1423 पेपर
यह शोधपत्र चिकनी वास्तविक किस्मों (smooth real varieties) के लिए चाउ-विट समूहों (Chow-Witt groups) से वास्तविक लोकस (real locus) की कोहोमोलॉजी तक द्विघाती वास्तविक चक्र वर्ग मानचित्र (quadratic real cycle class map) की छवि की जांच करता है, जो इसके कोकर्नेल (cokernel) के घातांकों के संबंध में एक सटीक अनुमान (conjecture) तैयार करने हेतु विशिष्ट कोडायमेंशन (codimensions) पर ध्यान केंद्रित करता है।
यह शोध पत्र मॉड्यूलर कर्व्स पर पृथक बिंदुओं (isolated points) के वर्गीकरण के लिए एक सिंगल-सिंक प्रमेय और एक समान रणनीति स्थापित करता है, इन परिणामों को लेवल 7 कर्व्स और पर परिमेय -इनवेरिएंट्स वाले पृथक बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए लागू करता है, और साथ ही ज्यामितीय रूप से असंबद्ध वैराइटीज़ (geometrically disconnected varieties) पर पृथक डिविज़र्स (isolated divisors) का एक व्यापक सिद्धांत विकसित करता है।
यह शोध पत्र प्रोजेक्टिव इरेड्यूसिबल कर्व्स (प्रोजेक्टिव अविभाज्य वक्रों) पर शून्य कोहोलोजी वाले टॉर्सन-फ्री रैंक वन शीव्स के स्पष्ट पैरामीट्राइजेशन का विस्तार मनमाने रैंक तक करता है, जिसे वीयरस्ट्रॉस क्यूबिक कर्व पर रैंक टू शीव्स के एक विशिष्ट गणना द्वारा स्पष्ट किया गया है।
यह शोध पत्र बर्नस्टीन-मार्कोव मापों (Bernstein-Markov measures) के साथ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर बिग लाइन बंडल्स (big line bundles) के लिए बर्गमैन कर्नेल (Bergman kernels) के स्थानीयकरण को स्थापित करता है, जो ज़ेल्डविच (Zelditch) के एक अनुमान की पुष्टि करता है और यह प्रदर्शित करता है कि परिणामी टोप्लिट्ज़ ऑपरेटर (Toeplitz operators) एक बीजगणित (algebra) बनाते हैं जिसका स्पेक्ट्रा समान रूप से वितरित (equidistributing) होता है।
यह शोधपत्र टजुइना (Tjurina) और मिलनोर (Milnor) संख्याओं के अनुरूपों को प्रस्तुत करके, सामान्यीकृत नियतता (determinacy) और माथर-याउ (Mather-Yau) प्रमेयों को सिद्ध करते हुए, तथा अनरैम्फाइड (unramified) और रैम्फाइड (ramified) मामलों के बीच अंतर करने के लिए संख्यात्मक अपरिवर्तों (numerical invariants) को परिभाषित करते हुए, मिश्रित अभिलक्षण (mixed characteristic) वाले डिस्क्रीट वैल्युएशन रिंग्स (discrete valuation rings) पर आइसोलेटेड हाइपरसरफेस सिंगुलैरिटीज (isolated hypersurface singularities) का एक सिद्धांत स्थापित करता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एक अर्ध-परिमित विकर्ण (quasi-finite diagonal) वाले एक नियमित नोएरियन (Noetherian) बीजगणितीय स्टैक (algebraic stack) पर अर्ध-संगत संकुलों (quasi-coherent complexes) की व्युत्पन्न श्रेणी (derived category), रिकोलेमेंट (recollement) के माध्यम से जनरेटरों को जोड़ने और उपयुक्त फिल्ट्रेशन जैसी तकनीकों का उपयोग करते हुए, एक एकल पूर्ण संकुल (perfect complex) द्वारा जनित होती है।
यह शोध पत्र उत्पाद किस्मों (product varieties) के ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के भीतर विरासोरो बाधाओं (Virasoro constraints) की जांच करता है, विशेष रूप से उस मामले पर ध्यान केंद्रित करते हुए जहाँ एक कारक अर्ध-सरल क्वांटम कोहोलॉजी (semi-simple quantum cohomology) रखता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि विशेषता में एक वक्र पर K3 सतहों के एक गैर-आइसोट्रिवियल (non-isotrivial) परिवार के लिए, यदि परिवार विशिष्ट फ्रोबेनियस बाधाओं (Frobenius obstructions) से बचता है और एक बड़े मोनोड्रोमी (big monodromy) की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो अनंत ज्यामितीय तंतु (geometric fibers) ज्यामितीय जेनेरिक तंतु की तुलना में पिकार्ड रैंक (Picard rank) में उछाल प्रदर्शित करते हैं।
यह शोध पत्र सामान्य -गोनल वक्रों पर विशिष्ट ब्रिल-नोएदर डिजेनेरेसी स्कीम्स के खुले उपसमुच्चयों के लिए स्मूथनेस परिणाम स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ये स्कीम्स (और फलस्वरूप के कुछ अपरिवर्तनीय घटक) इन उपसमुच्चयों के अनुदिश स्मूथ हैं जब तक कि वे कई घटकों के प्रतिच्छेदन में न स्थित हों, साथ ही अधिरोपित पेट्री मानचित्रों वाले इन्वर्टिबल शीव्स का अभिलक्षण करते हुए और के सिंगुलर लोक की संरचना को स्पष्ट करते हैं।
यह शोधपत्र गैर-समतुल्य (non-proper) बीजगणितीय प्रपंचों (varieties) के लिए गैर-आबेली Hodge सिद्धांत (non-abelian Hodge theory) में हालिया प्रगति का सर्वेक्षण करता है और यह प्रदर्शित करता है कि कैसे ये उपकरण किसी भी बीजगणितीय प्रपंच के लिए रैखिक शाफ़ारेविच अनुमान (linear Shafarevich conjecture) के एक संस्करण को सिद्ध करने हेतु बीजगणितीय शाफ़ारेविच मोर्फिज्म (algebraic Shafarevich morphisms) के निर्माण को सक्षम करते हैं।