1422 पेपर
यह शोध पत्र शेवेल्ये के प्रमेय का एक संक्षिप्त प्रमाण प्रदान करता है, जो यह बताता है कि प्रत्येक बीजगणितीय समूह (algebraic group) एक रैखिक बीजगणिक समूह द्वारा एक एबेलियन किस्म (Abelian variety) का विस्तार है, साथ ही यह बर्टिनी के अपरिवर्तनीयता प्रमेय (Bertini's irreducibility theorem) को भी संबोधित करता है।
यह शोध पत्र चक्रीय (cyclic) हिग्स बंडलों को क्विवर बंडलों के रूप में रूपरेखाबद्ध करके उनके लिए एक स्पेक्ट्रल पत्राचार स्थापित करता है, जिससे एक वक्र पर इन बंडलों और चक्रीय क्विवर के पाथ अलजेब्रा से व्युत्पन्न एक गैर-क्रमविनिमेय (noncommutative) सतह पर शीव्स (sheaves) के बीच एक एक-से-एक संबंध निर्मित होता है, जो -हिग्स बंडलों के मौजूदा परिणामों का सामान्यीकरण करता है और -हिग्स बंडलों को सम क्लिफ़ोर्ड (even Clifford) अलजेब्रा के मॉड्यूल से जोड़ता है।
यह शोधपत्र एक अपेक्षाकृत स्पिन (relatively spin) एम्बेडेड लैग्रेंजियन से जुड़े एक अद्वितीय, होमोटोपी तक (up to homotopy), ओपन-क्लोज्ड डेलिग्ने-ममफोर्ड फील्ड थ्योरी का निर्माण करता है, जो फुकया बीजगणित को उच्च गेनस (higher genus) और कई सीमा घटकों (multiple boundary components) तक विस्तारित करता है, जो कोंत्सेविच के उस अनुमान को सिद्ध करने की दिशा में एक मौलिक कदम है कि फुकया श्रेणी ग्रोमोव-विटनन इनवेरिएंट्स को निर्धारित करती है।
यह शोध पत्र विश्लेषणात्मक ट्विस्टिंग मापदंडों को परिभाषित करके, बीजगणितीय ट्विस्टिंग पर चर्चा करके, गणनाएँ प्रदान करके, सह-घटित मापदंडों के लिए समरूपता स्थापित करके, और बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के ट्विस्टिंग के लिए आवश्यक बाधाओं की पहचान करके, बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक किस्मों पर ट्विस्टेड कोहोमोलॉजी की समीक्षा और तुलना करता है।
यह शोधपत्र बीजगणितीय टॉरी (algebraic tori) और अर्ध-बीजगणितीय योजनाओं (semiabelian schemes) के टॉरॉइडल कॉम्पैक्टिफिकेशन (toroidal compactifications) के लिए एक इक्विवेरिएंट ऑर्फोल्ड बिरेशनल वर्गीकरण (equivariant orbifold birational classification) स्थापित करता है, जो इस समस्या को लॉगरिदमिक ज्योमेट्री (logarithmic geometry) में न्यूनतम ऑर्फोल्ड टॉरॉइडल कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए एक कॉम्बिनेटोरियल खोज में बदलकर करता है, जिससे श्मिट (Schmitt) के हालिया परिणामों का सामान्यीकरण और ज्यामितीय स्पष्टीकरण प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र आवर्ती समतलीय द्विपक्षीय ग्राफों (periodic planar bipartite graphs) से संबद्ध 'एस्ट्रोइडल ज़िग-ज़ैग' (astroidal zig-zag) नामक परिमित उपग्राफों के एक नए परिवार को प्रस्तुत करता है, जिनके लिए लेखक दोहरे कंटूर इंटीग्रल्स (double contour integrals) के माध्यम से स्पष्ट व्युत्क्रम कास्टेलिन मैट्रिसेस (inverse Kasteleyn matrices) प्राप्त करते हैं और इनका उपयोग चरण पृथक्करण (phase separation) स्थापित करने, सीमा आकृतियों (limit shapes) की गणना करने और अनिश्चित न्यूटन बहुभुजों (arbitrary Newton polygons) वाले डिमर मॉडलों के लिए स्थानीय सहसंबंध अभिसरण (local correlation convergence) को सिद्ध करने के लिए करते हैं।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि विशिष्ट टेलर वैरायटीज़ (Taylor varieties), जो और मापदंडों द्वारा परिभाषित हैं, समान रूप से शून्य हेसियन (identically null Hessian) वाले गैर-दोषपूर्ण हाइपरसरफेस (non-defective hypersurfaces) के नए उदाहरण प्रदान करती हैं।
यह शोध पत्र अर्ध-कैनोनिकल (quasi-canonical) अंकगणितीय मौलिक लेम्मा (arithmetic fundamental lemma) से जुड़े एक ग्राफ संस्करण को सिद्ध करके और विशिष्ट मामलों में इन परिणामों को सत्यापित करने के लिए रापोपोर्ट-ज़िंक टॉवर (Rapoport-Zink tower) के एक पूर्णांक मॉडल की संरचना को स्पष्ट करके पैराहोरिक स्तरों (parahoric levels) पर अंकगणितीय स्थानांतरण अनुमानों (arithmetic transfer conjectures) के विभिन्न रूपों को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र ध्रुवीकृत जटिल प्रक्षेपिक मैनिफोल्ड्स के परिवारों के लिए वेस-ज़ुमिनो-विटन समीकरण के सन्निकट समाधानों के अस्तित्व हेतु बीजगणितीय बाधाओं की पहचान करता है, याप्टिमल सन्निकटन प्रदान करने के लिए हार्डर-नारासिम्हन फिल्ट्रेशन का उपयोग करते हुए एक सामान्यीकृत मोंगे-एम्पीयर समीकरण प्रस्तुत करता है जो यांग-मिल्स फलन को न्यूनतम करता है, और इन परिणामों को एंड्रियाटी-ग्राउर्ट प्रमेय के एक स्पर्शोन्मुख विलोम को सिद्ध करने के लिए लागू करता है।
यह शोध पत्र मिश्रित फैम-ब्रीज़कोर्न सिंगुलैरिटीज़ (Pham-Brieskorn singularities) के भीतर टोपोलॉजिकल और बी-लिप्सचिट्ज़ (bi-Lipschitz) तुल्यताओं के लिए स्थितियाँ स्थापित करता है, जो विशिष्ट बी-लिप्सचिट्ज़ प्रकारों वाली टोपोलॉजिकली ट्रिवियल परिवारों के अस्तित्व को प्रदर्शित करता है और दो जटिल चरों में संबद्ध मिश्रित सतहों के लिए विशिष्ट ज्यामितीय अपरिवर्तों (geometric invariants) को व्युत्पन्न करता है।