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Special Values without Semi-Simplicity Via K-Theory

परिमित प्रकार के $\mathbb{F}_p$ -स्कीम्स के लिए ज़ेटा फलनों (zeta functions) के विशेष मानों के अध्ययन से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र एक गुणात्मक यूलर विशेषता (multiplicative Euler characteristic) को परिभाषित करने के लिए 'अरिथमेटिक $C(S^1, R)$ -मॉड्यूल्स' की एक श्रेणी प्रस्तुत करता है, जो टेट्स की अर्ध-सरलता अनुमान (Tate's semi-simplicity conjecture) को माने बिना K-थ्योरी के माध्यम से एटेले (étale) और सिनटोमिक (syntic) कोहोमोलॉजी का उत्थान करता है, जिससे मिलन (Milne) के ज़ेटा मानों के लिए कोहोमोलॉजिकल सूत्र को बिना 'रेज़ोल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़' (resolution of singularities) की आवश्यकता के सामान्य स्कीम्स तक विस्तारित किया जा सके।

मूल लेखक: Logan Hyslop

प्रकाशित 2026-05-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Logan Hyslop

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ लोगान हायस्लोप (Logan Hyslop) के शोध पत्र का एक सरल भाषा में अनुवाद दिया गया है, जिसमें उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है।

मुख्य विचार: आकृतियों की "आत्मा" को गिनना

कल्प Imagine कीजिए कि आपके पास मिट्टी से बनी एक ज्यामितीय आकृति (जिसे गणितीय भाषा में "स्कीम" कहा जाता है) है, जो एक विशिष्ट संख्या प्रणाली (एक परिमित क्षेत्र या finite field) की दुनिया में स्थित है। गणितज्ञों के पास इस आकृति के लिए एक विशेष उपकरण होता है जिसे Zeta function कहते हैं, जो इस आकृति के "फिंगरप्रिंट" की तरह काम करता है। यह फलन (function) इस आकृति की संरचना के गहरे रहस्य बताता है, लेकिन अक्सर इसमें एक "पोल" (pole) होता है—एक ऐसा बिंदु जहाँ यह फलन अनंत (infinity) की ओर बढ़कर फट जाता है।

इस शोध पत्र का लक्ष्य यह पता लगाना है कि यह ठीक कैसे फटता है और फटने से ठीक पहले वह संख्या क्या होती है। इस संख्या को "विशेष मान" (special value) कहा जाता है।

दशकों तक, इस संख्या की गणना करने के लिए, गणितज्ञों को एक बहुत बड़े, बिना प्रमाणित अनुमान पर निर्भर रहना पड़ता था जिसे Tate's Semi-Simplicity Conjecture कहा जाता है। इस अनुमान को एक जटिल मशीन के रूप में सोचें जो सरल, स्वतंत्र गियरों से बनी है जो आपस में अटके नहीं हैं। यदि गियर आपस में फंस जाते (non-semi-simple), तो पुराने गणितीय सूत्र टूट जाते।

हायस्लोप की सफलता: उन्होंने एक नया गणितीय "टूलबॉक्स" (एक श्रेणी जिसे Arith $S^1(R)$ कहा जाता है) बनाया है जो हमें इन विशेष मानों की गणना करने की अनुमति देता है, बिना यह माने कि गयर्स सरल हैं। वे सिद्ध करते हैं कि पुराने सूत्र तब भी काम करते हैं जब गियर आपस में फंसे हुए, उलझे हुए और जटिल हों।

समस्या: "टूटा हुआ" कैलकुलेटर

अतीत में, इन आकृतियों के "आकार" को मापने के लिए, गणितज्ञों ने K-theory नामक विधि का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि K-theory एक परिष्कृत तराजू है।

