1422 पेपर
यह शोध पत्र गुणांकों के साथ प्रक्षेपवक्र रेखा (प्रोजेक्टिव लाइन) के चक्रीय कवरेज (साइक्लिक कवरिंग) के कोहोमोलॉजी के लिए एक 'बिग मोनोड्रोमी थ्योरम' स्थापित करता है, जो अभिन्न कोहोमोलॉजी के लिए उपयोग की जाने वाली प्रमाण तकनीकों को अनुकूलित करके किया गया है, जिससे डिग्री 2 और 3 के पिछले परिणामों का सामान्यीकरण होता है और विशिष्ट गैलुआ समूहों के साथ के अनंत गैलुआ विस्तारों के निर्माण के लिए आधार तैयार होता है।
यह शोध पत्र -स्प्रिंगर किस्मों (varieties) पर एक विशिष्ट टॉरस क्रिया (torus action) को परिभाषित करता है और ऑर्बिट हार्मोनिक्स विरूपण तकनीकों (orbit harmonics deformation techniques) का उपयोग करके उनके तुल्यकालिक कोहोमोलॉजी रिंग (equivariant cohomology ring) के लिए एक बोरेल-शैली प्रस्तुतिकरण (Borel-style presentation) प्रदान करता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि यदि पुशफॉरवर्ड बिग (big) है, तो फ्लैग वैरायटी पर लाइन बंडल बिग है, और अतिरिक्त V-बिगनेस परिकल्पना के तहत इसके विलोम को सिद्ध करता है, जिससे इन दो बंडलों की बिगनेस को जोड़ने वाले एक अनुमान को सिद्ध करने में प्रगति होती है।
यह शोध पत्र 1,072 स्पष्ट मास्टर-टुपल फाइबर्स (master-tuple fibers) के लिए परफेक्ट-क्यूबॉइड अनुमान (perfect-cuboid conjecture) का एक बिना शर्त प्रमाण प्रदान करता है, यह स्थापित करते हुए कि प्रत्येक प्रिमिटिव यूलर-ब्रिक (primitive Euler-brick) एक मानक पैरामीट्राइजेशन से उत्पन्न होता है और यह प्रदर्शित करते हुए कि, सत्यापित रैंक-शून्य स्थितियों के तहत, संबंधित एलिप्टिक कर्व्स में केवल डिजेनरेट परिमेय बिंदु (degenerate rational points) होते हैं।
यह शोधपत्र मिश्रित बहुपदों (mixed polynomials) के लिए आंशिक गैर-अपभ्रंशता (partial non-degeneracy) की अवधारणा का सामान्यीकरण करता है, यह स्थापित करते हुए कि प्रबल आंशिक गैर-अपभ्रंशता (strong partial non-degeneracy), विलगित विलक्षणताओं (isolated singularities) और प्रबल मिलर स्थिति (strong Milnor condition) को निहित करती है, जबकि यह प्रदर्शित करता है कि होलोमोर्फिक सेटिंग के विपरीत, मिश्रित फलनों के लिए विभिन्न गैर-अपभ्रंशता गुण भिन्न होते हैं।
यह शोधपत्र एक गैर-सजातीय छत (non-homogeneous roof) से उत्पन्न होने वाले अद्वितीय मामले, प्रकार के सरल फ्लॉप (simple flop) के स्थानीय मॉडल के लिए व्युत्पन्न तुल्यता (derived equivalence) को स्थापित करता है, जो टिल्टिंग बंडलों (tilting bundles) का निर्माण करके प्राप्त होता है जो एक गैर-कोम्यूटेटिव क्रीपेंट रेजोल्यूशन (noncommutative crepant resolution) प्रदान करते हैं।
यह शोध पत्र उच्च-क्रम क्वांटम लॉजिक के स्टेट स्पेस और रूपांतरणों को विज़ुअलाइज़ और विश्लेषित करने के लिए टोरिक ज्योमेट्री (toric geometry) का उपयोग करने वाले एक नवीन ढांचे का प्रस्ताव करता है, जो विशेष रूप से क्वांटम मेजरमेंट इक्वीवैलेंस क्लासेस (equivalence classes) के टोरिक ऑर्बिट्स के साथ संरेखण के आधार पर इष्टतम टेनरी क्वांटम सर्किटों को संश्लेषित करने और नए यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन विकसित करने के तरीके प्रदान करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि जब बिंदुओं की संख्या आयाम से अधिक होती है, तो एक गोले पर जेनेरिक बाइनरी संकेतों या बिंदु समुच्चयों के -ऑर्बिट को उनके ऑटो-कोरिलेशन या अनलेबल इंटरपॉइंट दूरियों से विशिष्ट रूप से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, और इन समस्याओं के लिए जटिलता के साथ एक सुदृढ़ बहुपद-समय पुनर्निर्माण एल्गोरिदम प्रदान करता है।
यह शोध पत्र नॉनसिंगुलर प्रोजेक्टिव कर्व्स के सेकेंट वैरायटीज़ के अध्ययन को आगे बढ़ाता है, जिसमें उनके टेंजेंट कोन्स का वर्णन किया गया है, हिल्बर्ट पॉलिनोमिअल्स के लिए एक रिकर्सिव फॉर्मूला प्राप्त करने हेतु सेकेंट शीव्स के कोहोमोलॉजी ग्रुप्स की गणना की गई है, और उनके अरिथमेटिक कोहेन-मैकमॉलेनेस का एक कोहोमोलॉजिकल प्रमाण प्रदान किया गया है, जिससे पिछले कार्यों से जुड़े खुले प्रश्नों को हल किया गया है।
यह शोधपत्र एक एलिप्टिक सतह पर कोहेरेंट शीव्स (coherent sheaves) के लिए एक स्थिरता स्थिति प्रस्तुत करता है और इस बात की जांच करता है कि यह स्थिरता सापेक्ष फूरियर-मुकाई रूपांतरणों (relative Fourier-Mukai transforms) के तहत कैसे व्यवहार करती है।