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Harnack inequality for non-uniformly elliptic equations in non-divergence form

यह शोधपत्र गैर-समान रूप से दीर्घवृत्तीय (non-uniformly elliptic) समीकरणों के लिए, जो $L^p$ स्थिति के अनुसार क्षीण होने वाले गुणांकों के साथ गैर-अपसरण रूप (non-divergence form) में होते हैं, हार्नाक असमानताओं और संबंधित नियमितता परिणामों को स्थापित करता है, जिसमें एक नया लघुगणकीय स्थानीय अधिकतम सिद्धांत (logarithmic local maximum principle) और एक $\log-L^\varepsilon$ दुर्बल हार्नाक (Weak Harnack) असमानता शामिल है, विशेष रूप से पर्याप्त बड़े $p$ के लिए इन परिणामों को सिद्ध करते हुए और प्रति-उदाहरणों के माध्यम से परिमित $p$ के लिए उनकी विफलता को प्रदर्शित करते हुए।

मूल लेखक: David Bowman

प्रकाशित 2026-04-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: David Bowman

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधले जंगल के एक छोर से दूसरे छोर तक जाने के लिए पैदल चलने की कोशिश कर रहे हैं। एक सामान्य जंगल में (जिसे गणितज्ञ "यूनिफॉर्मली एलिप्टिक" कहते हैं), ज़मीन लगभग हर जगह एक जैसी होती है। यहाँ-वहाँ आप किसी जड़ से टकराकर लड़खड़ा सकते हैं, लेकिन आप आम तौर पर यह अनुमान लगा सकते हैं कि आप कितनी तेज़ी से आगे बढ़ेंगे, और यदि आप दो अलग-अलग बिंदुओं से शुरू करते हैं, तो आप अंततः आपस में मिल जाएंगे और समान स्थानों पर पहुँचेंगे।

डेविड बोमन द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र इस बारे में है कि क्या होता है जब जंगल अत्यधिक असमान हो जाता है।

परिवेश: "ट्रैप" (जाल वाला) जंगल

इस शोध पत्र में, जंगल एक गणितीय समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है जो गर्मी, बिजली या कणों के संचलन (मूवमेंट) का वर्णन करता है।

अच्छी ज़मीन: अधिकांश समय, ज़मीन ठोस होती है, और आप स्वतंत्र रूप से चल सकते हैं।
"ट्रैप्स" (जाल): कभी-कभी, गहरे, चिपचिपे कीचड़ या अदृश्य गड्ढों के पैच होते हैं। यदि आप उनमें कदम रखते हैं, तो आप बहुत लंबे समय के लिए फंस सकते हैं।

लेखक इन पैच को "लो एलिप्टिसिटी" (कम दीर्घवृत्तीयता) कहते हैं। वास्तविक दुनिया में, यह एक ऐसा पदार्थ हो सकता है जो कुछ स्थानों पर बिजली का संचालन खराब करता है लेकिन अन्य स्थानों पर पूरी तरह से करता है। बड़ा सवाल यह है: यदि आप एक कण को बिंदु A पर और दूसरे को बिंदु B पर छोड़ते हैं, तो क्या वे अंततः आपस में मिल जाएंगे, या "कीचड़" उन्हें पूरी तरह से अलग रखेगा?

मुख्य खोज: "कीचड़" की सीमा

यह शोध पत्र एक विशिष्ट नियम की जांच करता है कि कीचड़ कितना बुरा हो सकता है इससे पहले कि कण आपस में मिलना बंद कर दें।

"कीचड़" का मीटर ( $p$ ): लेखक एक संख्या पेश करते हैं, जिसे हम $p$ कह सकते हैं, जो यह मापने के लिए है कि कीचड़ कितना बुरा हो सकता है।
- यदि कीचड़ हल्का है (उच्च $p$ ), तो कण अभी भी आपस में मिलते हैं। जंगल "जुड़ा हुआ" (connected) है।
- यदि कीचड़ बहुत अधिक गाढ़ा और व्यापक है (निम्न $p$ ), तो कण हमेशा के लिए फंस जाते हैं। जंगल "विच्छेदित" (disconnected) है।
महत्वपूर्ण दहलीज (Critical Threshold): लेखक एक विशिष्ट टिपिंग पॉइंट की खोज करते हैं।
- यदि कीचड़ इतना बुरा है कि वह एक निश्चित शर्त ( $p > d-1$ , जहाँ $d$ आयामों की संख्या है, जैसे 2D या 3D) को पूरा करता है, तो कण वास्तव में आपस में मिलेंगे।
- यदि कीचड़ इससे भी बदतर है ( $p < d-1$ ), तो कण आपस में नहीं मिलेंगे। "हार्नेक इनइक्वालिटी" (Harnack Inequality - एक फैंसी तरीका यह कहने का कि "मान तुलनात्मक रहते हैं") टूट जाती है।