पुराना तरीका: तराजू का उपयोग करने के लिए, आपको यह मानना पड़ता था कि जिस वस्तु को आप तौल रहे हैं वह पूरी तरह से संतुलित (semi-simple) है। यदि वस्तु असंतुलित थी (जो वास्तविक जीवन में अक्सर होता है), तो तराजू "Math Error" दिखाता था या आपको यह मानने के लिए मजबूर करता था कि असंतुलन मौजूद ही नहीं है।
परिणाम: मिल्ने (Milne) जैसे गणितज्ञों के प्रसिद्ध सिद्धांत केवल तभी सिद्ध किए जा सकते थे जब आप यह मान लें कि यह "पूर्ण संतुलन" मौजूद है। यदि ऐसा नहीं होता, तो प्रमाण अधूरा रह जाता।

समाधान: एक नए प्रकार का तराजू

हायस्लोप Arith $S^1(R)$ -modules नामक वस्तुओं की एक नई श्रेणी पेश करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप कंचों (marbles) के एक थैले को तौलने की कोशिश कर रहे हैं। पुराना तराजू केवल तभी काम करता था जब सभी कंचे एक ही आकार के हों और वे आपस में चिपके न हों।
नया उपकरण: हायस्लोप एक नया तराजू बनाते हैं जो अलग-अलग आकार के कंचों को संभाल सकता है, भले ही वे गुच्छों (torsion) के रूप में चिपके हों या अजीब, गैर-दोहराव वाले पैटर्न में व्यवस्थित हों।
यह कैसे काम करता है: यह नया तराजू multiplicative Euler characteristic की अवधारणा का उपयोग करता है। केवल कंचों को गिनने के बजाय, यह एक विशिष्ट तरीके से उनके आकार को आपस में गुणा करता है। हायस्लोप सिद्ध करते हैं कि यह नया तराजू उन "अव्यवस्थित" मामलों को संभालने के लिए पर्याप्त मजबूत है जहाँ पुराना वाला विफल हो गया था।

दो मुख्य परिदृश्य

यह शोध पत्र दो अलग-अलग प्रकार के गणितीय "मौसम" पर प्रहार करता है:

1. "आसान" मौसम ( $\ell \neq p$ ):

स्थिति: यह एक ऐसी सतह पर रूलर (पैमाने) से मापने जैसा है जो चिकनी सतहों पर पूरी तरह काम करता है।
परिणाम: हायस्लोप दिखाते हैं कि इन मामलों के लिए, आप मानक मापों को अपने नए "Arith $S^1$ " टूलबॉक्स में ले जा सकते हैं। एक बार इसके अंदर जाने के बाद, गणना स्वतः ही काम करती है, जिससे "पूर्ण संतुलन" की धारणा की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। यह ऐसा है जैसे यह महसूस करना कि आप एक ऊबड़-खाबड़ चट्टान को लेजर स्कैनर से माप सकते हैं, भले ही आपको यह न पता हो कि वह कितनी ऊबड़-खाबड़ है।

2. "कठिन" मौसम ( $\ell = p$ ):

स्थिति: यह एक धुंध भरे, चिपचिपे दलदल में किसी आकृति को मापने की कोशिश करने जैसा है। मानक उपकरण (जैसे étale cohomology) यहाँ काम नहीं करते।
नवाचार: हायस्लोप एक अलग उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे Prismatic F-gauges कहा जाता है। इसे एक रूलर से बदलकर एक विशेष "दलदल-जाल" (swamp-net) में बदलने के रूप में सोचें, जिसे इस चिपचिपे वातावरण में मौजूद विशिष्ट कणों को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
परिणाम: वह सिद्ध करते हैं कि इस "अव्यवस्थित दलदल" में भी, उनका नया तराजू काम करता है। वह इन "दलदल-जाल" मापों को Zeta function के विशेष मानों से जोड़ते हैं, और यहाँ भी, उन्हें "पूर्ण संतुलन" की धारणा की आवश्यकता नहीं होती।

"खुरदरे किनारों" को संभालना (Singularities)

अब तक, हमने चिकनी, पूर्ण आकृतियों के बारे में बात की है। लेकिन क्या होगा यदि आकृति में छेद, दरारें या नुकीले कोने (singularities) हों?

