2021 पेपर
यह शोध पत्र थिकनेस फंक्शन (thickness function) और लेवल सेट विधियों का उपयोग करते हुए क्वाड्रचर सतहों पर शाहघोलियन के प्रमेय का एक नया, स्व-निहित प्रमाण प्रस्तुत करता है ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि ओवरडिटरमाइंड स्थितियाँ सभी लेवल सेट्स को माप के सपोर्ट के कॉनवेक्स हल (convex hull) के समानांतर होने के लिए बाध्य करती हैं, जिससे मूविंग प्लेन विधि की तकनीकी जटिलताओं से बचा जा सके।
यह शोध पत्र एक प्रतिस्पर्धी शासन () और पर्याप्त रूप से बड़े के भीतर, न्यूमैन सीमा स्थितियों वाले एक क्रिटिकल चार-आयामी एलिप्टिक सिस्टम के लिए ब्लौइंग-अप समाधानों का निर्माण करता है, विशेष रूप से उन डोमेन में जिनमें चिकने उभार (smooth protrusions) होते हैं।
यह शोध पत्र तीव्र प्रसार समीकरण (फास्ट डिफ्यूजन इक्वेशन) के लिए एक नवीन प्रतिक्रिया-विसरण प्रणाली सन्निकटन प्रस्तुत करता है और उसका कठोरता से विश्लेषण करता है, जो प्रसार विलक्षणता (डिफ्यूजन सिंगुलैरिटी) को सैद्धांतिक और संख्यात्मक अनुप्रयोगों दोनों के लिए सुगम प्रतिक्रिया पदों में परिवर्तित करते हुए तीन अनंतस्पर्शी व्यवस्थाओं (एसिम्टोटिक रिजीम्स) में अद्वितीय दुर्बल समाधान की ओर इसके अभिसरण को सिद्ध करता है।
यह सर्वेक्षण गैस गतिकी की यूलर प्रणाली (Euler system) की सु-निर्धारितता (well-posedness) और कु-निर्धारितता (ill-posedness) पर हाल के परिणामों का परीक्षण करता है, जो इस बात पर ध्यान केंद्रित करता है कि समाधान सुसंगत सन्निकटन के सीमाओं के रूप में कैसे उभरते हैं और ऊष्मागतिकी के प्रथम और द्वितीय नियम किस सीमा तक भौतिक रूप से स्वीकार्य समाधानों की विशिष्टता सुनिश्चित करते हैं।
यह शोध पत्र बाधा मानचित्रों (constraint maps) के अधीन ऑल्ट-फिलिप्स ऊर्जा (Alt-Phillips energy) के मिनिमाइज़र के लिए एक -नियमितता प्रमेय ( -regularity theorem) स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि पर्याप्त रूप से कम ऊर्जा सुगमता (smoothness) को सुनिश्चित करती है और बूटस्ट्रैपिंग (bootstrapping) के माध्यम से इष्टतम नियमितता (optimal regularity) की ओर ले जाती है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि एक संरचना-संरक्षण परिमित-आयतन योजना (structure-preserving finite-volume scheme), यूनिफॉर्म अनुमान स्थापित करके और नव-विस्तारित ऊर्जा-वैरिएशनल निरूपण की स्थिरता का लाभ उठाकर, मेष परिशोधन (mesh refinement) के तहत यूलर- और नेवियर-स्टोक्स-कोर्टeweg प्रणालियों के लिए ऊर्जा-वैरिएशनल समाधानों की ओर अभिसरित होती है।
यह शोध पत्र डि dirichlet सीमा स्थितियों के तहत एक सीमित डोमेन में एक अभयारण्य (sanctuary) के साथ पूर्णतः गैर-रेखीय स्थिर लॉजिस्टिक समीकरणों के धनात्मक समाधानों के अस्तित्व, अद्वितीयता और गैर-अस्तित्व की स्थितियों को स्थापित करता है, जबकि इन समाधानों के पैरामीटर के अस्तित्व सीमा के किनारों की ओर बढ़ने पर उनके अनंत व्यवहार का भी विश्लेषण करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि ज्यामितीय अभिलक्षणिक गुण (geometric normal property) वाले डोमेन में दीर्घवृत्तीय सीमा मान समस्याओं (elliptic boundary value problems) के समाधानों के स्तर सेट (level sets), डोमेन की संरचनात्मक विशेषताओं, जैसे कि स्टार-शेप्डनेस (star-shapedness) और विशिष्ट वक्रता गुणों को विरासत में प्राप्त करते हैं, जबकि हॉसडॉर्फ अभिसरण (Hausdorff convergence) के तहत स्थिरता का विश्लेषण करने और आइसोपेरिमेट्रिक असमानताओं (isoperimetric inequalities) को व्युत्पन्न करने के लिए नए मात्रात्मक ज्यामितीय मापों को प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र एक डिजेनरेट कॉम्प्लेक्स मॉन्गे-एम्पीयर समीकरण के समाधानों के कॉम्प्लेक्स हेसियन के दूसरे सबसे छोटे आइजनवैल्यू (eigenvalue) के लिए एक धनात्मक निचली सीमा स्थापित करता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि नॉर्म में पर्याप्त रूप से निकट स्थित किन्हीं भी दो कैलर (Kähler) पोटेंशियल को एक ऐसे जियोडेसिक (geodesic) द्वारा जोड़ा जा सकता है जिसके अनुगत मेट्रिक्स गैर-डिसजेनरेट (non-degenerate) बने रहते हैं।
यह शोध पत्र एक 3D असंपीड्य (incompressible) तरल बूंद की गोलाकार ज्यामिति के लिए इसके हैमिल्टनियन संरचना और डिरिचलेट-न्यूमैन ऑपरेटर के विश्लेषणात्मक गुणों को स्थापित करते हुए, केशिका जल तरंगों (capillary water waves) के शास्त्रीय परिणामों का विस्तार करता है, और अंततः गैर-तुच्छ घूमते हुए यात्रा तरंग समाधानों (rotating traveling wave solutions) के अस्तित्व को सिद्ध करता है।