नए उपकरण: हम धुंध को कैसे मापते हैं

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखक ने इस जंगल को देखने के लिए कुछ नए गणितीय "फ्लैशलाइट" का आविष्कार किया।

लॉगारिदमिक फ्लैशलाइट (वीक हार्नेक):
एक सामान्य जंगल में, आप पेड़ों की औसत ऊँचाई का अनुमान लगा सकते हैं। इस कीचड़ भरे जंगल में, पेड़ इतने अजीब हैं कि आप औसत ऊँचाई का अनुमान नहीं लगा सकते। हालाँकि, लेखक ने पाया कि आप ऊँचाई के लॉगारिदम (logarithm) का अनुमान लगा सकते हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पर्वत श्रृंखला की ऊँचाई मापने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ कुछ चोटियाँ छोटी पहाड़ियों जैसी हैं और कुछ मील ऊँची हैं। आप उनका औसत नहीं निकाल सकते। लेकिन यदि आप उनके "लॉगारिदम" को देखते हैं (विशाल संख्याओं को प्रबंधनीय आकार में सिकोड़ने का एक तरीका), तो आप एक पैटर्न देख सकते हैं। लेखक ने सिद्ध किया कि सबसे खराब कीचड़ में भी, कण की स्थिति का "लॉगारिदमिक औसत" नियंत्रण में रहता है।
डबल-एक्सपोनेंशियल वॉल (लोकल मैक्सिमम प्रिंसिपल):
किसी कण को अनंत की ओर भागने से रोकने के लिए, लेखक ने एक सैद्धांतिक "दीवार" बनाई जो अनंत रूप से तेज़ गति से अनंत तक ऊँची होती जाती है (एक डबल-एक्सपोनेंशियल वक्र की तरह)।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक कटोरे में गेंद को रखने की कोशिश कर रहे हैं। आमतौर पर, कटोरा गोल होता है। यहाँ, लेखक ने एक ऐसा कटोरा बनाया जो किनारों के पास इतनी तीव्रता से ऊपर की ओर मुड़ता है कि यह एक खड़ी चट्टान जैसा दिखता है। इस चट्टान को कण के पथ से "छूकर", उन्होंने सिद्ध किया कि कण बाहर नहीं निकल सकता, भले ही ज़मीन फिसलन भरी हो। यह एक नया तरीका है जो केवल कीचड़ वाले जंगलों में ही नहीं, बल्कि सामान्य जंगलों में भी काम करता है!

"इंक स्पॉट" (स्याही के धब्बे) की समस्या

"बुरे" कीचड़ के पैच से निपटना इस प्रमाण का सबसे कठिन हिस्सों में से एक था।

पुराना तरीका: आमतौर पर, गणितज्ञ "इंक स्पॉट्स" नामक एक विधि का उपयोग करते हैं। यदि आप गीले कागज पर स्याही गिराते हैं, तो वह फैलती है। यदि कागज बहुत सूखा है (बहुत अधिक कीचड़ है), तो स्याही नहीं फैलती।
नई समस्या: इस शोध पत्र में, "स्याही" (समाधान/solution) कीचड़ में इतनी बुरी तरह फंस जाती है कि मानक फैलने के नियम विफल हो जाते हैं। लेखक को "बुरे" स्थानों बनाम "अच्छे" स्थानों में "स्याही" की मात्रा गिनने का एक नया तरीका आविष्कार करना पड़ा। उन्होंने पाया कि यदि कीचड़ बहुत बुरा है, तो स्याही एक छोटे से पोखर में ही रह जाती है और पूरे कागज पर नहीं फैलती।

बड़ी तस्वीर: यह क्यों मायने रखता है?

