2007 पेपर
यह शोध पत्र लीनियरली स्टेबल रिची-फ्लैट ALE मेट्रिक्स (जिनमें इंटीग्रेबल डिफॉर्मेशन हैं) के निकट रिची फ्लो की डायनेमिकल स्टेबिलिटी का एक सरलीकृत प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो इंटीग्रेबिलिटी और रिची-डी टर्क टेंसर के एक "लगभग-ऑर्थोगोनैलिटी" गुण के बीच तुल्यता का लाभ उठाकर किया गया है, जिससे भारित होल्डर स्पेस (weighted Hölder spaces) के भीतर ज्ञात -स्टेबिलिटी परिणामों को पुनः प्राप्त किया जा सके।
यह शोधपत्र स्थापित करता है कि इंस्टेंटन (instantons), पर SU(2) यांग-मिल्स (Yang-Mills) समीकरण के वे एकमात्र समाधान हैं जिनका ऊर्जा स्तर एक विशिष्ट सीमा से नीचे है, और यह विपरीत आवेश वाले बबलिंग विन्यासों (bubbling configurations) की ओर अभिसरित होने वाले गैर-इंस्टेंटन अनुक्रमों के लिए एक अवरोध को प्रदर्शित करते हुए की सीमा में ऊर्जा स्पेक्ट्रम की विविक्तता (discreteness) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र घातांकीय रूपांतरणों (exponential transformations), संरक्षित मात्राओं (conserved quantities) और पैराकंट्रोल्ड कैलकुलस (paracontrolled calculus) का उपयोग करते हुए, नियमितता के ह्रास या स्थानीयकरण के बिना प्रसार प्राप्त करने के लिए, आयामों के लिए पर मल्टीप्लिकेटिव स्पेशियल व्हाइट नॉइज़ (multiplicative spatial white noise) वाले नॉनलीनर श्रोडिंगर समीकरणों के लिए ऊर्जा समाधानों (energy solutions) के अस्तित्व, अद्वितीयता और स्थानीय सु-समाधानता (local well-posedness) को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र में ट्रंकेटेड हाइपरबोलिक पैराबोलाइड के लिए द्वरेखीय (bilinear) -डिकपलिंग और परिष्कृत द्वरेखीय डिकपलिंग असमानताओं को स्थापित करता है, जिन्हें फिर के लिए संबद्ध रिस्ट्रिक्शन अनुमान को सिद्ध करने के लिए लागू किया जाता है, जो एलिप्टिक पैराबोलाइड के ज्ञात परिणाम से मेल खाता है।
यह शोध पत्र जॉन दीर्घवृत्त (John ellipsoid) के दूसरे सबसे बड़े अर्ध-अक्ष और डोमेन के व्यास को सम्मिलित करने वाले मात्रात्मक असमानताओं को स्थापित करके उत्तल डोमेन (convex domains) के न्यूमैन आइजनमानों (Neumann eigenvalues) के लिए क्रोगर (Kröger) के तीक्ष्ण ऊपरी सीमाओं को परिष्कृत करता है, जिसमें के लिए समतलीय मामले में एक स्पष्ट स्थिरांक प्रदान किया गया है।
यह शोधपत्र गैर-समान रूप से दीर्घवृत्तीय (non-uniformly elliptic) समीकरणों के लिए, जो स्थिति के अनुसार क्षीण होने वाले गुणांकों के साथ गैर-अपसरण रूप (non-divergence form) में होते हैं, हार्नाक असमानताओं और संबंधित नियमितता परिणामों को स्थापित करता है, जिसमें एक नया लघुगणकीय स्थानीय अधिकतम सिद्धांत (logarithmic local maximum principle) और एक दुर्बल हार्नाक (Weak Harnack) असमानता शामिल है, विशेष रूप से पर्याप्त बड़े के लिए इन परिणामों को सिद्ध करते हुए और प्रति-उदाहरणों के माध्यम से परिमित के लिए उनकी विफलता को प्रदर्शित करते हुए।
यह शोधपत्र विस्कोइलास्टिसिटी (viscoelasticity) और संपीड़ित नेवियर-स्टोक्स (compressible Navier-Stokes) में हाइपरबोलिक-पैराबोलिक प्रणालियों के लिए निरंतर दोलनों (persistent oscillations) वाले समाधानों के निर्माण पर व्याख्यान नोट्स प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि काइनेटिक गतिकी (kinetic dynamics) को मैक्रोस्कोपिक प्रवाहों के साथ जोड़ने वाले प्रभावी समीकरणों को व्युत्पन्न करने के लिए काइनेटिक फॉर्मुलेशन का उपयोग कैसे किया जा सकता है।
यह अध्ययन लेडीज़ेन्स्काया-प्रोडी-सेरिन नियमितता मानदंडों से संबंधित नॉर्म्स (norms) को अधिकतम करने वाले प्रारंभिक स्थितियों की पहचान करने के लिए वेरिएशनल ऑप्टिमाइज़ेशन का उपयोग करते हुए एक व्यवस्थित कम्प्यूटेशनल खोज नियोजित करता है, जो यह प्रकट करता है कि हालांकि चरम 3D नेवियर-स्टोक्स प्रवाह परिमित-समय विलक्षणता (finite-time singularity) निर्माण के अनुरूप विकास दर प्रदर्शित करते हैं, वे अंततः वास्तव में विलक्षण होने के लिए पर्याप्त समय तक इस वृद्धि को बनाए रखने में विफल रहते हैं।
यह शोध पत्र कार्नोट समूहों (Carnot groups) पर सब-लैपलेसियन (sub-Laplacian) से संबंधित क्रिटिकल एम्ब्रोसेटी-प्रोडी प्रकार की समस्याओं के लिए अस्तित्व, बहुलता और द्विभाजन (bifurcation) परिणामों को स्थापित करता है, जिसमें वे मामले शामिल हैं जहाँ पैरामीटर डिरिचलेट आइजनवैल्यूज़ (Dirichlet eigenvalues) के नीचे, ऊपर, या अनुनाद (resonance) पर है।
यह शोधपत्र निरंतर फलनों के बोchner स्थानों (Bochner spaces) में सुपरलीनियर मल्टीप्लिकेटिव नॉइज़ वाले स्टोकेस्टिक रिएक्शन-डिफ्यूजन समीकरणों के लिए वैश्विक अस्तित्व, अद्वितीयता और मात्रात्मक घातीय विपाटन (exponential dissipativity) को स्थापित करता है, जो कि रुके हुए प्रक्रियाओं (stopped processes) के लिए महत्वपूर्ण नियमितता अनुमानों को व्युत्पन्न करके किया गया है जो गैर-हिल्बर्ट सेटिंग्स में इटो फॉर्मूला (Itô formula) को लागू करने को कठोरता से न्यायसंगत ठहराते हैं।