Harnack inequality for non-uniformly elliptic equations in non-divergence form

1. Problématique et Contexte

L'article étudie les propriétés de régularité des solutions d'équations elliptiques dégénérées sous forme non-divergence de la forme :
$$a_{ij}(x) \partial_{ij} u = 0 \quad \text{dans } B_1 \subset \mathbb{R}^d$$
Sous l'hypothèse que les coefficients satisfont la condition d'ellipticité non uniforme :
$$\lambda(x) I \le a_{ij}(x) \le I$$
où la fonction d'ellipticité $\lambda(x)$ peut devenir arbitrairement petite (dégénérescence). La seule hypothèse imposée sur la dégénérescence est que l'inverse de l'ellipticité appartient à un espace $L^p$ :
$$\lambda^{-1} \in L^p(B_1) \quad \text{pour un certain } p > d-1.$$

Le défi principal :
Dans le cas uniformément elliptique ($\lambda \ge c > 0$), la théorie classique (Moser, Krylov-Safonov) garantit l'inégalité de Harnack et la régularité Hölderienne. Ici, la dégénérescence peut créer des « pièges » où la diffusion est très faible, risquant de déconnecter les valeurs de la solution entre différentes régions. L'objectif est de déterminer pour quelles valeurs de $p$ les inégalités de Harnack et les estimations de régularité subsistent, et d'identifier les seuils critiques.

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche basée sur la théorie des solutions de viscosité (notamment les solutions $C$-viscosité, supposant $\lambda$ continu et strictement positif pour éviter les contre-exemples pathologiques). La méthodologie repose sur plusieurs piliers techniques :

1. Quantité invariante d'échelle : Introduction de la quantité $\Gamma(B) = \left( \frac{1}{|B|} \int_B \lambda^{-p} \right)^{1/p}$, qui mesure la dégénérescence moyenne sur une boule. Toutes les constantes dans les estimations dépendent de $\Gamma(B)$.
2. Opérateurs de Pucci : Les résultats sont formulés via les opérateurs extrémaux de Pucci $P^+_{\lambda, 1}$ et $P^-_{\lambda, 1}$, permettant de traiter les équations linéaires et non linéaires de manière unifiée.
3. Techniques de contact (Touching) :
   • Pour les sur-solutions, l'auteur adapte la méthode de Savin (toucher par des paraboloïdes) et celle de Smart/Armstrong (toucher par des pointes singulières $|x|^{-\beta}$).
   • Pour les sous-solutions, une innovation majeure consiste à toucher la solution par des barrières à croissance double exponentielle de la forme $U(x) = c \exp(\exp((1-|x|^2)^{-1}))$.
4. Argument « Ink-spots » (Taches d'encre) : Une version modifiée de l'argument géométrique classique est utilisée, mais elle doit gérer le fait que les constantes de contrôle croissent exponentiellement avec $\Gamma(B)$ dans les régions de mauvaise ellipticité.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Inégalité de Harnack Faible (Log-$L^\varepsilon$) pour les Sur-solutions

Contrairement au cas uniformément elliptique où l'on a une inégalité de type $L^\varepsilon$ (puissance), l'auteur prouve que pour $p > d-1$, seule une inégalité logarithmique est possible :
$$\int_{B_1} \left( \log \frac{u}{\inf_{B_1} u} \right)^\varepsilon \le C \Gamma(B_5)^\gamma$$

• Résultat : Proposition 1.1.
• Condition : $p > d-1$.
• Limitation : L'article démontre (Proposition 2.1) qu'aucune inégalité de type puissance $L^\varepsilon$ n'est possible pour $p < \infty$, même pour les sur-solutions. De plus, si $p < d-1$, aucune inégalité de Harnack faible n'est possible.

B. Amélioration de l'Oscillation et Théorème de Liouville

En combinant l'estimation log-$L^\varepsilon$ avec un principe de minimum, l'auteur obtient une amélioration de l'oscillation à l'échelle unité :
$$\text{osc}_{B_1} u \le (1-\theta) \text{osc}_{B_5} u$$
où $\theta$ dépend exponentiellement de $\Gamma(B_5)$.