पुरानी समस्या: एक फटी हुई आकृति को मापने के लिए, गणितज्ञों को आमतौर पर पहले उसे पूरी तरह से "ठीक" (patch up) करना पड़ता था (Resolution of Singularities)। यदि वे इसे पूरी तरह से ठीक नहीं कर पाते थे, तो वे इसे माप नहीं सकते थे।
हायस्लोप की तरकीब: वह cdh topology नामक तकनीक का उपयोग करते हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक टूटे हुए फूलदान को मापना चाहते हैं। उसे पूरी तरह से जोड़ने (जो असंभव हो सकता है) के बजाय, आप पूरे फूलदान की एक फोटो लेते हैं, फिर टूटे हुए टुकड़ों की एक फोटो लेते हैं, और फिर एक कंप्यूटर एल्गोरिदम का उपयोग करके यह पता लगाते हैं कि टुकड़े एक-दूसरे में कैसे फिट होते हैं और कुल आयतन (volume) क्या है।
- परिणाम: हायस्लोप दिखाते हैं कि भले ही आप आकृति को पूरी तरह से "ठीक" न कर सकें, फिर भी आप "ठीक किए गए" संस्करण और "टूटे हुए" संस्करण को अलग-अलग देखकर और परिणामों को जोड़कर विशेष मान की गणना कर सकते हैं। वह सिद्ध करते हैं कि यह लगभग हर आकृति के लिए काम करता है, बशर्ते उसे एक बड़े, चिकने बॉक्स (compactification) के भीतर रखा जा सके।

"जादुई" सूत्र

यह शोध पत्र इस सूत्र के साथ समाप्त होता है:
$\text{Special Value} \approx (\text{New Scale Reading}) \times (\text{Correction Factor})$

New Scale Reading: यह हायस्लोप के नए K-theory टूलबॉक्स से प्राप्त परिणाम है। यह गणित के अव्यवस्थित और गैर-सरल हिस्सों को संभालता है।
Correction Factor: यह एक ज्ञात संख्या है जो आकृति की आंतरिक संरचना के "आकार" (यह देखते हुए कि उसमें कितने छेद हैं) को ध्यान में रखती है।

निष्कर्ष:
हायस्लोप ने सिद्ध किया है कि इन विशेष मानों के लिए प्रसिद्ध सूत्र सार्वभौमिक रूप से सत्य हैं। आपको यह मानने की आवश्यकता नहीं है कि गणितीय गियर सरल और पूर्ण हैं। चाहे गियर फंसे हों, आकृति फटी हो, या वातावरण दलदली हो, सूत्र कायम रहता है। उन्होंने यह सब एक नया, अधिक लचीला गणितीय "तराजू" बनाकर किया है जो किसी भी चीज़ को तौल सकता है, चाहे वह कितनी भी अव्यवस्थित क्यों न हो।

गैर-गणितज्ञों के लिए सारांश

लक्ष्य: परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित एक विशिष्ट संख्या की गणना करना।
पुरानी बाधा: इसके लिए यह मानना आवश्यक था कि आकृतियाँ "सरल" (semi-simple) हैं।
नई विधि: एक नया गणितीय श्रेणी (Arith $S^1$ ) बनाया जो एक सार्वभौमिक तराजू की तरह कार्य करता है।
परिणाम: सिद्ध किया कि सूत्र सभी आकृतियों के लिए काम करते हैं, यहाँ तक कि अव्यवस्थित आकृतियों के लिए भी, बिना उस पुराने अनुमान के। इसने संख्या सिद्धांत (number theory) और बीजगणिक ज्यामिति (algebraic geometry) में एक बड़ी बाधा को दूर कर दिया है।

