2007 पेपर
यह शोध पत्र दो-आयामी श्रोडिंगर ऑपरेटरों के लिए कमजोर युग्मन घटना (weak coupling phenomenon) पर साइमन के मौलिक परिणामों को अधिक तीव्र विलक्षणताओं (singularities) और धीमी क्षय (decay) वाले विभवों (potentials) के एक व्यापक वर्ग तक विस्तारित करता है, जो ऋणात्मक आइजनमानों (eigenvalues) के अस्तित्व को प्रदर्शित करते हुए उनकी विशिष्टता के अभाव को स्वीकार करता है।
यह शोध पत्र सिंगुलर कनवल्शन कर्नेल वाले नॉनलोकल कान-हिलियर्ड समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक कुशल, त्रुटि-नियंत्रित स्यूडोस्पेक्ट्रल मल्टीशेप फ्रेमवर्क प्रस्तुत करता है, जो सीमित कम्प्यूटेशनल संसाधनों के साथ उच्च-रिज़ॉल्यूशन समाधान प्राप्त करने के लिए सघन ऑपरेटरों और कर्नेल सिंगुलैरिटीज़ से जुड़ी चुनौतियों पर विजय प्राप्त करता है।
यह शोधपत्र विलक्षण सीमा (singular limit) में स्व-द्वैत एबेलियन यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों के समाधानों के लिए एक ज्यामितीय ढांचा और नियमितता सिद्धांत स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि ये समाधान न्यूनतम उप-मैनिफोल्ड्स (minimal submanifolds) के साथ केंद्रित होते हैं और अल्लार्ड की नियमितता तकनीकों (Allard's regularity techniques) तथा सावधानीपूर्वक गेज-फिक्सिंग विश्लेषण के अनुप्रयोग के माध्यम से होल्डर नियमितता (Hölder regularity) रखते हैं।
यह शोध पत्र स्ट्रॉन्ग एंकरिंग (डिरिचलेट) सीमा स्थितियों के तहत फ्लोरी-हगिन्स्स क्षमता वाले काह्न-हिलियर्ड ऊर्जा के मिनिमाइज़र्स (minimizers) की सैद्धांतिक और संख्यात्मक जांच करता है, जो सीमा बाधाओं, संक्रमण परत की मोटाई और तापमान द्वारा संचालित द्विभाजन (bifurcation) घटनाओं को प्रकट करता है, और ग्रेडिएंट-फ्लो सिमुलेशन के माध्यम से इन निष्कर्षों को मान्य करता है।
यह शोध पत्र एक ऐसे एक-आयामी प्रतिक्रिया-विसरण समीकरण (reaction-diffusion equation) के लिए जंप विच्छिन्नता (jump discontinuities) वाले शॉक वेवफ्रंट्स के अस्तित्व को सिद्ध करता है और उनके गुणों का लक्षण वर्णन करता है जिसमें चिह्न-परिवर्तित प्रसारशीलता (sign-changing diffusivity) और एक द्वि-स्थिर प्रतिक्रिया पद (bistable reaction term) है, तथा इन निष्कर्षों को अलग-थलग और समूहबद्ध व्यक्तियों वाले जनसंख्या संचलन के एक मॉडल पर लागू करता है।
यह शोधपत्र स्थापित करता है कि शून्य सीमा मानों वाले सरलीकृत डोमेन (simply connected domains) पर न्यूनतम सतह समीकरण (minimal surface equation) के समाधानों के ग्राफ अधिकतम घातांकीय रूप से बढ़ने के लिए बाध्य हैं।
यह शोध पत्र मल्टीस्केल काइनेटिक थ्योरी ऑफ एक्टिव पार्टिकल्स (MS-KTAP) प्रस्तुत करता है, जो एक एकीकृत गणितीय ढांचा है जो जीवित प्रणालियों में अंतर्निहित उभरते, अनुकूलनशील और क्रॉस-स्केल गतिकी को बेहतर ढंग से मॉडल करने के लिए उप-सूक्ष्म स्तरों (sub-microscopic scales) को शामिल करके शास्त्रीय काइनेटिक थ्योरी का विस्तार करता है।
यह शोधपत्र एक स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन दृष्टिकोण और एक कण प्रणाली व्याख्या का उपयोग करके नॉनलोकल स्टीफन समस्या के लिए ग्लोबल-टाइम वीक सॉल्यूशंस का निर्माण करता है, जिससे पैराबोलिक ऑब्सटैकल समस्या और नॉनलोकल डिफ्यूजन के बीच एक संबंध स्थापित होता है और पिघलने के मामले (मेल्टिंग केस) के लिए एक्सपोनेंशियल कन्वर्जेंस को सिद्ध किया जाता है।
यह शोधपत्र एक सुपरहारमोनिक लागत फलन (superharmonic cost function) के साथ ब्राउनियन स्टॉपिंग समय के लिए एक मुक्त लक्ष्य अनुकूलन समस्या (free target optimization problem) का उपयोग करते हुए और समाधान को अभिलक्षणिक बनाने के लिए द्वैत प्राप्ति (dual attainment) को सिद्ध करते हुए, सामान्य आयामों में सुपरकूल्ड स्टीफन समस्या (supercooled Stefan problem) के लिए अधिकतम दुर्बल समाधानों (maximal weak solutions) के वैश्विक-समय अस्तित्व को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र पूर्ण-उप-क्रांतिक (full-subcritical) व्यवस्थाओं में एक-आयामी सामान्यीकृत KPZ समीकरण के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) और इतोो आइसोमेट्री (Itô isometry) से जुड़े सममिति स्थानों (symmetry spaces) के आयामों को निर्धारित करने के लिए एक प्रारंभिक प्रमाण प्रदान करने हेतु बहु-सूचकांकों (multi-indices) का उपयोग करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि यह दृष्टिकोण सजावटी वृक्षों (decorated trees) के माध्यम से प्राप्त पिछले परिणामों को सरल बनाता है।