यह शोध जटिल प्रणालियों में रैंडमनेस (यादृच्छिकता) और मिक्सिंग (मिश्रण) को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

वास्तविक दुनिया: चट्टानों के माध्यम से तेल के संचलन या एक मिश्रित सामग्री (composite material) के माध्यम से गर्मी के संचलन के बारे में सोचें। कभी-कभी सामग्री एकसमान होती है; कभी-कभी इसमें अलग-अलग घनत्व वाले सूक्ष्म दरारें या पॉकेट होते हैं।
मुख्य निष्कर्ष: यह शोध पत्र इंजीनियरों और वैज्ञानिकों को ठीक से बताता है कि एक सामग्री में कितनी "अपूर्णता" हो सकती है इससे पहले कि वह व्यवहारहीन हो जाए। यदि अपूर्णताएं बहुत गंभीर हैं (d-1 दहलीज से नीचे), तो सामग्री प्रभावी रूप से अलग-थलग द्वीपों में टूट जाती है, और आप उस पर गर्मी या तरल के संचलन की भविष्यवाणी नहीं कर सकते।

संक्षेप में

डेविड बोमन ने एक ऐसी गणितीय समस्या को देखा जहाँ गति के नियम अलग-अलग स्थानों पर नाटकीय रूप से बदल जाते हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि:

एक सीमा है: यदि "बुरे स्थान" बहुत अधिक बार या बहुत गहरे हैं, तो प्रणाली टूट जाती है और मान अप्रत्याशित हो जाते हैं।
एक सुरक्षित क्षेत्र है: यदि बुरे स्थान पर्याप्त रूप से दुर्लभ हैं (p द्वारा नियंत्रित), तो प्रणाली स्थिर रहती है, और हम अभी भी भविष्यवाणियां कर सकते हैं।
नए उपकरण: उन्होंने इन प्रणालियों को मापने के लिए नए गणितीय "रूलर" (लॉग और डबल-एक्सपोनेंशियल दीवारों का उपयोग करके) बनाए, जो पूर्ण प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाने वाले पुराने रूलर की तुलना में अधिक संवेदनशील हैं।

यह एक जंगल में कीचड़ की सटीक मात्रा खोजने जैसा है जिससे पहले चलना असंभव हो जाए, और एक नया जोड़ी जूते आविष्कार करने जैसा है जो आपको किसी के भी अनुमान से थोड़ा अधिक कीचड़ में चलने की अनुमति देते हैं।

यहाँ डेविड बोमन के शोध पत्र "Harnack Inequality for Non-Uniformly Elliptic Equations in Non-Divergence Form" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ (Problem Statement and Context)

यह शोध पत्र नॉन-डाइवर्जेंस फॉर्म (non-divergence form) में डिजेनरेट एलिप्टिक समीकरणों के समाधानों के रेगुलरिटी गुणों की जांच करता है:
$a_{ij}(x) \partial_{ij} u = 0 \quad \text{in } B_1 \subset \mathbb{R}^d$
गुणांक (coefficients) नॉन-यूनिफॉर्म एलिप्टिसिटी की स्थिति को पूरा करते हैं:
$\lambda(x) I \leq a_{ij}(x) \leq I$
जहाँ एलिप्टिसिटी अनुपात $\lambda(x)$ डिजेनरेट हो सकता है (शून्य की ओर जा सकता है)। मुख्य धारणा यह है कि एलिप्टिसिटी का व्युत्क्रम (reciprocal) एक $L^p$ स्पेस में है:
$\lambda^{-1} \in L^p(B_1)$
यह शोध पत्र यह निर्धारित करने का प्रयास करता है कि किन $p$ मानों के लिए शास्त्रीय रेगुलरिटी परिणाम (विशेष रूप से हार्नाक असमानता (Harnack inequalities), वीक हार्नाक असमानता (Weak Harnack inequalities), और लिउविल प्रमेय (Liouville theorems)) लागू होते हैं। यह यूनिफॉर्मली एलिप्टिक मामले ( $p=\infty$ ) और डाइवर्जेंस फॉर्म वाले मामले से भिन्न है, जहाँ महत्वपूर्ण थ्रेशोल्ड $p > \frac{d-1}{2}$ ज्ञात है।

