1422 पेपर
यह शोध पत्र में उपसमुच्चयों के एक विशिष्ट वर्ग की पहचान करके न्यूनतम सिलिंड्रिकल अलब्रािक डिकम्पोज़िशन (Cylindrical Algebraic Decompositions) के लिए प्रथम सकारात्मक अस्तित्व प्रमेय स्थापित करता है, जिसमें ऐसे सभी अलब्रािक सेट शामिल हैं जो ऐसे डिकम्पोज़िशन को स्वीकार करते हैं, जिससे पिछले परिणाम विस्तारित होते हैं जो केवल आयाम एक और दो तक सीमित थे।
यह शोध पत्र डैवेनपोर्ट-हासे लिफ्टिंग प्रमेय (Davenport-Hasse lifting theorem) को थैन के ढांचे (Thaine's framework) के भीतर अभाज्य घातों के गुणनफलों तक विस्तारित करता है ताकि बीजगणितीय किस्मों (algebraic varieties) पर गुणात्मक -िक रूपों (multiplicative -ic forms) का निर्माण किया जा सके जो पिस्टर के द्विघात रूपों (Pfister's theory of quadratic forms) के सिद्धांत का सामान्यीकरण करते हैं और संगत बीजगणितीय टॉरस संरचनाओं (compatible algebraic torus structures) को प्रदर्शित करते हैं।
यह शोध पत्र वेक्टर बंडलों के लिए एक स्थानीय-से-वैश्विक सिद्धांत (local-to-global principle) स्थापित करने हेतु बीजगणितीय स्टैक्स (algebraic stacks) के यूनिपोटेंट मोर्फिज्म (unipotent morphisms) के सिद्धांत को प्रस्तुत करता है, जिसे फिर गैबर के प्रमेय (Gabber's Theorem) के एक यूनिपोटेंट अनुरूप को सिद्ध करने और यह प्रदर्शित करने के लिए लागू किया जाता है कि धनात्मक विशेषता (positive characteristic) में अर्ध-प्रोजेक्टिव कोर्स स्पेस (quasi-projective coarse spaces) वाले स्मूथ डेलिग्न-मर्मोट स्टैक्स (smooth Deligne-Mumford stacks) रेजोल्यूशन प्रॉपर्टी (resolution property) को संतुष्ट करते हैं।
यह शोध पत्र -लेग वाले श्टुका (shtukas) के स्टैक्स के साथ बीजगणितीय सहसंबंधों (algebraic correspondences) के माध्यम से फलन क्षेत्रों (function fields) पर दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) के लिए -मॉड्यूलरिटी की अवधारणा प्रस्तुत करता है और K3 सतह सिद्धांत तथा कुमर सतह रूपांतरणों (Kummer surface morphisms) के एक नए निरूपण का उपयोग करते हुए पर कंडक्टर डिग्री 4 वाले गैर-आइसोट्रिवियल (nonisotrivial) दीर्घवृत्तीय वक्रों को 2-मॉड्यूलर सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र -डिग्री की स्थिरता को सिद्ध करने और स्पेस कर्व्स (space curves) के बीजगणितीय आइसोटोपी (algebraic isotopies) के लिए विरो के एनकॉम्प्लेक्स्ड राइट (Viro's encomplexed writhe) के एक अंकगणितीय अनुरूप को एक इनवेरिएंट के रूप में परिभाषित करने के लिए उलरिच शीव्स (Ulrich sheaves) और -होमोटॉपी थ्योरी के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जिसका समापन में डिग्री चार तक की परिमेय वक्रों (rational curves) के पूर्ण वर्गीकरण के साथ होता है।
परिमित प्रकार के -स्कीम्स के लिए ज़ेटा फलनों (zeta functions) के विशेष मानों के अध्ययन से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र एक गुणात्मक यूलर विशेषता (multiplicative Euler characteristic) को परिभाषित करने के लिए 'अरिथमेटिक -मॉड्यूल्स' की एक श्रेणी प्रस्तुत करता है, जो टेट्स की अर्ध-सरलता अनुमान (Tate's semi-simplicity conjecture) को माने बिना K-थ्योरी के माध्यम से एटेले (étale) और सिनटोमिक (syntic) कोहोमोलॉजी का उत्थान करता है, जिससे मिलन (Milne) के ज़ेटा मानों के लिए कोहोमोलॉजिकल सूत्र को बिना 'रेज़ोल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़' (resolution of singularities) की आवश्यकता के सामान्य स्कीम्स तक विस्तारित किया जा सके।
यह शोध पत्र कॉम्प्लेक्स प्लेन में हिल्बर्ट स्कीम ऑफ पॉइंट्स पर टॉटोलॉजिकल बंडल के एडम्स पावर्स द्वारा प्रेरित सिमेट्रिक फंक्शन्स के एंडोमोर्फिज्म के संबंध में बोसिएर (Boissière) के एक अनुमान (conjecture) को सिद्ध करता है और मैकके कॉरेस्पोंडेंस (McKay correspondence) के तहत के-थियोरेटिक टेंसर प्रोडक्ट मल्टीप्लिकेशन के लिए स्ट्रक्चर कांस्टेंट्स का वर्णन करता है।
यह शोध पत्र वैकल्पिक बहुपद प्रणालियों (polynomial systems) को प्रस्तुत करता है जो मास एक्शन नेटवर्क के धनात्मक साम्यावस्थाओं (positive equilibria) के साथ एक-से-एक पत्राचार (one-to-one correspondence) में हैं ताकि उनके ज्यामितीय और बीजगणितीय गुणों, जिनमें टोर्सिटी (toricity), साम्यावस्था गणना, मल्टीस्टेशनैरिटी क्षेत्र और द्विभाजन (bifurcations) शामिल हैं, का विश्लेषण सरल बनाया जा सके, जिसमें द्विघाती नेटवर्क (quadratic networks) के लिए विशिष्ट सुदृढ़ परिणाम प्राप्त किए गए हैं।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एक परिमित समूह के गैर-संयुग्मी (non-conjugate) उपसमूहों को एक विस्तार (extension) द्वारा अलग किया जा सकता है जहाँ उनके पूर्व-प्रतिरूप (pre-images) गैर-समरूप (non-isomorphic) होते हैं, जिससे यह प्रदर्शित होता है कि -कोसेट समतुल्य उपसमूह आवश्यक रूप से समरूप नहीं होते हैं और दीपेंद्र प्रसाद द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का समाधान होता है।
यह शोध पत्र पर यूनिवर्सल कॉम्पैक्टिफाइड जैकोबियन के रिलेटिव गुड मॉडुलि स्पेस के लिए एक फुल सपोर्ट प्रमेय स्थापित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि इसके BBDG डिकंपोज़िशन के सभी डायरेक्ट समैंड्स का सपोर्ट पूर्ण है और मौलिक-शेन के एनगो के प्रमेय के सामान्यीकरण तथा स्टेबिलिटी कंडीशंस के वेरिएशन से जुड़े दो अलग-अलग प्रमाणों के माध्यम से इस डिकंपोज़िशन का स्पष्ट रूप से वर्णन करता है।