2007 पेपर
यह शोधपत्र यांग-मिल्स ऊर्जा के लिए परैबोलिक गैप प्रमेय स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि 4-गो로ओं (4-spheres), क्वाटरनियन-केलर मैनिफोल्ड्स और सामान्य कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स पर विशिष्ट वक्रता स्थितियों के अंतर्गत, कनेक्शन का स्थान यांग-मिल्स फ्लो के माध्यम से इंस्टेंटन्स (instantons) पर डफॉर्मेशन-रिट्रैक्ट होता है और वक्रता का स्केल-इनवेरिएंट मोरे नॉर्म (Morrey norm) धनात्मक बना रहता है।
यह शोध पत्र एक वेरिएशनल पेरॉन विधि (variational Perron method) का उपयोग करते हुए और सीमा नियमितता (boundary regularity) की चुनौतियों को सावधानीपूर्वक संबोधित करते हुए, कार्नोट समूहों (Carnot groups) में अवतल-उत्तल (concave-convex) और क्रांतिक गैर-रेखीयताओं (critical nonlinearities) से जुड़ी एक डिरिचलेट समस्या (Dirichlet problem) के लिए दो धनात्मक समाधानों के अस्तित्व को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि विशिष्ट सुचारू प्रारंभिक और/या सीमा डेटा को डिजाइन करके, दो और तीन आयामों में रैखिक और गैर-रैखिक श्रोडिंगर-प्रकार के समीकरणों के समाधानों को गुणांकों या गैर-रैखिकता के आधार (सपोर्ट) के बाहर निर्धारित बिंदुओं पर असाधारण, अत्यधिक स्थानीयकृत ग्रेडिएंट प्रवर्धन प्रदर्शित करने के लिए निर्मित किया जा सकता है, जो एक घटना है जो क्वांटम स्थानीयकरण के नियतात्मक अनुरूप के रूप में कार्य करती है और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को प्रतिबिंबित करती है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि जबकि केवल सीमा माप (boundary measurements) इलेक्ट्रोलाइज़र मॉडलों में गैर-रेखीय विसरण गुणांकों (non-linear diffusion coefficients) और विद्युत विभव संबंधों को अद्वितीय रूप से पुनर्निर्मित करने के लिए अपर्याप्त हैं, सीमा और आंतरिक मापों का संयोजन युग्मित अर्ध-रैखिक दीर्घवृत्तीय प्रणालियों (coupled quasi-linear elliptic systems) में गैर-स्थानीय गैर-रैखिकताओं को संभालने के लिए रैखिकीकरण तकनीकों का सामान्यीकरण करके अद्वितीय पुनर्निर्माण सक्षम बनाता है।
यह शोध पत्र कार्नोट-कैरोथियोडोरिया (Carnot-Carathéodory) बॉल्स के लिए समान आयतन अनुमान स्थापित करता है और सामान्यीकृत हीज़ेनबर्ग-प्रकार के समूहों (generalized Heisenberg-type groups) पर केंद्रित हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमल फंक्शन्स के लिए कमजोर (1, 1) सीमाएँ व्युत्पन्न करता है, जिससे पिछले परिणामों का विस्तार होता है और हीज़ेनबर्ग समूहों पर बाईं-अ invariant (left-invariant) रिमानियन मेट्रिक्स के एक वर्ग के लिए एक समान आयतन दोहरीकरण (volume doubling) गुण प्रदर्शित होता है।
यह शोध पत्र एंट्रॉपी अनुमानों और यंग मेजर्स के ढांचे के भीतर डाइव-कर्ल लेम्मा (div-curl lemma) के माध्यम से यह सिद्ध करके रैखिक दबाव और भिन्न गतिशीलता वाले एक-आयामी क्रॉस-डिफ्यूजन सिस्टम के लिए कमजोर समाधानों के वैश्विक अस्तित्व को स्थापित करता है कि कोई भी स्वीकार्य सन्निकटन अनुक्रम एक समाधान की ओर अभिसरित होता है।
यह शोधपत्र गैर-सापेक्षिक क्वांटम गतिकी के लिए लघुगणकीय विक्षोभ सिद्धांत (logarithmic perturbation theory) का एक समय-निर्भर विस्तार प्रस्तुत करता है, जो सुधारों और तात्कालिक ऊर्जा परिवर्तनों के लिए बंद-समाकल अभिव्यक्तियों (closed-integral expressions) को व्युत्पन्न करने के लिए एक गेज-रोटेटेड हैमिल्टनियन का उपयोग करता है, जो संचालित हार्मोनिक ऑसिलेटर और हाइड्रोजन परमाणुओं के अनुप्रयोगों के माध्यम से मल्टी-फोटॉन प्रक्रियाओं के प्रति उच्च सटीकता और प्रयोज्यता प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र एक विस्तारवादी न्यूटोनियन ब्रह्मांडीय परिवेश में आवेशित स्व-परस्पर क्रिया वाले प्लाज्मा के लिए गैररेखीय लैंडौ डैम्पिंग (nonlinear Landau damping) का प्रथम प्रमाण स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि जब स्केल फैक्टर के रूप में के साथ बढ़ता है, तब छोटे गेवरे-क्लास (Gevrey-class) विक्षोभों के लिए आवेश घनत्व कंट्रास्ट सुपरपॉलिनोमियल (superpolynomial) रूप से क्षय होते हैं।
यह शोध पत्र एक-आयामी क्लेन-गॉर्डन समीकरण (Klein-Gordon equation) के लिए विसरणात्मक क्षय (dispersive decay) पर पिछले परिणामों को सुधारने हेतु एक नवीन दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है, जिसमें क्षमता (potential) पर आधारित धारणाओं को कमजोर करते हुए साथ ही साथ अधिक सुदृढ़ मानदंडों (stronger norms) में क्षय स्थापित किया गया है।
यह शोध पत्र न्यूमैन सीमा स्थितियों वाले एक पतले, यादृच्छिक रूप से छिद्रित डोमेन में पॉइसन समीकरण के समाधानों के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार की जांच करता है, जो डोमेन की मोटाई और छिद्र के आकार के बीच स्केलिंग के आधार पर तीन विशिष्ट सीमित व्यवस्थाओं (limiting regimes) की पहचान करता है, साथ ही क्लस्टर्ड छिद्रों की उपस्थिति में भी होमोजेनाइजेशन (homogenization) के लिए इष्टतम स्टोकेस्टिक इंटीग्रिबिलिटी स्थिति को स्थापित करता है।