मुख्य चुनौती: डिजेनेरेसी (degeneracy) ऐसी "ट्रैप्स" (traps) बना देती है जहाँ विसरण (diffusion) अत्यंत धीमा हो जाता है, जिससे संभावित रूप से विभिन्न क्षेत्रों के बीच समाधान के मान अलग हो सकते हैं। लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या मिश्रण का प्रभाव (mixing effect) इतना मजबूत बना रहता है कि इन ट्रैप्स के बावजूद समाधान के मानों की तुलनात्मकता (comparability) सुनिश्चित की जा सके (हार्नाक असमानता)।

2. कार्यप्रणाली और तकनीकी दृष्टिकोण (Methodology and Technical Approach)

लेखक विस्कोसिटी सॉल्यूशन थ्योरी (viscosity solution theory), ज्यामितीय माप तर्क (geometric measure arguments), और बैरियर कंस्ट्रक्शन (barrier constructions) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

विस्कोसिटी सॉल्यूशंस (Viscosity Solutions): परिणाम विस्कोसिटी सॉल्यूशंस के लिए स्थापित किए गए हैं। स्मूथनेस की कमी को संभालने के लिए, लेखक समाधानों को सेमी-कॉन्केव या सेमी-कॉन्वेक्स फलनों द्वारा अनुमानित करने के लिए इन्फिमल कॉन्वोल्यूशन (सुपर-सॉल्यूशंस के लिए) और सुप्रिमल कॉन्वोल्यूशन (सब-सॉल्यूशंस के लिए) का उपयोग करते हैं, जो लगभग हर जगह दो बार अवकलनीय (twice differentiable) होते हैं (Alexandroff's Theorem)।
स्केल-इनवेरिएंट मात्रा (Scale-Invariant Quantity): एक प्रमुख मात्रा $\Gamma(B)$ है, जो एक बॉल $B$ पर औसत डिजेनेरेसी को दर्शाती है:
$\Gamma(B) := \left( \frac{1}{|B|} \int_B \lambda^{-p} \right)^{1/p}$
सभी अनुमान इस मात्रा पर निर्भर करते हैं, जो छोटे बॉल्स के लिए बड़ी हो सकती है।
टचिंग आर्गुमेंट्स (बैरियर मेथड्स) (Touching Arguments - Barrier Methods):
- सुपर-सॉल्यूशंस के लिए: लेखक सुपर-सॉल्यूशंस को नीचे से सिंगुलर कस्प्स (singular cusps) का उपयोग करके छूते हैं जिनका रूप $|x|^{-\beta}$ होता है। पिछले कार्यों के विपरीत जहाँ $\beta$ स्थिर था, यहाँ $\beta$ , $\Gamma(B)$ के साथ स्केल करता है। इससे एक "डबलिंग एस्टीमेट" (doubling estimate) प्राप्त होता है जहाँ समाधान का आवश्यक निचला स्तर $\Gamma(B)$ के साथ चरघाघाती (exponentially) रूप से बढ़ता है।
- सब-सॉल्यूशंस के लिए: एक नया दृष्टिकोण शामिल है जिसमें सब-सॉल्यूशंस को ऊपर से डबल एक्सपोनेंशियल ब्लो-अप बैरियर्स $U(x) = c \exp(\exp((1-|x|^2)^{-1}))$ के साथ छुआ जाता है। यह एक लॉगरिदमिक लोकल मैक्सिमम प्रिंसिपल (logarithmic local maximum principle) प्राप्त करने की अनुमति देता है।
इंक-स्पॉट आर्गुमेंट्स (Ink-Spot Arguments): वीक हार्नाक असमानता के प्रमाण के लिए एक संशोधित "इंक-स्पॉट" तर्क का उपयोग किया जाता है। डिजेनेरेसी के कारण, मानक ज्यामितीय पुनरावृत्ति (geometric iteration) विफल हो जाती है क्योंकि "बुरे" बॉल्स (उच्च $\Gamma$ ) स्तर में भी सबसे महंगे (बड़े $M$ की आवश्यकता) और माप लाभ (measure gain) में भी सबसे खराब होते हैं। लेखक $\Gamma(B)$ पर निर्भरता को सावधानीपूर्वक ट्रैक करके इस समस्या को हल करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. काउंटर-एग्जाम्पल्स और इष्टतमता (Counterexamples and Optimality - Section 2)