तकनीकी सारांश: K-थ्योरी के माध्यम से अर्ध-सरलता (Semi-Simplicity) के बिना विशेष मान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक परिमित क्षेत्र $\mathbb{F}_p$ पर परिमित प्रकार (finite type) के स्कीम्स $X$ से जुड़े वेइल ज़ेटा फलनों (Weil zeta functions) $\zeta(X, s)$ के गणना संबंधी कार्यों को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यह पूर्णांक बिंदुओं $s=n$ पर इन ज़ेटा फलनों के अग्रणी गुणांकों (leading coefficients) के लिए कोहोमोलॉजिकल सूत्र स्थापित करने का प्रयास करता है। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे सूत्र, जैसे कि मिल्ने [Mil86] और गेसर [Gei05] द्वारा दिए गए, टेट की अर्ध-सरलता अनुमान (Tate's semi-simplicity conjecture) पर अत्यधिक निर्भर थे। यह अनुमान प्रस्तावित करता है कि फ्रोबेनिअस ऑपरेटर (Frobenius operator) $X$ के $\ell$ -एडिक (या क्रिस्टलाइन) कोहोमोलॉजी पर अर्ध-सरल (semi-simply) रूप से कार्य करता है। इस अनुमान की सामान्य रूप में (विशेष रूप से गैर-चिक (non-smooth) या गैर-प्रॉपर (non-proper) स्कीम्स के लिए) प्रमाण की अनुपलब्धता ने इन विशेष मान सूत्रों की बिना शर्त वैधता को सीमित कर दिया है। केंद्रीय समस्या एक ऐसा "गुणनात्मक यूलर विशेषता" (multiplicative Euler characteristic) का बोध परिभाषित करना है जो गैर-अर्ध-सरल (non-semi-simple) होने पर भी सुव्यवस्थित और गणनीय बना रहे, जिससे इन प्रमेयों से अर्ध-सरलता की परिकल्पना को हटाया जा सके।

कार्यप्रणाली
लेखक गैर-अर्ध-सरल निरूपणों (representations) और कोहोमोलॉजी सिद्धांतों को संभालने के लिए एक नया श्रेणीगत ढांचा (categorical framework) प्रस्तुत करते हैं।

अरिथमेटिक $C(S^1, R)$ -मॉड्यूल: किसी भी डेकेंड रिंग (Dedekind ring) $R$ के लिए, यह शोध पत्र "अरिथमेटिक $C(S^1, R)$ -मॉड्यूल" की एक श्रेणी $\text{Arith}_{S^1}(R)$ को परिभाषित करता है। यह श्रेणी $E\infty$ -रिंग $C(S^1, R)$ (गुणांक $R$ के साथ निरंतर फलन $C(S^1, R)$ ) के मॉड्यूल्स का सबसे छोटा पूर्ण सघन स्थिर उपश्रेणी (full thick stable subcategory) है, जिसमें परफेक्ट कॉम्प्लेक्स और वे मॉड्यूल्स शामिल हैं जिनका अंतर्निहित $R$ -मॉड्यूल परफेक्ट और टोरशन (torsion) है। यह निर्माण फ्रोबेनिअस के क्रिया (वृत्त के $\mathbb{Z}$ -क्रिया के रूप में देखे जाने पर) और इसकी अर्ध-सरलता की विफलता को "जॉर्डन ब्लॉक" (Jordan block) संरचनाओं (मॉड्यूल्स $N_m$ द्वारा मॉडल किए गए) के माध्यम से पकड़ता है।
K-थ्योरी और गुणत्मक यूलर विशेषता: लेखक इस श्रेणी के 0-वें बीजगणितीय K-समूह, $K_0(\text{Arith}_{S^1}(R))$ की गणना करते हैं। एक प्रमुख परिणाम यह है कि यह समूह टोरशन मॉड्यूल्स के K-समूह और यूनिट द्वारा जनरेट किए गए एक मुक्त अबेलियन समूह में सीधे योग (direct sum) में विभाजित होता है। यह विभाजन एक सामान्यीकृत गुणत्मक यूलर विशेषता $\chi(-, e)$ को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जहाँ $e$ वृत्त के जनरेटर (जो फ्रोबेनिअस क्रिया के अनुरूप है) की क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। यह परिभाषा कोहोमोलॉजी समूहों पर स्पष्ट रैखिक बीजगणित के बजाय K-थ्योरी पर निर्भर करती है, जो इसे गैर-अर्ध-सरलता के प्रति सुदृढ़ बनाती है।
फंक्टोरियल लिफ्ट्स (Functorial Lifts): लेखक इस नई श्रेणी में मानक कोहोमोलॉजी सिद्धांतों के कैनोनिकल लिफ्ट्स का निर्माण करते हैं:
- $\ell \neq p$ के लिए, एक बिंदु के परफेक्ट शेव्स (perfect sheaves) के $\ell$ -एडिक एटाले (étale) कोहोमोलॉजी का $\text{Arjith}_{S^1}(\mathbb{Z}_\ell)$ में लिफ्ट किया जाता है।
- $\ell = p$ के लिए, परफेक्ट प्रिजमैटिक $F$ -गेजेस (prismatic $F$ -gauges) के सिंटॉमिक (syntomic) कोहोमोलॉजी का $\text{Arith}_{S^1}(\mathbb{Z}_p)$ में लिफ्ट किया जाता है।
विलक्षणताओं (Singularities) और कॉम्पैक्ट सपोर्ट को संभालना: परिमित प्रकार के स्कीम्स (जो विलक्षण या गैर-प्रॉपर हो सकते हैं) तक परिणामों का विस्तार करने के लिए, यह शोध पत्र $cdh$ टोपोलॉजी (सुसलीन और वोयवोड्स्की द्वारा प्रस्तुत) का उपयोग करता है। यह टोपोलॉजी "अब्स्ट्रैक्ट ब्लोअप एक्सिशन" (abstract blowup excision) को लागू करती है, जिससे कॉम्पैक्टिफिकेशन के फाइबर सीक्वेंस के माध्यम से कॉम्पैक्टली सपोर्टेड कोहोमोलॉजी को परिभाषित करना संभव होता है। लेखक मोटिविक होमोटॉपी थ्योरी के हालिया परिणामों (विशेष रूप से अननाला, होयोस, इवासा और अननाला-पस्ट्रैगोव्स्की द्वारा $A^1$ -कोलोकलाइजेशन) का उपयोग करके $cdh$-शेव्स का निर्माण करते हैं जो चिक (smooth) प्रोजेक्टिव स्कीम्स पर Hodge कोहोमोलॉजी के साथ सहमत होते हैं, लेकिन विलक्षण स्कीम्स के लिए भी सुव्यवस्थित होते हैं (बिना 'रिजॉल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़' की धारणा के)।

