1423 पेपर
यह शोध पत्र रैंक-वन जुगलिंग वैरायटीज़ (juggling varieties) की टोरस-इक्विवैरिएंट कोहोमोलॉजी (torus-equivariant cohomology) की रिंग संरचना को उन्हें साइक्लिक क्विवर ग्रासमैनियन (cyclic quiver Grassmannians) के रूप में साकार करके, स्पष्ट जनरेटर और संबंध प्रदान करने के लिए एक नटसन-टाओ आधार (Knutson–Tao basis) का निर्माण करके, और यह सिद्ध करके निर्धारित करता है कि परिणामी स्ट्रक्चर कांस्टेंट्स (structure constants) पूर्णांक हैं।
यह शोध पत्र परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर भारित प्रक्षेपिक स्थानों (weighted projective spaces) पर परिमेय बिंदुओं की तीन परिभाषाओं की तुल्यता स्थापित करता है और उनके गणन के लिए स्पष्ट संयोजन संबंधी सूत्र व्युत्पन्न करता है, जिसमें चिकने (smooth) और विलक्षण (singular) लोकी (loci) के लिए बंद अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं जो संबद्ध ज़ेटा फलन (zeta function) की परिमेयता की पुष्टि करती हैं।
यह शोध पत्र श्टुकास (Shtukas) और इगुसा स्टैक्स (Igusa stacks) के मॉडुलि स्टैक्स के माध्यम से मेटा-यूनिटरी शिमुरा वेरिएटीज़ (meta-unitary Shimura varieties) के इंटीग्रल मॉडल्स को पुनर्गठित करके, शोज़े (Scholze) के फाइबर प्रोडक्ट अनुमान की वैधता स्थापित करता है, और तत्पश्चात इस ज्यामितीय ढांचे और यूनिपोटेंट कैटेगोरिकल लोकल लैंगलैंड्स पत्राचार (unipotent categorical local Langlands correspondence) को लागू करते हुए स्थानीय-वैश्विक अनुकूलता परिणामों को व्युत्पन्न करता है और उनके कोहोमोलॉजी (cohomology) के लिए एक सामान्य विलोपन प्रमेय (vanishing theorem) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक टोरशन टेट-शेफ़ेरेविच ट्विस्ट (torsion Tate-Shafarevich twist) द्वारा संबंधित प्रोजेक्टिव लैग्रेंजियन फाइब्रेशन्स (projective Lagrangian fibrations), हॉज संरचनाओं (Hodge structures) और हॉज-रिमैन पेयरिंग (Hodge-Riemann pairing) को संरक्षित करने वाले समरूपी परिमेय कोहोमोलॉजी रिंग्स (rational cohomology rings) साझा करते हैं, और यह पुष्टि करता है कि सक्का का अनुमान (Saccà's conjecture) चिकने आधारों (smooth bases) और चिकनी सेक्शनों (smooth sections) की अतिरिक्त धारणा के तहत उनके टोटल स्पेस (total spaces) विरूपण-तुल्य (deformation-equivalent) हैं।
यह शोध-पत्र एक सरल फ्लॉप (simple flop) द्वारा संबंधित दो किस्मों (varieties) के जीनस 0 डिसेंडेंट ग्रोमोव-विटन सिद्धांतों (genus 0 descendant Gromov-Witten theories) के बीच एक पत्राचार स्थापित करता है और यह प्रदर्शित करता है कि यह पत्राचार फ्लॉप द्वारा प्रेरित फूरियर-मुकाई तुल्यता (Fourier-Mukai equivalence) के साथ संगत है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय बीजगणितीय प्रivarieties (algebraic varieties) को अनिश्चित क्षेत्रों (arbitrary fields) तक सामान्यीकृत करके, साहचर्य विविधताओं (associative varieties) पर रीमानियन ज्यामिति के लिए एक ढांचा स्थापित करता है, साहचर्य बीजगणों (associative algebras) में सरल मॉड्यूल (simple modules) के लिए स्थानीय निरूपणों को परिभाषित करता है, और गैर-क्रमविनिमेय परिवेश (non-commutative settings) में कनेक्शन और जियोडेसिक वक्रों (geodesic curves) को पेश करने के लिए चिकने फलन बीजगणकों (smooth function algebras) का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि सम्मिश्र चरों (complex variables) में एक गैर-अपभ्रंश (nondegenerate) परिमेय फलन के लॉरेंट श्रेणी विस्तार का पूर्ण विकर्ण (complete diagonal), केवल एक विशिष्ट लैंडौ विविधता (Landau variety) को छोड़कर जो हर (denominator) के फलक विच्छेदन (face truncations) के विविक्तकर (discriminants) से निर्मित है, संपूर्ण सम्मिश्र टोरस (complex torus) में विश्लेषिक सातत्य (analytic continuation) स्वीकार करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि उष्णकटिबंधीय वक्रों (tropical curves) पर रैखिक श्रेणियों (linear series) के रैंक की दो प्रतिस्पर्धी अवधारणाओं का अनंत व्यवहार (asymptotic behavior) बीजगणितीय आयतनों (algebraic volumes) के समान एक एकल अपरिवर्तनीय (invariant) द्वारा नियंत्रित होता है, और साथ ही उष्णकटिबंधीय आयतन (tropical volume) की वक्रों के उष्णकटिबंधीकरण (tropicalization) के साथ अनुकूलता को भी प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट संख्या क्षेत्र के क्लास ग्रुप (वर्ग समूह) में -टोरशन तत्वों को उत्पन्न करने के लिए एक निर्माण स्थापित करता है, जो एक -गोनल वक्र के जैकोबियन से -टोरशन बिंदुओं का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र डेल पेज़ो सतहों (del Pezzo surfaces) के एंटीकैनोनिकल शंकुओं (anticanonical cones) के गैर-क्रमविनिमेय क्रीपेंट समाधानों (non-commutative crepant resolutions - NCCRs) को यह दिखाकर वर्गीकृत करता है कि वे ज्यामितीय हेलिक्स (geometric helices) से उत्पन्न होते हैं और यह सिद्ध करता है कि सभी ऐसे हेलिक्स, सरल संक्रियाओं तक, संबद्ध बहुभुजों (associated polygons) को एक प्रमुख उपकरण के रूप में उपयोग करते हुए उत्परिवर्तन (mutations) के माध्यम से जुड़े हुए हैं।