज़ का डायगोनल डायमेंशन उनके क्रुल डायमेंशन (Krull dimension) के अधिकतम दोगुना होता है, नोएदरियन अलब्राइक स्टैक्स (Noetherian algebraic stacks) पर कोहेरेंट कॉम्प्लेक्स के बाउंडेड डेरिव्ड कैटेगरी (bounded derived category) के रूक्वियर डायमेंशन (Rouquier dimension) की जांच करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि जबकि रणनीतिक व्यवहार (strategic behavior) सरल परिकल्पना वर्गों (hypothesis classes) को भी अनलर्नेबल (unlearnable) बना सकता है, पर प्रथम-क्रम सूत्रों (first-order formulas) पर आधारित एक ज्यामितीय परिभाषितता धारणा (geometric definability assumption) लागू करने से प्रेरित रणनीतिक जटिलता को नियंत्रित रखकर PAC सीखने की क्षमता (PAC learnability) पुनः स्थापित होती है।
यह शोध पत्र मनमाने रिडक्टिव समूहों (reductive groups) पर -मान वाले -हिग्स बंडल्स के लिए इन्फिनिटेसिमल ऑटोमोर्फिज्म्स की गणना करता है ताकि यह सिद्ध किया जा सके कि उनका स्टेबल मॉड्युली स्टैक डेलिगने-मर्मेट (Deligne-Mumford) है और स्मूथ प्रोजेक्टिव सतहों पर एक सिमेट्रिक परफेक्ट ऑब्स्ट्रक्शन थ्योरी का निर्माण किया जा सके, जिससे वेफा-विटन (Vafa-Witten) इनवेरिएंट्स को परिभाषित करने की आधारशिला रखी जा सके।
यह शोध पत्र एक रचनात्मक संवर्धन (constructible enhancement) और यूनिट तथा जेनेरिक (generic) ईडी (ED) डिग्री के बीच के अंतर की गणना करने के लिए एक टोपोलॉजिकल सूत्र प्रदान करके, स्मूथ (smooth) से लेकर अनिश्चित (arbitrary) कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ तक यूक्लिडियन डिस्टेंस डिग्री डिफेक्ट (Euclidean distance degree defect) के पिछले परिणामों का विस्तार करता है, जिससे व्यापक सामान्यता में ईडी डिग्री निर्धारित करने के लिए एक नई विधि प्रस्तुत होती है।