प्रमुख योगदान और परिणाम

चिक प्रॉपर स्कीम्स के लिए बिना शर्त सूत्र: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि किसी भी चिक प्रॉपर $\mathbb{F}_p$ -स्कीम $X$ और पूर्णांक $n$ के लिए, विशेष मान सूत्र टेट की अर्ध-सरलता अनुमान की धारणा के बिना मान्य है।
- प्रमेय 1.7: $s \to n$ होने पर $\zeta(X, s) \sim \pm \chi(X, \hat{\mathbb{Z}}(n), e) p^{\chi(X, \mathcal{O}_X, n)} (1 - p^{n-s})^{-\rho_n}$ । यहाँ $\chi(X, \hat{\mathbb{Z}}(n), e)$ $\text{Arith}_{S^1}$ की K-थ्योरी के माध्यम से परिभाषित सामान्यीकृत गुणत्मक यूलर विशेषता है।
- यह बिना शर्त मिल्ने के प्रमेय [Mil86] को पुनः प्राप्त करता है। इसका प्रमाण कोहोमोलॉजी समूहों के बजाय K-थ्योरी क्लास पर रैखिक बीजगणित के तर्कों का उपयोग करता है, जिससे अर्ध-सरलता की आवश्यकता को दरकिनार किया जाता है।
परिमित प्रकार के स्कीम्स के लिए विस्तार ( $\ell \neq p$ ): स्वैच्छिक परिमित प्रकार के स्कीम्स के लिए, यह पेपर कॉम्पैक्टली सपोर्टेड एटाले कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हुए एक सूत्र स्थापित करता है।
- प्रमेय 1.11: $|C(X, n)|^{-1}_\ell = \chi(R\Gamma(X, \mathbb{Z}_\ell(n))_c, e)$ । यह परिणाम बिना किसी शर्त के मान्य है, जो गेसर [Gei05] के कार्य में $\ell$ -एडिक मामले के लिए आवश्यक अर्ध-सरलता की धारणा को हटा देता है।
परिमित प्रकार के स्कीम्स के लिए विस्तार ( $\ell = p$ ): $p$ -एडिक मामला एक अच्छी तरह से व्यवहार करने वाले इंटीग्रल कॉम्पैक्टली सपोर्टेड थ्योरी की कमी के कारण अधिक जटिल है।
- प्रमेय 1.13: इस धारणा के तहत कि स्कीम एक ऐसे कॉम्पैक्टिफिकेशन को स्वीकार करती है जहाँ घटक और पूरक एक विशिष्ट उपश्रेणी $\mathcal{G}$ (शेफिफिकेशन मैप्स की समानता द्वारा परिभाषित) में स्थित हैं, एक विशेष मान सूत्र सिद्ध किया गया है।
- प्रमेय 1.15: एक $cdh $-शेफ$ (\Omega^j)^\dagger $को परिभाषित करने के लिए$ A^1$-कोलोकलाइजेशन का उपयोग करते हुए, जो चिक प्रोजेक्टिव स्कीम्स पर Hodge कोहोमोलॉजी के साथ सहमत होता है, यह पेपर किसी भी परिमित प्रकार के स्कीम $U$ के लिए एक सूत्र सिद्ध करता है जो एक चिक प्रोजेक्टिव कॉम्पैक्टिफिकेशन रखता है जिसका पूरक भी चिक प्रोजेक्टिव है। इसके लिए रिजॉल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़ या टेट की अर्ध-सरलता की कोई धारणा आवश्यक नहीं है।

