2021 पेपर
यह शोध पत्र एक स्लिप बाउंड्री कंडीशन को शामिल करके वॉशबर्न के कैपिलरी राइज समीकरण का विस्तार करता है, परिणामी इनिशियल-वैल्यू प्रॉब्लम की ग्लोबल वेल-पोज़्डनेस को सिद्ध करता है और स्लिप पैरामीटर्स एवं प्रारंभिक द्रव ऊंचाइयों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए दीर्घकालिक गतिकी को अभिलक्षित करता है, जिसमें साम्यावस्था की ओर एकदिष्ट या दोलनशील अभिसरण शामिल है।
यह शोध पत्र लेवी प्रक्रियाओं द्वारा संचालित गैर-स्थानीय ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक ऑपरेटरों का एक गहन स्पेक्ट्रल विश्लेषण प्रस्तुत करता है, जो डिफ्यूजन सेमग्रुप्स के साथ एक प्रमुख इंटरट्विनिंग संबंध के माध्यम से आइगेनफंक्शंस और को-आइगेनफंक्शंस के लिए स्पष्ट सूत्र स्थापित करता है, साथ ही स्पेक्ट्रल विस्तार और सेमग्रुप कॉम्पैक्टनेस के लिए स्थितियाँ भी व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र एक अघुलनशील विरल बहुलक तरल पदार्थों (incompressible dilute polymeric fluids) के लिए ऊष्मागतिक रूप से सुसंगत गैर-समतापी गतिज मॉडल की दुर्बल अनुक्रमिक स्थिरता (weak sequential stability) को यह सिद्ध करके स्थापित करता है कि चिकने समाधानों (smooth solutions) के अनुक्रम विशिष्ट ऊर्जा और तापमान असमानताओं को संतुष्ट करने वाले वैश्विक-समय बड़े-डेटा दुर्बल समाधानों की ओर अभिसरित होते हैं।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि डिफ्यूजन जनरेटिव मॉडल्स का स्कोर फील्ड एक विस्कस बर्गर्स समीकरण (viscous Burgers equation) का पालन करता है, जो सार्वभौमिक प्रोफाइल्स के साथ इंटर-मोड इंटरफेस के तीक्ष्ण होने के रूप में स्पीशिएशन ट्रांजिशन (speciation transitions) को चित्रित करने के लिए एक एकीकृत PDE फ्रेमवर्क प्रदान करता है और संबंधित त्रुटि प्रवर्धन (error amplification) को परिमाणित करता है।
यह शोध पत्र एक अनुकूलित कार्यात्मक विश्लेषणात्मक ढांचे का निर्माण करके मिश्रित क्रमों, परिवर्तनीय घातांकों और संभावित रूप से असीमित या विच्छिन्न गुणांकों वाले गैर-स्थानीय भिन्नात्मक दीर्घवृत्तीय ऑपरेटरों के एक सामान्य वर्ग के लिए एक फ्रेडहोम विकल्प (Fredholm alternative) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र स्लाइडिंग पैराबोलाइड विधि को अनुकूलित करके, डबलिंंग प्रॉपर्टी (doubling property) को सिद्ध करने के लिए एक नवीन बैरियर फंक्शन का निर्माण करके, और इंट्रिन्सिक ज्योमेट्री तकनीकों का उपयोग करके, गैर-मानक विकास वाले डिजेनरेट एनिसोट्रोपिक फुली नॉनलीन एलिपटिक समीकरणों के विस्कोसिटी सॉल्यूशंस के लिए इंट्रिन्सिक हार्नेक असमानताओं को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र सुचारू स्रोतों वाले नियमित समाधानों के एक सन्निकटन प्रक्रिया के माध्यम से कई डिराक द्रव्यमानों (Dirac masses) के साथ माध्य वक्रता समीकरण के दुर्बल समाधानों का निर्माण करके, लोरेंत्ज़-मिन्कोव्स्की स्थान में निर्धारित प्रकाश-सदृश शंकुओं (light-like cones) वाले अधिकतम हाइपरसरफेस (maximal hypersurfaces) की जांच करता है।
यह शोध पत्र -DeepONet प्रस्तुत करता है, जो एक भौतिकी-सूचित (physics-informed) न्यूरल ऑपरेटर है जो कई ब्रांच नेटवर्क और एक विशिष्ट लेटेंट एम्बेडिंग का उपयोग करके शास्त्रीय मॉडलों की निरंतरता सीमाओं को दूर करता है ताकि इनपुट और आउटपुट दोनों विच्छिन्नताओं (discontinuities) वाले फलन स्थानों (function spaces) के बीच मैपिंग को सटीक रूप से सीखा जा सके।
यह शोध पत्र अभिसरण (convergence) की एक दर स्थापित करता है जो कि समय अंतराल (time step) और नियमितीकरण पैरामीटर (regularization parameter) दोनों के शून्य होने पर, उत्तलता धारणाओं (convexity assumptions) के तहत मूल PDE के समाधान की ओर एंट्रोपिक JKO योजना (entropic JKO scheme) के लिए है, जिसे शास्त्रीय और एंट्रोपिक योजनाओं के बीच एक नया बंधन (bound) व्युत्पन्न करके प्राप्त किया गया है जो नियमितीकरण द्वारा पेश किए गए अतिरिक्त रैखिक विसरण पद (linear diffusion term) को ध्यान में रखता है।
यह शोधपत्र उत्तल डोमेन (convex domains) में लॉगरिदमिक श्रोडिंगर समीकरण के धनात्मक समाधानों के लघुगणक की अवतलता (concavity) को उत्तल पावर रूपांतरणों वाले सहायक लेन-एम्डेनने समस्याओं के सीमांत (limits) के रूप में इन समाधानों का निर्माण करके स्थापित करता है, जिसमें उत्तल एपिग्राफ (convex epigraphs) पर कॉन्स्टेंट रैंक और लियौविलल (Liouville) सिद्धांतों का उपयोग किया गया है।