लेखक स्पष्ट काउंटर-एग्जाम्पल्स बनाकर सटीक थ्रेशोल्ड स्थापित करते हैं:

कोई पावर-टाइप $L^\epsilon$ अनुमान नहीं: किसी भी $p < \infty$ के लिए, $\int u^\epsilon \lesssim (\inf u)^\epsilon$ के रूप में कोई अनुमान नहीं है। सुपर-सॉल्यूशंस के लिए सर्वोत्तम संभव बाउंड में लॉगरिदमिक मोमेंट्स (logarithmic moments) शामिल हैं।
$p < d-1$ के लिए विफलता: लेखक ऐसे समाधानों का निर्माण करते हैं जहाँ डिजेनेरेसी के केंद्रित होने पर $\sup u / \inf u \to \infty$ होता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि यदि $p < d-1$ है, तो न तो हार्नाक और न ही वीक हार्नाक असमानताएँ लागू होती हैं। यह नॉन-डाइवर्जेंस केस के लिए $d-1$ को एक महत्वपूर्ण थ्रेशोल्ड के रूप में पहचानता है।

B. लॉग- $L^\epsilon$ वीक हार्नाक असमानता (Log- $L^\epsilon$ Weak Harnack Inequality - Proposition 1.1)

$p > d-1$ के लिए, पेपर गैर-ऋणात्मक सुपर-सॉल्यूशंस के लिए एक वीक हार्नाक असमानता सिद्ध करता है, लेकिन पावर फॉर्म के बजाय इसके लॉगरिदमिक रूप में:
$\int_{B_1} \left( \log \frac{u}{\inf_{B_1} u} \right)^\epsilon \leq C \Gamma(B_5)^\epsilon \gamma$
जहाँ $\gamma = \frac{pd}{p-(d-1)}$ । यह शास्त्रीय पावर-टाइप वीक हार्नाक असमानता से काफी कमजोर है लेकिन काउंटर-एग्जाम्पल्स को देखते हुए सर्वोत्तम संभव है।

C. ऑसिलेशन में सुधार और लिउविल प्रमेय (Improvement of Oscillation and Liouville Theorem - Proposition 1.2, Theorem 1.3)

लॉग- $L^\epsilon$ अनुमान का उपयोग करते हुए, लेखक ऑसिलेशन में यूनिट-स्केल सुधार प्राप्त करते हैं:
$\text{osc}_{B_1} u \leq (1-\theta) \text{osc}_{B_5} u$
जहाँ क्षय कारक (decay factor) $\theta$ , $\Gamma(B_5)$ पर चरघाघाती रूप से निर्भर करता है। यह $\mathbb{R}^d$ पर बाउंडेड सॉल्यूशंस के लिए एक लिउविल प्रमेय की ओर ले जाता है यदि $p > d-1$ हो।

D. लॉगरिदमिक लोकल मैक्सिमम प्रिंसिपल (Logarithmic Local Maximum Principle - Proposition 1.4)

डबल एक्सपोनेंशियल बैरियर्स के साथ छूकर सब-सॉल्यूशंस के लिए एक नया परिणाम प्राप्त किया गया है। यह सब-सॉल्यूशन के मैक्सिमम को उसके लॉगरिदमिक मोमेंट्स के संदर्भ में बांधता है:
$\sup_{B_1} u \leq 2 \exp \left( c \Gamma(B_3)^{\dots} \left( \int_{\{u>1\}} (\log u)^\tau \right)^{\frac{1}{\tau - q\kappa}} \right)$
यह परिणाम $p > d-1$ के लिए मान्य है और यूनिफॉर्मली एलिप्टिक केस में भी नया है।

E. हार्नाक असमानता (Harnack Inequality - Theorem 1.5)

मुख्य परिणाम एक हार्नाक असमानता ( $\sup_{B_1} u \leq C \inf_{B_1} u$ ) स्थापित करता है, लेकिन केवल $p$ पर एक सख्त शर्त के तहत:
$p > p(d) := \frac{d-1}{2} \left( d + 2 + \sqrt{d(d+4)} \right)$
स्थिरांक $C$ , $\Gamma(B_5)$ पर चरघाघाती रूप से निर्भर करता है।