महत्व
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह चिक प्रॉपर $\mathbb{F}_p$ -स्कीम्स के लिए ज़ेटा फलनों के विशेष मानों से संबंधित प्रमेयों से टेट की अर्ध-सरलता अनुमान की परिकल्पना को हटा देता है, जो पहले इस अप्रामाणिक अनुमान पर निर्भर था। $\text{Arith}_{S^1}(R)$ श्रेणी और K-थ्योरिटिक विधियों को पेश करके, लेखक एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जहाँ "गुणत्मक यूलर विशेषता" गैर-अर्ध-सरल फ्रोबेनिअस क्रियाओं (जॉर्डन ब्लॉक्स) की उपस्थिति में भी सुव्यवस्थित है।

इसके अतिरिक्त, यह कार्य परिमित प्रकार के स्कीम्स तक इन सूत्रों का विस्तार करता है। जबकि पिछले परिणाम (जैसे गेसर [Gei05]) के लिए रिजॉल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़ और अर्ध-सरलता की मजबूत आवश्यकता थी, यह पेपर प्रदर्शित करता है कि मोटिविक होमोटॉपी थ्योरी की हालिया प्रगति रिजॉल्यूशन ऑफ सिंगुलैरिटीज़ की धारणा के बिना एक विस्तृत वर्ग के परिमित प्रकार के स्कीम्स के लिए इन सूत्रों को सिद्ध करने की अनुमति देती है। लेखक नोट करते हैं कि परिणाम $\text{Spec}(\mathbb{F}_p)$ पर "मोटिव्स" (motives) पर लागू होते हैं जिन्हें निर्मित श्रेणियों के अनुकूल तरीके से परिभाषित किया गया है, जो अन्य रिंगों में गुणांकों के लिए इंटीग्रल फॉर्मुलेशन और सामान्यीकरण का मार्ग सुझाते हैं।

यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से स्वीकार करता है कि अरिथमेटिक मॉड्यूल्स की परिभाषा शुभोदीप मोंडल के फीडबैक के आधार पर सुधारी गई थी, जिससे K-थ्योरिटिक स्प्लिटिंग और उसके बाद यूलर विशेषता की वैधता सुनिश्चित हुई। $p$ -एडिक मामले के परिणामों को प्रिजमैटिक $F$ -गेजेस और स्टेबल बॉकेस्ट (Bockstein) विशेषताओं पर मोंडल के कार्य [Mon25] के सुसंगत और कुछ मामलों में उन्हें पुनः प्राप्त करने वाला बताया गया है, हालांकि वर्तमान दृष्टिकोण एक सामान्यीकृत K-थ्योरिटिक यूलर विशेषता का उपयोग करता है।