• Conséquence : Un théorème de Liouville (Théorème 1.3) : toute solution bornée sur $\mathbb{R}^d$ est constante, sous réserve que la moyenne de $\lambda^{-p}$ reste bornée à l'infini.
• Optimalité du seuil : Ce résultat est prouvé pour $p > d-1$, ce qui est une amélioration par rapport aux travaux antérieurs (Armstrong-Smart) qui nécessitaient $p \ge d$.

C. Principe de Maximum Local Logarithmique pour les Sous-solutions

C'est un résultat nouveau, même dans le cas uniformément elliptique. En utilisant des barrières double exponentielles, l'auteur établit que le maximum d'une sous-solution est contrôlé par ses moments logarithmiques :
$$\sup_{B_1} u \le C \exp\left( \Gamma(B_3)^\kappa \left( \int_{\{u>1\}} (\log u)^\tau \right)^{1/\tau} \right)$$

• Signification : Cela renforce le principe de maximum classique $L^p$ et montre que si une sous-solution n'est pas trop petite en un point, son logarithme doit se concentrer dans un sens intégral.

D. Inégalité de Harnack Complète

Le résultat principal (Théorème 1.5) établit l'inégalité de Harnack complète ($\sup u \le C \inf u$) pour $p$ suffisamment grand, dépendant de la dimension $d$ :
$$p > p(d) := \frac{d-1}{2} \left( d + 2 + \sqrt{d(d+4)} \right)$$

• Conjecture : L'auteur conjecture que le seuil optimal devrait être $p > d-1$ (comme pour l'amélioration de l'oscillation), mais les méthodes actuelles nécessitent un $p$ plus grand pour que les estimations de sur-solutions et de sous-solutions soient compatibles.

E. Contre-exemples et Optimalité

L'article construit des exemples explicites (Section 2) montrant :

1. Si $p < d-1$, l'inégalité de Harnack (et même faible) échoue. Les solutions peuvent avoir des pics infiniment hauts sur des ensembles de mesure nulle.
2. Aucune inégalité $L^\varepsilon$ de type puissance n'est valide pour les sur-solutions si $p < \infty$.

4. Discussion sur les Notions de Solutions

L'auteur discute la nécessité de l'hypothèse de continuité et de stricte positivité de $\lambda$.

• Pour les solutions de viscosité classiques ($C$-viscosité), si $\lambda$ s'annule en un point (ex: $|x|^\alpha u'' = 0$), le contre-exemple $u(x)=|x|$ viole l'inégalité de Harnack.
• Pour les solutions fortes $L^s$ ($s > d$), les résultats tiennent même si $\lambda$ s'annule sur un ensemble de mesure nulle, car la régularité $W^{2,s}$ empêche les singularités de type $|x|$.
• Pour les solutions de viscosité $L^s$, la situation est plus subtile et dépend du rapport entre $s$ et l'intégrabilité de $\lambda^{-1}$.

5. Signification et Impact

• Avancée théorique : Ce travail comble un vide important dans la théorie des équations elliptiques non uniformes en forme non-divergence, un domaine moins développé que le cas divergence.
• Seuil critique : Il identifie $p = d-1$ comme le seuil critique pour la validité des estimations de régularité, reliant la dégénérescence de l'ellipticité à la dimension de l'espace.
• Nouvelles techniques : L'introduction de barrières double exponentielles pour les sous-solutions et l'analyse fine des moments logarithmiques ouvrent de nouvelles voies pour l'étude des équations dégénérées.
• Limites et perspectives : Bien que l'inégalité de Harnack soit prouvée pour un $p$ assez grand, la conjecture selon laquelle elle vaut pour tout $p > d-1$ reste ouverte. L'article suggère que les méthodes actuelles (ink-spots) sont limitées par la croissance exponentielle des constantes dans les zones de forte dégénérescence.

En résumé, cet article établit un cadre robuste pour la régularité des équations non uniformément elliptiques, démontrant que malgré des dégénérescences sévères, une régularité globale (Harnack) est préservée tant que l'intégrabilité de l'inverse de l'ellipticité dépasse un seuil dimensionnel critique.