2007 पेपर
यह शोध पत्र के विविक्त उपसमुच्चयों (discrete subsets) पर पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वे फ्रैक्शनल लाप्लासियन (fractional Laplacian) के लिए विशिष्टता (uniqueness) या गैर-विशिष्टता (non-uniqueness) युग्म बनाते हैं, और साथ ही इन परिणामों को मल्टीप्लायर ऑपरेटरों (multiplier operators) के एक व्यापक वर्ग तक भी विस्तारित करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि मॉडिफाइड मेथड ऑफ कैरेक्टरिस्टिक्स (MMOC), डोसवेल फ्रंटोजेनेसिस समीकरण के इनवर्स डिज़ाइन के लिए लैक्स-फ्रीड्रिक्स और लैक्स-वेंडरॉफ स्कीम्स के एक गणनात्मक रूप से कुशल और सटीक विकल्प के रूप में कार्य करता है, भले ही यह पहचान संरक्षण (identity conservation) को बनाए नहीं रखता है।
ये नोट्स मुख्य रूप से तरंग समीकरणों में व्युत्क्रम गुणांक निर्धारण (inverse coefficient determination) समस्याओं को हल करने के लिए बाउंड्री कंट्रोल (Boundary Control) विधि पर केंद्रित हैं, जबकि साथ ही ज्यामितिक प्रकाशिकी (geometric optics) दृष्टिकोण का एक संक्षिप्त अवलोकन भी प्रदान करते हैं।
यह शोध पत्र विषम सीमित डोमेन में लॉजिस्टिक स्रोतों वाले एक पैराबोलिक-पैराबोलिक कीमोटैक्सिस मॉडल के लिए विशिष्ट पैरामीटर क्षेत्रों की पहचान करके धनात्मक संपूर्ण समाधानों (positive entire solutions) के अस्तित्व, अद्वितीयता और वैश्विक स्पर्शोन्मुखी स्थिरता (global asymptotic stability) को स्थापित करता है, जहाँ यह प्रणाली प्रारंभिक स्थितियों की परवाह किए बिना एक अद्वितीय स्थिर अवस्था की ओर अभिसरित होती है।
यह शोध पत्र पहले स्ट्रिच्वार्ट्ज़ अनुमानों (Strichartz estimates) के माध्यम से सु-समाधान (well-posedness) को सिद्ध करके, हिल्बर्ट विशिष्टता विधि (Hilbert uniqueness method) के माध्यम से रैखिक नियंत्रणीयता प्रदर्शित करके, और अंततः एक विक्षोभ तर्क (perturbation argument) का उपयोग करके गैररेखीय मामले में परिणाम का विस्तार करके, में ऊर्जा-क्रांतिक गैररेखीय श्रोडिंगर समीकरण की स्तर पर स्थानीय शून्य नियंत्रणीयता (local null controllability) स्थापित करता है।
यह शोधपत्र स्वैच्छिक उत्तल, गैर-ह्रासमान धनात्मक फलनों को भार के रूप में सम्मिलित करके, यूक्लिडियन, गोलाकार और हाइपरबोलिक स्थानों में चिकने, बंद अतिपृष्ठों (hypersurfaces) के लिए नए तीक्ष्ण भारित अलेक्जेंड्रोव-फेन्सेल और मिंकोव्स्की असमानताओं को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र एक नए रैखिकीकरण-आधारित (linearization-based) सूत्रीकरण को प्रस्तुत करके एक आयामी में डिफोकसिंग क्यूबिक नॉनलिनियर श्रोडिंगर समीकरण के लिए मनमाने रूप से बड़े प्रकीर्णन डेटा (scattering data) हेतु संशोधित वेव ऑपरेटरों का निर्माण करता है, जो पूर्ण समाकलनीयता (complete integrability) या विश्लेषणात्मक फलन स्थानों की आवश्यकता को दरकिनार करने के लिए एक संशोधित ऊर्जा पहचान (energy identity) का उपयोग करता है।
यह शोधपत्र माउंटेन पास थीोरम्स, लोकल लिंकिंग तर्क और मोर्स थ्योरी का उपयोग करते हुए, सकारात्मक रेडियल और अनिश्चित चिह्न-परिवर्तनीय विभव (पोटेंशियल) वाले एक पैरामीटर-निर्भर श्रोडिंगर-पोइसन सिस्टम के लिए गैर-तुच्छ समाधानों की उपस्थिति स्थापित करता है, जबकि विशेष रूप से गैर-रैखिकता (नॉन-लिनियरिटी) पर विकास की शर्त को शिथिल करते हुए केवल मूल बिंदु पर सुपर-लिनियरिटी की आवश्यकता रखता है।
यह शोध पत्र वनस्पति, वर्षा और झाड़ियों की आग की परस्पर क्रिया का एक नवीन तीन-घटक प्रतिक्रिया-विसरण (reaction-diffusion) मॉडल प्रस्तुत करता है जो यह प्रदर्शित करता है कि कैसे विसरण शास्त्रीय ट्यूरिंग और हॉफ बाइफरकेशन से भिन्न तंत्रों के माध्यम से सजातीय साम्यावस्थाओं को स्थिर कर सकता है और स्व-संगठित प्रगामी पैटर्न उत्पन्न कर सकता है।
यह शोध पत्र एक 3D स्टोक्स फ्लूइड (Stokes fluid) में डूबे हुए एक अविस्तारणीय (inextensible), बंद लोचदार फिलामेंट के विकास के लिए एक कठोर गणितीय समाधान सिद्धांत स्थापित करता है, जो यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत द्वारा शासित है और स्लैंडर बॉडी न्यूमैन-टू-डिरिचलेट मैप (slender body Neumann-to-Dirichlet map) के माध्यम से युग्मित है, जिससे स्लैंडर बॉडी डायनेमिक्स के व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कम्प्यूटेशनल मॉडलों के लिए एक मौलिक औचित्य प्रदान होता है।