अनुमान (Conjecture): लेखक का अनुमान है कि हार्नाक असमानता सभी $p > d-1$ के लिए होनी चाहिए, जो वीक हार्नाक असमानता के थ्रेशोल्ड से मेल खाती है। $d-1$ और $p(d)$ के बीच का अंतर इसलिए है क्योंकि लॉग- $L^\epsilon$ अनुमान (सुपर-सॉल्यूशंस के लिए) और लॉगरिदमिक मैक्सिमम प्रिंसिपल (सब-सॉल्यूशंस के लिए) केवल पर्याप्त बड़े $p$ के लिए ही संगत (compatible) हैं।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सटीक थ्रेशोल्ड (Sharp Thresholds): यह शोध पत्र नॉन-डाइवर्जेंस सेटिंग में किसी भी प्रकार की हार्नाक या वीक हार्नाक असमानता के अस्तित्व के लिए $p = d-1$ को एक सटीक थ्रेशोल्ड के रूप में पहचानता है। यह डाइवर्जेंस केस ( $p > \frac{d-1}{2}$ ) के विपरीत है, जो दोनों रूपों के बीच रेगुलरिटी थ्योरी के मौलिक अंतर को उजागर करता है।
लॉगरिदमिक अनुमान (Logarithmic Estimates): यह खोज कि किसी भी परिमित $p$ के लिए डिजेनरेट नॉन-डाइवर्जेंस केस में पावर-टाइप $L^\epsilon$ अनुमान विफल हो जाते हैं, एक बड़ी सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि है। यह सुझाव देता है कि समाधान अत्यंत "स्पाइकी" (spiky) हो सकते हैं, और केवल लॉगरिदमिक नियंत्रण ही संभव है।
नई बैरियर तकनीकें (New Barrier Techniques): सब-सॉल्यूशंस के लिए डबल एक्सपोनेंशियल बैरियर्स का परिचय नॉन-यूनिफॉर्म एलिप्टिसिटी को संभालने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है, जो अन्य डिजेनरेट समस्याओं पर भी लागू हो सकता है।
खुले प्रश्न (Open Problems): यह पेपर $d-1 < p \leq p(d)$ की रेंज को खुला छोड़ देता है, यह अनुमान लगाते हुए कि वहां हार्नाक लागू होगा। यह विस्कोसिटी सॉल्यूशंस के लिए निरंतरता (continuity) और $\lambda$ की सख्त सकारात्मकता की आवश्यकता पर भी चर्चा करता है।

परिणामों की तालिका (Summary Table of Results)

क्षेत्र (Regime)	वीक हार्नाक (Weak Harnack)	हार्नाक (Harnack)	नोट्स (Notes)
$p < d-1$	विफल	विफल	काउंटर-एग्जाम्पल्स बनाए गए; कोई इंटीग्रल अनुमान संभव नहीं।
$d-1 < p \leq p(d)$	होल्ड करता है (लॉग-प्रकार)	अनुमानित	लॉग- $L^\epsilon$ और लोकल मैक्स प्रिंसिपल लागू; पूर्ण हार्नाक अपूर्ण।
$p > p(d)$	होल्ड करता है (लॉग-प्रकार)	होल्ड करता है	पूर्ण हार्नाक असमानता चरघाघाती स्थिरांक के साथ सिद्ध।
$p = \infty$	होल्ड करता है (पावर-टाइप)	होल्ड करता है	शास्त्रीय यूनिफॉर्मली एलिप्टिक मामला।

निष्कर्षतः, बोमन का कार्य नॉन-डाइवर्जेंस फॉर्म में नॉन-यूनिफॉर्मली एलिप्टिक समीकरणों की समझ को महत्वपूर्ण रूप से आगे बढ़ाता है, यह स्थापित करते हुए कि जबकि $p > d-1$ के लिए रेगुलरिटी बनी रहती है, यह कमजोर अनुमानों (लॉग बनाम पावर) की कीमत पर आती है और डाइवर्जेंस केस की तुलना में पूर्ण हार्नाक असमानता के लिए उच्च एकीकरण थ्रेशोल्ड की आवश्यकता होती है।